Основные формулы тригонометрии. Занятие №1 Количество формул, используемых в тригонометрии, достаточно велико под

Основные формулы тригонометрии. Занятие №1

Количество формул, используемых в тригонометрии, достаточно велико (под «формулами» мы подразумеваем не определения (например, tgx=sinx/cosx), а тождественные равенства типа sin2x=2sinxcosx). Чтобы легче ориентироваться в этом обилие формул и не утомлять учащихся бессмысленной зубрежкой, необходимо выделить среди них наиболее важные. Их немного - всего три. Из этих трех формул следуют все остальные. Это – основное тригонометрическое тождество и формулы для синуса и косинуса суммы и разности:

Sin²x+cos²x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Из этих трех формул следуют абсолютно все свойства синуса и косинуса (периодичность, величина периода, значение синуса 30⁰ = π/6=1/2 и т.д.) С этой точки зрения в школьной программе используется много формально лишней, избыточной информации. Итак, формулы «1-3» – правительницы тригонометрического царства. Перейдем к формулам-следствиям:

Синусы и косинусы кратных углов

Если подставить в (2) и (3) значение x=y , получим:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos²x-sin²x; cos0=cos²x+sin²x=1

Мы вывели, что sin0=0; cos0=1, не обращаясь к геометрической интерпретации синуса и косинуса. Точно также, применив формулы «2-3» дважды, мы можем вывести выражения для sin3x; cos3x; sin4x; cos4x и т.д.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos²x+sinx(cos²x-sin²x) = 2sinx(1-sin²x)+sinx(1-2sin²x) = 3sinx-4sin³x

Задание для учащихся: вывести аналогичные выражения для cos3x; sin4x; cos4x

Формулы понижения степени

Решают обратную задачу, выражая степени синуса и косинуса через косинусы и синусы кратных углов.

Например: cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1, отсюда: cos²x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x, отсюда: sin²x=1/2-cos2x/2

Эти формулы используются очень часто. Чтобы лучше их понять, советую изобразить графики их левых и правых частей. Графики квадратов косинуса и синуса «обвиваются» вокруг графика прямой «у=1/2» (таково среднее за много периодов значение cos²x и sin²x). При этом частота колебаний удваивается по сравнению с первоначальной (период функций cos²x sin²x равен 2π /2=π ), а амплитуда колебаний уменьшается вдвое ( коэффициент 1/2 перед cos2x) .

Задача: выразить sin³x; cos³x; sin⁴x ; cos⁴x через косинусы и синусы кратных углов.

Формулы приведения

Используют периодичность тригонометрических функций, позволяя вычислять их значения в любых четвертях тригонометрического круга по значениям в первой четверти. Формулы приведения есть весьма частные случаи « главных» формул (2-3) .Например: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

Итак, Cos(x+ π/2) =sinx

Задача: вывести формулы приведения для sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

Формулы, преобразующие сумму или разность косинуса и синуса в произведение и обратно.

Выпишем формулу для синуса суммы и разности двух углов:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Сложим левые и правые части этих равенств:

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Подобные слагаемые сокращаются, поэтому:

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

Важно понять, что эту формулу можно читать слева направо и справа налево, устанавливая связи между суммой синусов и их произведением. В выражении (*) содержатся сразу две формулы, которые следует разбирать одновременно:

а) при чтении (*) справа налево получим:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Произведение синусов двух углов равно полусумме синусов суммы и разности этих углов.

б) при чтении (*) слева направо удобно обозначать:

х+у = р

х-у = с. Отсюда найдем х и у через р и с, складывая и вычитая левые и правые части этих двух равенств:

х = (р+с)/2, у = (р-с)/2, подставляя в (*) вместо (х+у) и (х-y) выведенные новые переменные р и с, представим сумму синусов через произведение:

sinp +sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Итак, прямым следствием основной формулы для синуса суммы и разности углов оказываются два новых соотношения (4) и (5).

в) теперь вместо того, чтобы складывать левые и правые части равенств (1) и (2), будем вычитать их друг из друга:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Чтение этого тождества справа налево приводит к формуле, аналогичной (4), которая оказывается неинтересной, т.к. мы уже умеем раскладывать произведения синуса и косинуса в сумму синусов (см. (4)). Чтение (6) слева направо дает формулу, сворачивающую разницу синусов в произведение:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Итак, из одного фундаментального тождества sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, мы получили целых три новых (4), (5), (7).

Аналогичная работа, проделанная с другим фундаментальным тождеством cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny, приводит уже к четырем новым:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Задача: преобразовать в произведение сумму синуса и косинуса:

Sinx +cosy = ? Решение: если попытаться не выводить формулу, а сразу подсмотреть ответ в какой-нибудь таблице тригонометрических формул, то можно и не найти готового результата. Учащиеся должны понимать, что нет нужды заучивать и заносить в таблицу еще одну формулу для sinx+cosy = …, так как любой косинус можно представить в виде синуса и, наоборот, с помощью формул приведения, например: sinx = cos (π/2 – x), cosy = sin (π/2 – y). Поэтому: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.