Специализация: 010700/17 Теоретическая и математическая физика

Программа: 17/25 Методы и проблемы математической и вычислительной физики

Руководитель программы: проф. В.С. Буслаев

Кафедра высшей математики и математической физики

Научный руководитель: доц. А.А. Федотов

Рецензент: проф. М.М. Попов
Монодромизация и уравнение Мэриленда

Сандомирский Федор Алексеевич

В работе исследуется поведение решений модельного разностного почти-периодического уравнения Шредингера с неограниченным потенциалом, уравнения Мэриленда

(1)

здесь координата пробегает целые числа, а частота иррациональна. Подход основывается на методе монодромизации – перенормировочном методе для исследования почти-периодических задач, предложенном В. Буслаевым и А. Федотовым. Он позволяет изучать поведение решений при больших координатах и свойства самоподобия решений, связывая решения на большом интервале с решениями перенормированного уравнения на меньшем.

В русле применения этого подхода получены следующие результаты:

1. 
   Показана инвариантность уравнения относительно монодромизации. То есть, построено фундаментальное решение уравнения с непрерывным аргументом, ведущее к совпадению исходного и перенормированного уравнения с точностью до простого явного преобразования параметров , и . Изучены аналитические свойства фундаментального решения.
   
2. 
   Найден естественный скрытый асимптотический параметр , быстро стремящийся к бесконечности с номером перенормировки, что позволяет эффективизировать перенормировочные формулы.
   
3. 
   Получены локальные по координате и равномерные по частоте асимптотики решений при большом естественном параметре. Они нужны для эффективного описания решений после многих перенормировок, которое необходимо при рассмотрении решений исходного уравнения на большом интервале. Важность равномерности следует из того, что почти все траектории преобразования Гаусса, которое пересчитывает при перенормировке, всюду плотны на единичном отрезке. Именно из-за требования равномерности возникает возможность конкуренции между параметром (который велик) и частотой , которая может быть очень малой. Это приводит к сложной аналитической картине и позволяет добиться равномерности оценок лишь при условии , где - фиксированная положительная константа.
   

Список публикаций

1. F. Sandomirskiy. Monodromization and the Maryland equation// Program and abstracts of the International Conference in Spectral Theory, Saint-Petersburg, 2009. P.33