Ответы на задания теоретического тура

3 этапа Всеукраинской олимпиады по астрономии

2012/2013 учебного года

10 класc

1. Один любитель астрономии утверждал, что однажды, наблюдая в полночь парад планет в телескоп с большим полем зрения, он видел все планеты Солнечной системы сразу. Возможно ли это? Ответ обоснуйте.

Решение:

Невозможно. Наблюдая в полночь звездное небо, мы смотрим в сторону, противоположную той, где находится Солнце. В этой области неба можно наблюдать только внешние планеты, которые находятся дальше от Солнца, чем Земля. Внутренние планеты (Венеру и Меркурий) в полночь увидеть невозможно, на небе они не отходят далеко от Солнца. Правда, все планеты могут оказаться над горизонтом в полночь во время полярного дня или «белых ночей» (летних сумерек, когда Солнце находится неглубоко под горизонтом). Однако в этом случае небо будет достаточно ярким для того, чтобы увидеть все планеты в телескоп.

2. Самолет компании «Аэрофлот» вылетел из Международного аэропорта Донецк в 5 часов 05 минут по киевскому времени и прибыл без опоздания в аэропорт Шереметьево (Москва) в 8 часов 50 минут московского времени. Сколько времени летел самолёт, и какие моменты вылета и прибытия указаны в расписании авиарейсов аэропорта Донецк?

Решение:

Самолёт летел из Донецка в Москву - 1час 45 минут; в расписании авиарейсов аэропорта Донецк указано: время вылета - 5 часов 05 минут; время прибытия 06 часов 50 минут по киевскому времени.

С 3:00 утра 28 октября 2012 года в Украине начало действовать «зимнее» время. Стрелки часов были переведены на 1 час назад.Переход на «зимнее» время в последнее воскресенье октября осуществляется согласно постановлению Кабинета министров Украины от 13 мая 1996 года № 509 «О порядке исчисления времени на территории Украины». Разница между киевским и московским временем составила 2 часа, поскольку Россия осталась на «летнем» времени.

3. Советский аппарат «Луноход-2» работал на Луне с 15 января по 4 июня 1973 года и за это время прошел по поверхности Луны 37 км. Учитывая, что «Луноход-2» двигался только лунными днями (непрерывно в течение всего лунного дня), оцените возможную среднюю скорость его движения.

Решение:

С 15 января по 4 июня прошло 140 земных суток. Лунные сутки продолжаются около месяца (в среднем 29.5 земных суток). Таким образом, за этот же период прошло около 4.7 лунных суток. Но мы не знаем, сколько прошло лунных дней. Представим себе, что ровно 15 января 1973 года начался очередной лунный день. Тогда «Луноход-2» имел возможность двигаться в течение 4 лунных дней и еще в течение 0.5 лунных суток, которые тоже пришлись на дневное время (т.е. в общей сложности 5 лунных дней). Если же 15 января как раз началась лунная ночь, то лунных дней в распоряжении «Лунохода-2» было 4.4 (за время работы прошло четыре пары «ночь–день», пятая ночь и еще 0.2 суток, соответствующих 0.4 дня, пришлись на дневное время). Все другие варианты - промежуточные

между этими двумя. Будем считать, что лунный день: это ровно половина лунных суток (так как «Луноход-2» прилунился недалеко от лунного экватора, то это предположение недалеко от истины). Тогда наибольшее время, которое «Луноход-2» мог двигаться по поверхности Луны, равно 5 · 0.5 = 2.5 лунных суток, или 2.5 · 29.5 =74 земных суток, а наименьшее время 4.4 · 0.5 = 2.2 лунных суток, или 2.2 · 29.5= 65 земных суток. Отсюда наименьшая возможная средняя скорость «Лунохода-2» Vср=37/74= 0.5 (км/земн. сутки)= 21 м/час, а наибольшая возможная средняя скорость Vср=37/65= 0.57 (км/земн. сутки)= 24 м/час.

Таким образом, средняя скорость «Лунохода-2» могла быть от 21 до 24 (м/час).

4. Чтоярче при наблюденииглазом – одна звездапервойвеличины, три звездывторойвеличины , пятьзвездтретьейвеличины?

Решение:

Одна звезда 1-й звездной величины в 2,512 раза ярче звезды 2-й величины, и в 6,3 раза звезды 3-й величины. Следовательно, три звезды 2-йзвездной величины будут ярче, а пять звезд 3-й более слабыми от звезды 1-й звездной величины.

5. Мимо гигантской эллиптической галактики, масса которой составляет

4・10¹²масс Солнца, пролетает карликовая галактика с диаметром 3 кпк и массой 10⁹ масс Солнца. Оцените минимальное расстояние, на которое карликовая галактика может приблизиться к гигантской, чтобы не потерять значительную часть массы.

Решение:

В первом приближении все тела в гравитационном поле ускоряются одинаково и, следовательно, карликовая галактика должна двигаться как целое в поле тяготения гигантской.

Однако в действительности это не совсем так - сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, и, поскольку карликовая галактика имеет конечные размеры, ее части, находящиеся при пролете ближе к гигансткой галактике, будут притягиваться сильнее. Если при этом разность ускорений, действующих на центральную и периферийную области карликовой галактики со стороны гигантской, превысит гравитационное ускорение, с которым периферийная область притягивается к центру карликовой галактики, то карликовая галактика будет разорвана.

Обозначим радиус карликовой галактики -, расстояние между центрами галактик R, массу гигантской галактики M, массу карликовой- m. Тогда изложенное выше условие разрыва будет иметь следующий вид:

где G - гравитационная постоянная.

Разделив на нее обе части неравенства и приведя кобщему знаменателю левую часть, получаем

.

Так как явно выполнено условие R ≫r, то левую часть неравенства можно преобразоватькак

поэтому
.

Разрешая это неравенство относительно R, получаем

и, подставляя числовые данные (их, очевидно, можно использовать прямо в тех единицах,в которых они даны в условии), получаем

= 30 кпк
Это и есть оценка минимального «безопасного» расстояния пролета для карликовой галактики.
Ответы на задания (теоретической части)

3 этапа Всеукраинской олимпиады по астрономии

2012/2013 учебного года

11 класс

1. Один астроном-любитель утверждает, что в селе Валуйское Луганской области (φ = 48 º 40 ', λ = 39 º 32') из глубокого колодца заметил Сириус в полдень. Возможна ли такая ситуация, если да, то, в какое время года? Координаты Сириуса α = 6 ^h 45^m 09^s, δ = -16 º 43 ', параллакс π = 0.38 ", видимая звездная величина m = -1.46, спектральный класс - А ІV.

Решение:

Максимальная высота Сириуса над горизонтом определяется по формуле:

.

Подставив численные значения -, получим значение высоты Сириуса в селе Валуйское . Таким образом, на широте

φ = 48 º 40 ' Сириус не может быть в зените (поскольку наблюдения ведутся из колодца!) в полдень, а также и в полночь в разные времена года.

2. Астероид Веста обращается вокруг Солнца по орбите, большая полуось которой равна 2,36 астрономической единицы. Найдите период её обращения вокруг Солнца.

Решение:

По третьему закону Кеплера кубы больших полуосей орбит небесных тел относятся так же как квадраты периодов их обращения:

, поэтому .

Взяв величины для Земли T₁=T_з=1 год, а₁=а_з=1 а.е., получаем период обращения астероида Весты

=(2,36)^3/2=3,63 (года).

Памяти Нила Армстронга (05.08.1930 – 25.08. 2012)

3. В июле 1969 года американские космонавты Нил Армстронг и Эдвиг Олдрин впервые совершили посадку на поверхность Луны и провели на ней 21 час 36 минут. Сколько раз они могли выходить на прямую связь (без участия Земли) с третьим членом экипажа Джоном Коллинзом, и какова могла быть максимальная длительность каждого сеанса? (Масса Луны 7,35∙10²²кг, R = 1738 км; G=6,6720 ∙10^-11Н∙м²/кг^-2).

Коллинз находился в командном модуле, обращающемся вокруг Луны по круговой орбите, проходящей над местом прилунения Армстронга и Олдрина на высоте 111 км. Орбитальное и осевое вращение Луны не учитывать.



Решение: Изобразим Луну и орбиту командного модуля, проходящего над местом посадки (точки 0). Обозначим радиус Луны через R, а высоту модуля через - h.

Определим, при каком угловом перемещении

по орбите (относительно положения над местом посадки) командный модуль

окажется на лунном горизонте:

Получается, что прямую связь с Джоном Коллинзом можно было поддерживать, пока командный модуль располагался внутри 40⁰ дуги своей орбиты, что составляет 1/9 часть ее полной длины. Найдем теперь орбитальный период командного модуля.

Запишем второй закон Ньютона для командного модуля:

;

Поскольку , то после преобразований имеем:

= ,
где - гравитационная постоянная. Подставляя численные значения, получим:

7129.6 (с) ≈ 1,98 (часа).

За время, которое Нил Армстронг и Эдвин Колдрин провели на Луне (см. условие - T₁ = 21,6 часа), командный модуль почти завершил 21,6/1,98≈11 оборотов. Именно столько сеансов прямой связи можно было организовать за данный период. Продолжительность каждого сеанса составляет 1/9 орбитального периода T, то есть 13,2 минуты.

4. Двойная звезда δ Волопаса имеет две такие компоненты: звезду А (видимая звездная величина 3.50 ^m , спектральный класс G8); звезду B (видимая звездная величина 7.84 ^m, спектральный класс G0). Параллакс двойной звезды ˝=0,028 ˝:

а) найти абсолютные звездные величины компонент двойной звезды δ Волопаса;

б) определить по диаграмме Герцшпрунга - Рессела (рис.1) температуры звезд А и В;

в) указать, к какой последовательности (классу светимости) диаграммы Герцшпрунга - Рессела относятся эти звезды;

г) вычислить радиусы компонент в радиусах Солнца;

д) сделать общий вывод.

Решение:

Известно, что абсолютная звездная величина M = m + 5 - 5lg r (1), где расстояние r обязательно выражено в парсеках. Заменив расстояние в выражении (1) годичным параллаксом из формулы ; найдём М=m+5+ (2), причём в эту формулу π подставляем обязательно в секундах дуги.

Из выражения (2) находим абсолютные звездные величины компонент M _А и М _В. Светимость каждого компонента и Солнца выразим как произведение площади сферы на энергию излучения с единицы поверхности звезды - закон Стефана – Больцмана (σT⁴): следовательно, светимость звезды

(3),

Далее светимость звезды связана с абсолютной звездной величиной соотношением (2):

M _A – M _C = - 2.5 lg (, где M_C и L_C абсолютная звездная величина и светимость Солнца.

После подстановки(3) в (4) получим уравнение, которое связывает разницу абсолютных звездных величин каждого компонента и Солнца с их радиусами и температурами, радиус Солнца положим R_C = 1.

M_A - M_Θ = 10 lgT_Θ – 10 lgT_A – 5lgR_A; M _B - M_Θ = 10 lgT_Θ – 10 lgT _B – 5lgR _B;
Воспользовавшись диаграммой Герцшпрунга - Рессела, найдем оценки температуры по классу компонентов: T _A = 5300K и T _B = 6100K. Для Солнца возьмем T _C = 6000 K.

Итак: M _A = 0.75^m; M _В =5.1^m; R _A = 8.3 R _C ; R_В =0,85 R _С .

По диаграмме Г - Р определяем, что компонент А - нормальный красный гигант (класс светимости - III), компонент В – нормальний карлик главной последовательности (класс светимости - V), это подтверждают и полученные значения радиусов звезд.

5. При наблюдении спектра удаленной галактики обнаружилось , что спектральная линия излучения водорода с длиной волны 486.1 нм смещена к красному концу спектра на 20 нм. Определите расстояние до этой галактики. ( Н=75 км/с ).

Решение:

Смещение линии излучение к красному концу спектра возникает из-за эффекта Доплера при удалении источника излучения (галактики) вдоль луча зрения. При этом

,

где - скорость убегания галактики, ∆- красное смещение спектральной линии.

Тогда:

=12,3.

Согласно закону Хаббла скорость убегания галактики:

,

где – расстояние до галактики. Тогда:

.

Ответы на задания (практической части)

3 этапа Всеукраинской олимпиады по астрономии

2012/2013 учебного года

11 класс
1. По фотографиям последовательных положений групп пятен на диске Солнца, сделанным с интервалом в одни сутки, оцените период вращения фотосферы Солнца вокруг свой оси (относительно звёзд), не забывая об его сферичности.

Для справки: Земля обращается вокруг Солнца в ту же сторону, что и Солнце вращается вокруг своей оси.

Решение:

Для начала определим период вращения Солнца вокруг своей оси в системе координат, связанных с Землёй. Для этого выберем, например, пятно №1117, и определим угол, на который оно сместилось за одни сутки.

Проведём на каждой фотографии по центру вертикальную линию, соответствующую линии долготы, которую мы будем считать за нулевой меридиан. Как можем заметить, пятно вращается на одной широте, обозначим радиус вращения как r (он может быть измерен в условных единицах как расстояние между нашим нулевым меридианом и краем диска). Долгота пятна (т.е. угол между нашим нулевым меридианом и пятном) определяется из простейших геометрических соображений:

,

где l – линейное расстояние между нашим нулевым меридианом и пятном в тех же условных единицах, что и r. Т.о.

,

гдеи– указанные расстояния в первый и во второй день соответственно.

Теперь, зная угол поворота и время, за которое этот поворот произошёл, находим период вращения:

,

где– интервал между фотографиями, т.е. одни сутки.

Так как мы определяли период вращения по фотографиям, сделанным с Земли, которая в свою очередь сама обращается вокруг Солнца, то необходимо учесть это обращение для окончательного результата:
,

где 365,25 – это период обращения Земли вокруг Солнца в сутках.

Упрощёнными и таким образом приближенными вариантами расчёта могут быть:

1) – пренебрегаем перспективой (имеет смысл? когда пятно находится вблизи нашего нулевого меридиана);

2) – считаем длину дуги перемещения приблизительно равной длине хорды.