Область значений и ядро линейного преобразования.

Определение 1. Пусть линейное преобразование линейного пространства L над полем P. Множество {(x) |xL} называют областью значения линейного преобразования и обозначают L или (L).

Теорема 1. Область значений линейного преобразования линейного пространства L является подпространством линейного пространства L.

Теорема 2. Пусть e₁,…,e_n – базис линейного пространства L_n и – линейное преобразование L_n. Тогда базис L_n совпадает с базисом системы векторов {e₁,…,e_n}.

Следствие. dim L_n равна рангу системы векторов e₁,…,e_n.

Пусть А = -

e₁ … e_n

  матрица линейного преобразования линейного пространства L_n в базисе e. Тогда известны координатные столбцы векторов e₁,…,e_n в базисе е. Пусть ранг матрицы А равен r и M_r – её базисный минор. Для удобства будем считать, что он расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда векторы e₁,…,e_n составляют базис системы векторов {e₁,…,e_n}. В силу следствия теоремы 2, e₁,…,e_n – это базис области значений L_n и dim L_n = r = r(A).

Определение 2. Число r называют рангом линейного преобразования .
Пример 1. Матрица A линейного преобразования линейного пространства А₃ в базисе е₁, е₂, е₃ имеет вид:

А=. Найти базис и размерность А₃.

Решение. Найдём ранг матрицы А

А = М₂ = = r(A)

M₃ = 0, отсюда r(A) = 2. Базисные столбцы – это первый и второй столбцы А. Значит, базис А₃ составляют векторы e₁=e₁+2e₂+e₃, e₂=e₁+2e₂ и поэтому A₃ =1 +2e₂+e₃, e₁+2e₂>. dim А₃ =2.

Определение 3. Пусть – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Множество векторов {x | xL_n, (x) = 0} называют ядром линейного преобразования и обозначают . Другими словами, – это множество всех векторов из L, которые при преобразовании переходят в нуль.

Очевидно, что , т.к. 0 = 0 и 0.

Теорема 2. Ядро линейного преобразования линейного пространства L является подпространством пространства L.

Теорема 2. Множество векторов линейного преобразования линейного пространства L_n с базисом (е₁,…,е_n) = e и матрицей = преобразования в базисе е совпадает с множеством решений однородной системы уравнений

(1)

Следствие. Если r(A)=n, то система имеет одно решение – только нулевое; поэтому =0. Если r(A)=r<n, то система имеет бесконечно много решений. Её ФСР состоит из (n – r) решений. Они и составляют базис . Размерность ядра равна (n – r), т.е. dim=n – r.

Определение. Число (n – r) = dim называют дефектом линейного преобразования n-мерного линейного пространства L.

Теорема 3. Сумма размерности области значений линейного преобразования n мерного линейного пространства L_n и размерности его ядра равна размерности L_n, то есть

dimL + dim = n.
Пример 2. В линейном пространстве А₃ в базисе е₁, е₂, е₃ матрица А линейного преобразования имеет вид: =. Найти базис и размерность ядра преобразования .

Решение. Находим ранг матрицы А. М₂ == 3 – 2 , r2, M₃ = 0, r (A) = 2. Значит r < n (2 < 3). Составляем систему уравнений АX = 0, где Х =

(2)

Она имеет бесконечно много решений и её ФСР состоит из n−r=3–2=1, одного решения. Поэтому dim = 1. Решаем систему (2).

Основные неизвестные – х₁, х₂, свободные – х₃.

x1	x2	x3
–3	1	1

Значит ФСР системы (2) является (–3, 1,1). Базис состоит из одного вектора, например, a=–3e₁+e₂+e₃ и =<3e₁ +e₂–5e₃ >.