«Математические методы естествознания и компьютерные технологии» Линейные операторы в задачах математической физики

Национальный Исследовательский Университет

Высшая школа экономики

Направление: Прикладная математика и информатика

010400.68

Аннотации дисциплин магистерской программы

«Математические методы естествознания и компьютерные технологии»

Линейные операторы в задачах математической физики
Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач математической физики с помощью теории линейных операторов.
Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам теории линейных операторов, а также методам применения линейных операторов в основных типах задач математической физики.
Программа курса
1. Спектральные свойства операторов математической физики

1.1. Неограниченные операторы. Область определения. Замкнутые операторы.

1.2. Симметрические операторы и индексы дефекта. Самосопряженное расширение. Теорема Нельсона. Физические примеры.

1.3. Дискретный и непрерывный спектры. Собственные функции.

1.4. Спектральная теорема. Спектральная плотность. Формулы следа.

1.5. Унитарные операторы. Проекторы и корни из единицы. Примеры: оператор Теплица, когерентные состояния, квантайзер.

1.6. Общие свойства спектра операторов Шредингера и Дирака.

1.7. Спектр в периодических полях. Блоховские функции. Зоны Бриллюэна. Поверхность Ферми.

1.8. Туннельное расщепление спектра.

1.9. Квазистационарные состояния оператора Шредингера и спектр аналитических семейств компактных операторов (теория Келдыша).

2. Нестационарные задачи математической физики

2.1. Теорема Стоуна.

2.2. Банаховы и гильбертовы шкалы, производящие операторы.

2.3. Формулы Троттера и Каца-Фейнмана. Вывод континуального интеграла.

2.4. Туннельная транспортация квантовых состояний.

2.5. Симметрические гиперболические системы, уравнения Максвелла.

2.6. Связь волновых и диффузионных процессов. Полугруппы операторов.

2.7. Эволюция в неавтономных системах.

2.8. Периодические системы и операторы монодромии.
3. Задача рассеяния

3.1. Постановка задачи рассеяния. Безотражательные потенциалы.

3.2. Интегральное уравнение Липпмана-Швингера теории рассеяния.

3.3. Функция Йоста, матрица рассеяния, полюса Редже.

3.4. Обратная задача теории рассеяния.
Список литературы
1. У. Рудин, Функциональный анализ / М.: Мир, 1975. 2. К. Морен, Методы гильбертова пространства / М.: Мир, 1965. 3. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. 4. Ю.И. Любич, Линейный функциональный анализ / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.19 (Функциональный анализ-I), М.: ВИНИТИ, 1988. 5. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970. 6. К. Фридрихс, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / М.: Мир, 1969. 7. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, тт.1-4 / М.: Мир, 1977, 1978, 1982. 8. Ф.А. Березин, М.А. Шубин, Уравнение Шредингера / МГУ, 1983. 9. И.М. Глазман, Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / М.: Физматгиз, 1963. 10. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

Квантовые эффекты и специальные методы квантовой механики
Цель курса: описать понятия и методы важные как для освоения принципиально новых концепций в данной области, так и для расчета конкретных моделей квантовых систем,

рассмотреть парадоксы квантовой механики, дать анализ методов компьютерного моделирования квантовых систем (достоинства, недостатки и открытые проблемы).

Задачи курса: научить делать простые оценки квантовых эффектов, научить основным подходам и методам моделирования базовых квантовых систем.
Программа курса

I. Квантовая механика и топология.

Квантовые системы во внешнем электромагнитном поле.
Эффект Ааронова-Бома.
Эффект Ааронова-Кашера.
Фаза Берри.

II. Специальные методы квантовой механики.

Аналогия между квантовой механикой и квантовой статистической физикой.
Метод мнимого времени. Метод инстантонов в квантовой механике.
Континуальные интегралы.
Квантовые методы Монте Карло.
Метод функционала плотности. Теорема об однозначности энергии как функционала от плотности. Уравнения Кона-Шэма.

III. Квантовые коллективные явления.

Симметрии и законы сохранения. Симметрия кристаллов. Квазиимпульс.
Электронная структура твердых тел.
Кристаллическая решетка и фононы.
Фазовые переходы. Спонтанное нарушение симметрии. Теория Ландау. Теорема Голдстоуна.

Природа сил притяжения между электронами в кристалле. Бозе-конденсация и сверхтекучесть бозе-систем.
Спаривание электронов. Модель Купера.
Сверхтекучесть ферми-газа и микроскопическая теория сверхпроводимости.
Эффект Мейснера.
Эффект Джозефсона.
Магнетизм

Список литературы

1. Y. Aharonov, D. Bohm, Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory /

Phys.Rev., 115, 485-491 (1959).

2. Y. Aharonov, A. Casher, Ground state of spin-1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field / Phys.Rev., A19, 2461-2462 (1979).

3. Е.Л. Фейнберг, Об "особой" роли потенциалов в квантовой механике / УФН,78, 53–64 (1962).

4. Л.И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / М.: Наука, 1972.

5. С.И. Виницкий, В.Л. Дербов, В.М. Дубовик, Б.Л. Марковски, Ю.П. Степановский, Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике / УФН, 160, 1–49 (1990).

6. А.А. Абрикосов, Теория металлов / М, Наука, 1987.

7. О. Маделунг, Теория твердого тела / М.: Наука, 1980.

8. Р.Фейнман, Статистическая механика / М.: Мир, 1975.

9. Р.Фейнман, А. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям / М.: Мир, 1968.

10. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике / М.: Мир, 1990.

11.Д.В. Хеерман, Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / М.: Наука, 1990.

12. А.М. Сатанин, Введение в теорию функционала плотности. Учебно-методическое пособие / Нижний Новгород, 2009.

Наноструктуры; физические основы конструирования наноустройств

(части I и II)
Цель курса

Курс направлен на глубокое изучение основных понятий и явлений физики наноструктур, наиболее важных как с концептуальной, так и с прикладной точек зрения. Этот постоянно обновляющийся курс включает в себя последние, наиболее интересные и перспективные достижения; в настоящее время это, например, – открытие и свойства графена и совсем недавнее открытие и изучение замечательных свойств топологических изоляторов.

Задачи курса

Задачи курса – глубокое и наглядное освоение понятий и самых важных эффектов физики твердого тела и физики твердотельных наноструктур, понимание эвристики важнейших научных открытий, ценности физических аналогий, умение делать простые и быстрые оценки критических параметров для различных эффектов, умение применять полученные знания к конкретным научным и техническим задачам

Программа курса
Введение.

Тенденции и основные открытия в современных нанотехнологиях. Закон Мура. Ограничения и возможности нанолитографии. Основные устройства для анализа с нанометровым пространственным разрешением. Принципиальные особенности низкоразмерных систем.

1. Низкоразмерные системы и наноструктуры.

Инверсионные слои. Гетероструктуры. Квантовые ямы и сверхрешетки. Связанные квантовые ямы. Квантовые провода. Квантовые точки. Приложения в наноэлектронике и в оптоэлектронике.

2. Двумерные электронные и электрон-дырочные системы

Основные свойства двумерного электронного газа. Сильно коррелированные низкоразмерные электронные системы. Теория ферми-жидкости Ландау. Латинжеровская жидкость. Вигнеровский кристалл. Переход Мотта-Хаббарда. Фазовые переходы в системе электронов и дырок в полупроводниковых наноструктурах. Модель экситонных фаз. Бозе-конденсация и сверхтекучесть экситонов и магнитоэкситонов в наноструктурах: теория, эксперименты и проблемы.

3. Теория низкоразмерных разупорядоченных систем.

Источники случайного поля в кристалле: примеси, шероховатость поверхности раздела, дефекты кристалла и т.п. Делокализованные и локализованные состояния в примесном кристалле. Пороги подвижности в трехмерных неупорядоченных системах. Правило Иоффе-Регеля. “Примесный” переход Хаббарда. Минимум металлической проводимости.

Локализация Андерсона:

- модель Андерсона, модель Лифшица,

- критерии локализации,

- самоусредняющиеся величины,

- квантовая перколяция,

- локализация в одномерных системах,

- слабая локализация, роль интерференции путей с обращенным временем.
4. Мезоскопические явления. Фазовая когерентность
5. Квантовый эффект Холла.

Эффект Холла в полупроводниках. Выражение для холловского сопротивления.

Целочисленный квантовый эффекты Холла:

- основные экспериментальные закономерности целочисленного квантового эффекта Холла,

- продольная и поперечная проводимость и сопротивление,

- диск Корбино,

- спектр и плотность состояний двумерного электронного газа в сильных магнитных полях, кратность вырождения, заполнение уровня Ландау,

- случайное поле примесей,

- движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном поле,

- дрейфовое приближение в сильных магнитных полях и квантование холловской проводимости,

- краевые состояния,

- квантовый эффект Холла и топологические инварианты,

- эффект Бома – Ааронова,

- калибровочная инвариантность и квантование холловской проводимости,

- квантование холловского сопротивления и эталон сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла:

- основные экспериментальные закономерности дробного квантового эффекта Холла,

- теория Лафлина, несжимаемые квантовые жидкости,

- свойства вариационной функции Лафлина,

- аналогия волновой функции Лафлина и двумерной электродинамики (зарядов с логарифмическим взаимодействием), квазичастицы – квазиэлектроны и квазидырки,

- дробный заряд квазичастиц, доказательство Лафлина по аналогии с двумерной электродинамикой, доказательство Шриффера с использованием эффекта Бома-Ааронова,

- экспериментальное доказательство дробного заряда квазичастиц по спектру шумов,

- дробная статистика квазичастиц,

- композитные фермионы – новый тип квазичастиц, аналогия целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла, калибровочные поля, теория типа Черна-Саймонса.

Композитные фермионы при дробных заполнениях уровня Ландау с четными знаменателями:

- поверхность Ферми для композитных фермионов,

- экспериментальные проявления композитных фермионов: магнитная фокусировка и резонансное поглощение ультразвука в системе антиточек,

- новые загадки.

6. Открытие и свойства графена.

Аллотропные формы углерода. Проблема устойчивости двумерных мембран. Симметрия и электронный спектр графена. Аналогия с уравнением Дирака для нейтрино. Киральность. Графен и парадокс Клейна в квантовой электродинамике. Аномальное прохождение электронов через барьер. Отсутствие отражения назад и отсутствие слабой локализации в графене. Проблема минимальной металлической проводимости в графене.

Поведение графена в сильном магнитном поле. Эффект Шубникова-де Газа и экспериментальное доказательство линейности электронного спектра. Аномальный квантовый эффект Холла для графена. Возможные наноустройства на основе графена.

Нерешенные проблемы в графене. Возможные применения графена.

7. Топологические изоляторы

Топологические инварианты в физике. Фаза Берри. Эффект Бома-Ааронова. Аналогия с квантовым эффектом Холла. Краевые состояния. Топологический инвариант. Двумерный топологический изолятор. Спиновый квантовый эффект Холла. Киральные краевые состояния. Трехмерный топологический изолятор. Киральные безмассовые дираковские фермионы на поверхности. Магнитоэлектрический эффект. Дионы. Нерешенные вопросы, возможные эксперименты и применения.

Список литературы

1. А.А.Абрикосов, Теория металлов, М, Наука, 1987.

2. Christophe Jean Delerue, Michel Lannoo, Nanostructures: Theory and Modelling Springer, 2010..

3. О.Маделунг, Теория твердого тела, М, Наука, 1980.

4. И.М.Лифшиц, С.А.Гредескул, Л.А.Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем, М, Наука.

5. Электронная теория неупорядоченных полупроводников, М, Наука.

6. Квантовый эффект Холла, сборник статей под ред. Гирвина.

7. Т.Райс, Дж.Хенсел, Т. Филипс, Г.Томас, Электронно- дырочная жидкость в полупроводниках, М, Мир.

8. M.I. Katsnelson, Graphene: carbon in two dimensions, Materials .Review article,. Materials Today, Volume 10, Issue 1-2, January 2007, Pages 20-27.|

9. Carbon nanotubes, eds.M.S.Dresselhaus et.al., Springer

10. A. Kavokin, G. Malpuech, Cavity polaritons, Elsevier.

11. Turton R. J. The Quantum Dot, W H Freeman, 1995.

12. П. Дьячков, Электронные свойства и применение нанотрубок , Бином-Пресс (2010).

13. M. Z. Hasan, C. L. Kane, Topological Insulators, arXiv:1002.3895 (Обзор).

14. К. фон Клитцинг, Квантованный эффект Холла, 150, 107–126 (1986). (Нобелевская лекция).

15. Р.Б. Лафлин, Х. Штермер, Д. Цуи, Открытие нового вида квантовой жидкости с дробно заряженными возбуждениями. Нобелевские лекции по физике—1998, 170, 289 (2000).

16. А.К. Гейм, Случайные блуждания: непредсказуемый путь к графену, 181, 1284–1298 (2011) (Нобелевская лекция).

17. К.С. Новосёлов, Графен: материалы Флатландии, 181, 1299–1311 (2011)(Нобелевская лекция).

Компьютерное симулирование в задачах естествознания

(части I и II)

Цель курса: познакомить слушателя с математическими и физическими основами молекулярно-динамического моделирования и с основными принципами компьютерного моделирования материалов на основе квантовой механики, показать связь между моделированием вещества на уровне отдельных атомов с расчетом макроскопических свойств, описать базовые теоретические положения, продемонстрировать примеры решения конкретных задач физики конденсированного состояния, молекулярной биологии и материаловедения, дать представление о различных приближениях и вычислительных методах, начиная с выбора базиса для представления волновых функций и заканчивая алгоритмами распараллеливания вычислений.
Задачи курса:

Описание основных положений теоретической механики и вычислительной математики, относящихся к построению молекулярно-динамических моделей. Классификация моделей потенциалов межатомного и межмолекулярного взаимодействия для различных веществ. Обучение принципам расчета макроскопических свойств методами атомистического моделирования на основе связи молекулярной динамики и термодинамики. Описание методов решения уравнения Шредингера в простейших случаях, иерархии приближений, используемых в молекулярной биологии, квантовой химии и физике твердого тела. Знакомство с примерами решения задач. Овладение общими навыками проведения суперкомпьютерных расчетов для решения прикладных задач. Знакомство с конкретными пакетами программ для квантового моделирования и проведение суперкомпьютерных расчетов с их использованием.

Программа курса
Часть 1. Компьютерная молекулярная динамика и термодинамика

Введение. Системы координат. Уравнения движения. Периодические граничные условия. Поверхности потенциальной энергии. Единицы измерения. Математический аппарат. Методы классической молекулярной динамики (МД) и Монте-Карло (МК). Параллельные алгоритмы для расчета взаимодействий между частицами: декомпозиция по частицам и по пространству. Роль статистического усреднения. Эффективность распараллеливания.Средства визуализации данных и молекулярная графика. Компьютерное оборудование и программное обеспечение. Операционная система Linux. Ресурсы Интернета.

Потенциалы межатомного взаимодействия. Парные потенциалы: твердые и мягкие сферы, потенциалы Леннарда-Джонса и Букингема. Многочастичные потенциалы для металлов и полупроводников. Модели межатомного взаимодействия в (био)молекулярных системах. Ван-дер-ваальсовское взаимодействие. Водородная связь. Электростатическое взаимодействие. Потенциалы взаимодействия в неидеальной плазме.

Интегрирование уравнений движения. Методы интегрирования уравнений движения в молекулярной динамике. Сохранение интегралов движения и инвариантов. Симплектические схемы интегрирования. Алгоритмы сортировки при расчете сил, действующих на атомы: списки Верле, связные списки. Методы оптимизации.

Равновесные системы. Методы вывода молекулярно-динамической системы в равновесное состояние. Моделирование различных статистических ансамблей: микроканонический, канонический, изобарический. Флуктуации. Методы диагностики: температура, давление, тензор напряжений, теплоемкость, упругие свойства среды, коэффициент диффузии. Основные уравнения механики сплошных сред. Методы анализа структуры. Корреляционные функции и их спектры. Решение уравнения Пуассона на сетке. Декомпозиция по пространству, оптимизация передачи данных между узлами.
Неравновесные системы, релаксация. Примеры моделей неравновесных процессов на атомистическом уровне. Основные требования к моделированию релаксации: начальные состояния, ансамбль начальных состояний, характеристики, зависящие и не зависящие от начального ансамбля, диагностика, требующая усреднения по времени. Методы расчета транспортных свойств: вязкость, теплопроводность, диффузия. Модели ударных волн. Гюгониостат. Моделирование взаимодействия излучения с веществом. Распараллеливание задач газо- и гидродинамики.
Часть 2. Компьютерная квантовая механика

Уравнение Шредингера в стационарном и нестационарном случае. Решение задач о движении частицы, прохождении через щель. Использование пакета Mathematica для построения соответствующих моделей и визуализации результатов.

Одноэлектронный атом. Многоэлектронный атом и молекулы. Детерминант Слэтера. Молекулярные орбитали. Уравнения Хартри-Фока. Методы учета электронных корреляций. Теория возмущений. Многоконфигурационные подходы.

Использование функционала плотности. Электрон-электронное взаимодействие: обменно-корреляционное взаимодействие, функционал Кона-Шэма, приближение локальной плотности. Электрон-ионное взаимодействие: приближение псевдопотенциала. Особенности моделирования изолированных молекул и кластеров и периодических систем.

Технология вычислений. Базис плоских волн. Локализованные базисы. Смешанные базисы. Вейвлетные базисы. Принципы распараллеливания алгоритмов. Использование быстрого преобразования Фурье. Обзор существующих программных средств.
Список литературы
1. A. Rahman, Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon // Phys. Rev., v.136, p. A405, 1964.

2. M.P. Allen and D.J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford: Clarendon Press, 1989.

3. D. Frenkel, B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications, San Diego: Academic Press, 2002.

4. А.А. Валуев, Г.Э. Норман, В.Ю.Подлипчук, Метод молекулярной динамики: теория и приложения // В сб. «Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества». М.: Наука, 1989. С. 5-40.

5. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1990.

6. Р. Хокни, Дж. Иствуд, Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

7. P. Gibbon, G. Sutmann, Long-range interactions in many-particle simulation // in Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, Lecture Notes, J. Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu (Eds.), 2002.

8. A. R. Leach, Molecular modelling: principles and applications. Prentice Hall, 2001.

9. Теория неоднородного электронного газа. Под. ред. С. Лундквиста и Н. Марча, М.: Мир, 1987.

10. M. D. Segall, Applications of ab initio atomistic simulations to biology // J. Phys.: Condens. Matter, v.14, p.2957, 2002.

11. R.M.Martin, Electronic structure. Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. 2008.

12. J.Hutter, D.Marx, Ab Initio Molecular Dynamics: Basic Theory and Advanced Methods. Cambridge University Press. 2009.

Математическое моделирование молекулярных машин

Цель курса: познакомить студентов с методами использования р-адических уравнений в задачах математического моделирования динамки и функции биологических макромолекул - молекулярных машин.
Задачи курса:

Ознакомление с ультраметрическими пространствами, р-адическими числами, элементами анализа на поле р-адических чисел и р-адическими псевдо-дифференциальными уравнениями. Освоение аналитического аппарата теории ультраметрических случайных процессов. Развитие навыков решения р-адических уравнений ультраметрической диффузии как основы ультраметрических моделей динамики молекулярных машин. Ознакомление с особенностями архитектуры и динамики функциональных биополимеров.Развитие навыков конструирования ультраметрических моделей структуры и динамики функциональных биополимеров и молекулярных машин.

Программа курса
1. Обзор представлений о функциональных биополимерах и молекулярных машинах. Характерные особенности динамики и функции биополимеров. Молекулярные машины. Проблемы математического моделирования биополимеров и молекулярных машин. Основные идеи иерархического (ультраметрического) моделирования.
2. Введение в р-адический анализ в объеме, необходимом для освоения данного курса. р-Адические числа и ультраметрические пространства, локально-постоянные функции на Q_p, интегрирование на Q_p. (8 часов)

3. р-Адическое преобразование Фурье и р-адические всплески.

4. Псевдо-дифференциальный оператор Владимирова, р-адические псевдодифференциальные уравнения. Уравнение ультраметрической диффузии, методы решения, свойства решений. Численные методы решения р-адических псевдо-дифференциальных уравнений. Компьютерное моделирование ультраметрической диффузии.
5. Ультраметрическое описание флуктуационно-динамической подвижности белковой структуры. Свойства флуктуационно-динамической подвижности белковых молекул. Спектральная диффузия в белках. Задача о распределении времени первых возвращений и числа возвращений для ультраметрической диффузии. Ультраметрическая модель спектральной диффузии в белках.
6. Ультраметрическое описание элементарного цикла ферментативной реакции. Особенности кинетики связывания СО миоглобином в высокотемпературной и низкотемпературной областях. Моделирование кинетики ферментативного связывания уравнением ультраметрической диффузии с реакционным стоком. Методы решения и свойства решений такого уравнения. Особенности ультраметрической модели кинетики связывания СО миоглобином в низкотемпературной и высокотемпературной области.
7. Ультраметрические модели рабочего цикла молекулярной машины. Биологические молекулярные машины, их структурные и функциональные особенности. Архитектура модели рабочего цикла молекулярной машины. Система уравнений вида "реакция - ультраметрическая диффузия" как основа многомасштабного математического моделирования рабочего цикла молекулярных машин. Методы решения. Примеры математических моделей молекулярных машин.

Список литературы
1. В.С. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, р-Адичесикий анализ и математическая физика. Наука. М. 1994.

2. Н. Коблиц, р-Адические числа, р-адический анализ и дзета функции. Мир. М. 1982

3. С.В. Козырев, р-Адические псевдодифференциальные операторы и р-адические всплески.

4. В.А. Аветисов, А.Х. Бикулов, А.П. Зубарев, Д.А. Мешков, Многомасштабное математическое моделирование молекулярных машин: проблемы и современные подходы. //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. (2012, в печати)

5. Л.А. Блюменфельд, Проблемы биологической физики, Наука. М. 1977

Некоммутативный анализ и алгебраические преобразования

Цель курса: представить общий обзор методов и конструкций алгебраического анализа линейных уравнений математической физики, а также формул исчисления некоммутирующих операторов.
Задачи курса: обучить применению некоммутирующих операторов и алгебраических подходов в исследовании линейных моделей математической физики, продемонстрировать фундаментальные связи между алгеброй и механикой, алгеброй и геометрией, дать примеры анализа ряда базовых квантовомеханических систем с помощью алгебраических методов и квантовой геометрии.

Программа курса
1. Функции от некоммутирующих операторов
- Функции от нескольких некоммутирующих операторов. Достаточные условия реализации. Базовые формулы исчисления (Ньютона, дифференцирования, квазикоммутации, для сложной функции, диаграммная техника и «интеграл» по путям). Контрпримеры.

- Квантовое произведение функций. Операторы регулярного представления и свертка. Примеры построения квантовых произведений по перестановочным соотношениям.

- Алгебра Гейзенберга. Теорема Стоуна-фон Неймана и неравенство Вейля. Задача Дирака. Исчисление Вейля-Вигнера-Грюнвольда-Мойала-Берри-Маринова. Квантовые дельта-функция и тэта-функция. Формула Аргиреса для дискретного спектра квантовых систем с одной степенью свободы. Квантовое «действие» для случая одной степени свободы. Обобщенное упорядочение образующих алгебры Гейзенбкрга, устранение фокальных точек на примере осциллятора.

- Функции от образующих алгебр Ли. Унитарные представления групп Ли, теорема Нельсона. Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа. Инвариантные поля, формы, мера, уравнения Маурера-Картана. Нильпотентные, разрешимые, полупростые, компактные группы. Форма Киллинга и лапласиан. Разложение на неприводимые представления, мера Планшереля. Метод орбит Кириллова-Костанта-Сурьо и геометрическое квантование. Формула Кириллова для характеров.

- Общие перестановочные соотношения, свойство Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебры Фаддеева-Решетихина-Склянина. Полулинейные соотношения. Сильно нелинейные и разрешимые соотношения. «Цветные» алгебры. Антикоммутационные соотношения. Операторы обобщенного сдвига.

- Подход Фейнмана к функциям от семейств некоммутирующих операторов. Формула выпутывания. Некоммутативная теорема Стокса. Континуальный аналог формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа. Формула Цассенхауза.

- Уравнение квантового эфира, квантовые пути и кривизна. Асимптотическое квантовое произведение на общих симплектических многообразиях. Квантовое фазовое пространство для римановой метрики и магнитного поля, магнито-метрическая симплектическая связность. Фронт-эффект над плоскостью Лобачевского.

2. Алгебраические источники механики
- Хроно-алгебры Фейнмана и алгебраическая динамика.

- Тензоры тока и напряжения, выведенные из алгебры Гейзенберга.

- Локализация на траекториях и транслокация гамильтониана.

- Фронт осцилляций и инфинитезимальные интегралы движения.

- Геометрия смешанных самосогласованных состояний и гистерезис.

- Влияние алгебры быстрых движений на геометрию медленных. Квантовая связность и кривизна Берри-Саймона.

- Некоммутативные координаты ведущего центра Ландау-Пайерлса для ларморова вихря в магнитном поле. Квантовые магнитные ловушки и квантовые адиабатические поверхности. 2D-уравнение Максвелла-Лоренца как гамильтонова система. Ток и локализация состояний ларморовых квазичастиц за счет геометрии поверхности. Квантовая поправка к геометрическому гамильтониану квазичастицы на поверхности.

- Спинорная структура и уравнение Дирака на многообразии. Деформация метрики в спинтронике. Кривизна как напряженность псевдомагнитного поля в графене. Ток Холла в графене.

- Деформация классической геометрии в квантовых интегрируемых системах. Динамика на больших временах и квантовая диффузия. Формулы для асимптотики следа оператора эволюции и спектральной плотности.

3. Алгебраическое усреднение и нелиевские квантовые алгебры в физических моделях
- Алгебраическое усреднение для матриц. Как сделать матрицы коммутирующими.

- Алгебраическое усреднение для нелинейных динамических (гамильтоновых) систем.

- Алгебраическое усреднение для квантовых систем.

- Резонансные алгебры: алгебры Ли, нелиевские алгебры и тройные алгебры. Алгебры ангармонических резонансных осцилляторов. Гироны в резонансных волноводных каналах и квантовых проволоках. Алгебры резонансных наноловушек Пеннинга.

- Регуляризация Кустанхеймо. Квадратичная алгебра эффекта Зеемана для атома водорода. Алгебра резонансного эффекта Зеемана-Штарка. Водородоподобный центр на поверхности в магнитном поле. Атом-монополь в магнитном поле (модель МиК-Кеплера).

- Квадратичная алгебра фазового пространства над трехмерной сферой.

- Коммутанты элементов алгебр Ли и их квантовые листы.

Список литературы
П.М. Дирак, Лекции по квантовой механике / М.: Мир, 1968. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970. А.А. Кириллов, Элементы теории представлений / М.: Наука, 1972. Ф.А. Березин, Метод вторичного квантования / М.: Наука, 1986. А.М. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их применение / М.: Наука, 1987. В.В. Козлов, Общая теория вихрей / Ижевск, 1998. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов / М.: Наука, 1986. В.П. Маслов, Операторные методы / М.: Наука, 1973. В.П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988. М.В. Карасев, Задачник по операторным методам / М.: МИЭМ, 1979. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.: 1991. M.V. Karasev (ed.), Coherent transform, quantization and Poisson geometry / Advances Math.Sci., 40, AMS, 1998. M.V. Karasev (ed.), Asymptotic methods for wave and quantum problems / Advances Math.Sci., 53, AMS, 2003. M.V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics / Advances Math.Sci., 57, AMS, 2005. Н. Харт, Геометрическое квантование в действии / М.: Мир, 1985. В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики / М.: Мир, 1977. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981. М.Б. Менский, Группа путей. Измерения. Поля, Частицы / М.: Наука, 1983. В.П. Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве / М.: Физматлит, 2005. Н.Б. Брандт, В.А. Кульбачинский, Квазичастицы в физике конденсированного состояния / М.: Физматлит, 2007.
Математические методы исследования нелинейных систем
Цель курса: ознакомление с основными классами эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными, которые возникают при описании нелинейных явлений, и с методами построения их (асимптотических) решений; с единой точки зрения, с помощью метода слабых асимптотик, рассматриваются разнородные, на первый взгляд, задачи такие как распространение и взаимодействие солитонов или слияние свободных границ при фазовых переходах; излагается также метод построение точных решений вполне интегрируемых нелинейных уравнений с помощью обратной задачи рассеяния.
Задачи курса: слушатели должны освоить основные нелинейные эволюционные модели математической физики, понятие обобщенного решения, метод характеристик и его обобщения; знать свойства, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метод обратной задачи рассеяния, метод слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метод регуляризаций; уметь исследовать уравнения с частными производными первого порядка, строить решения уравнения неразрывности в разрывном поле скоростей,описывать распространение и взаимодействие уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, Кортевега-де Фриза и его аналогов; с помощью метода обобщенных характеристик уметь анализировать прямую и обратную задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.

Программа курса
1. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса-Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова.
2. Уравнение Бюргерса. Задача о взаимодействии сглаженных ударных волн. Преобразование Хопфа-Коула.
3. Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо.
4. Нелинейные законы суперпозиции. Взаимодействие сглаженных ударных волн для уравнений типа Бюргерса. Рождение ударных волн как результат взаимодействия слабых разрывов. Распад неустойчивой ударной волны. Взаимодействие ударной волны и волны разряжения в одномерном случае.
5. Асимптотические алгебры в многомерном случае. Рождение ударной волны как результат взаимодействия слабых разрывов.
6. Уравнения с малой дисперсией. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ.

7. Метод Маслова построения асимптотических солитонных решений для уравнений типа КдВ с переменными коэффициентами и малой дисперсией.

8. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик.
9. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Негладкие решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их связь с обобщенными решениями «законов сохранения» в одномерном случае. Построение негладких решений уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана методом характеристик.
10. Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Концентрация массы на подмногообразиях положительной коразмерности. Дельта-ударные волны: определение и построение методом характеристик. Дельта-ударные волны в многомерном случае. Описание взаимодействия дельта-ударных волн методом слабых асимптотик. Дельта-ударные волны с сингулярным носителем в виде стратифицированного многообразия.
11. Система уравнений газовой динамики без давления. Связь дельта-ударных волн с «блинной» теорией Зельдовича-Шандарина о строении вселенной. Влияние «темной материи» на процесс концентрации масс.
12. Построение обобщенных решений уравнения переноса с помощью обобщенных решений уравнения неразрывности и преобразования Маделунга.
13. Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующие аналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова.
14. Построение глобальных по времени асимптотических решений уравнения с малым параметром типа Колмогорова-Феллера методом характеристик. Решение задачи Коши в обратном времени.

Список литературы
1. C.M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics / Springer, 2000.

2.Теория солитонов. Метод обратной задачи / М., Мир, 1980.

3. Дж. Лэм, Введение в теорию солитонов / М., Мир, 1983.

4. М. Абловиц, X. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи / М., Мир, 1987.

5. V.G. Danilov, G.A. Omel’yanov, V.M. Shelkovich, Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves / Asymptotic methods for wave and quantum problems, Amer. Math. Soc. , Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.

6. V.G. Danilov, V.M. Shelkovich, Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws / Quart. Appl. Math. 63(2005), no. 3, 401–427.

7. S. Albeverio, V. Danilov, Global in Time Solutions to Kolmogorov-Feller Pseudodifferential Equations with Small Parameter / Russian Journal Math. Phys., 18 (2011), no. 1, 10-25.

8. V.G. Danilov, D. Mitrovic, Shock wave formation process for a multidimension scalar conservation law / Quarterly Appl. Math., XIX (2011), no.4, 613-634.

Интернет-программирование, интеллектуальные интерфейсы
Цель курса

Изучение цикла технологий для разработки научных веб-сайтов и научных интернет-сервисов

Задачи курса

Теоретическое и практическое освоение технологий для программирования веб-сайтов.
Изучение методов и инструментов проектирования интеллектуальных интерфейсов программных систем, веб-сайтов и мобильных приложений.
Знакомство с технологиями компьютерной графики и освоение инструментов разработки графических элементов.

Программа курса
Интернет-программирование

Создание первого веб-сайта, основы синтаксиса html/css. Основы синтаксиса php на примере разработки программы для решения системы линейных уравнений.

Расширенные возможности php: использование библиотек, работа со строками, регулярные выражения. Основы работы с базой данных MySQL. Основы отладки веб-сайтов.

Виды интерфейсов (веб, мобильные приложения, десктопные приложения, специальные интерфейсы): их особенности и ограничения. Классы, списки. Веб-интерфейс: формы, таблицы.

Обмен данными между веб-приложениями: способы, форматы.

Основы проектирования сложных веб-сайтов: архитектура "интерфейс - сервер - БД".

Основы JavaScript. Использование AJAX. Интеграция с другими системами, API.

Работа с базой данных: сложные запросы, проектирование базы данных.

Проектирование интеллектуальных интерфейсов

Что такое пользовательский интерфейс, примеры. Основные типы элементов интерфейса ("контроллы"). Обзор методики разработки интерфейсов: сбор и компоновка требований, создание прототипа, тестирование. Формат описания функциональных требований и логики поведения.

Способы проектирования интерфейсов (на основе списка требований, "use cases"/UML, итеративный). Программы для проектирования интерфейсов. Выбор элементов интерфейса. Проектирование экранных форм. Разработка составных и специальных элементов интерфейса.

Разработка сценариев использования и карты последовательностей экранных форм.

Особенности интерфейса для десктопных приложений. Особенности интерфейса для веб-приложений. Тестирование интерфейсов. Особенности интерфейса для мобильных приложений. Особенности специальных интерфейсов. Адаптивные интерфейсы. Автоматическая генерация интерфейсов системой.
Компьютерная графика и дизайн сайтов

Виды дизайна, анимации и компьютерной графики. Разработка трехмерной графики. Движение фигур в пространстве. Освещение, тени. Методы визуализации на примере физических и химических эффектов. Разработка материалов. Разработка текстур. Программирование трехмерной графики: обзор графических библиотек и методов создания компьютерной графики.

Трехмерное моделирование с помощью OpenGL. Трехмерное моделирование с помощью DirectX.

Разработка дизайна интернет-сайтов. Проектирование функциональных областей интернет-сайтов.

Разработка анимации с помощью flash. Скрипты flash-анимации (обзор языка Action Script).
Список литературы

М. Грабер, SQL. Справочное руководство / Лори, 2006.
К. Паппас, У. Мюррей, Отладка в С++. Руководство для разработчиков / Бином-Пресс, 2009.
Дж. Спольски, Джоэл о программировании / Символ-Плюс, 2006.
М. Янг, XML. Шаг за шагом / Эком, 2001.
Дж. Армстронг, Джен де-Хаан, Macromedia Flash 8. Официальный учебный курс / Триумф, 2007.
Э. Хант, Д. Томас, Программист-прагматик. Путь от подмастерья к мастеру / Лори, 2007.
Б. Скотт, Т. Нейл, Проектирование веб-интерфейсов / Символ-Плюс, 2010.

Модели биофизики и термодинамики макромолекул; самосборка

Цель курса: ознакомить с базовыми процессами и объектами молекулярных мезосистем.
Задачи курса:

- получение базовых знаний о биофизике молекулярных мезосистем,

- ознакомление с механизмами молекулярного движения и самосборки,

- получение представлений о математических моделях, описывающих молекулярные мезосистемы,

- подготовка к самостоятельным исследованиям в области моделирования макромолекул и явлений самосборки.

Программа курса
1. Базовые физико-химические структуры и процессы в молекулярных мезосистемах.

Молекулы биологической клетки, мембраны, плазма, регуляторы протеинов, энзимы.

Молекулярные моторы. Потоки информации в клетке. Биокомпьютер Либермана.

Броуновское движение, уранение Фоккера-Планка, соотношения Эйнштейна,

диффузионное приближение, теория Крамерса теплового туннелирования, химические реакции.
2. Термодинамика мягкой материи.

Статистический вес, энтропия, конформационная энтропия. Второй закон термодинамики, равновесные процессы. Примеры: термодинамика нитей, стальные проволоки, каучук.

Физика воды, роль водородных связей. Осмотическое давление. Особый статус модели Изинга. Денатурация ДНК.
3. Проблема самосборки.

Амфифильные молекулы, образование бислоёв. Вирусы. Молекулярные машины.

Модельные представления, основанные на уравнении Фоккера-Планка, применение к деятельности энзимов. Самосборка как работа молекулярной вычислительной машины.
4. Механика мембран.

Строение биологической мембраны. Искусственные химические мембраны, их технологические применения. Модель Хелфрика. Фазы губок (sponge phases). Трудности аналитического и дифференциально-геометрического подхода; численное моделирование.

Список литературы
М.В.Волькенштейн, Молекулярная биофизика, Наука, Москва (1975).

А.Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, Москва (1955)

Р.Кубо, Статистическая механика, Мир, Москва (1967).

А.Б.Рубин, Теоретическая биофизика, том 1-2, изд. МГУ (2004).

Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение

Цель курса: изложение асимптотических методов построения решений уравнений с частными производными, важных в механике жидкостей и в теории теплопроводности; в первой «механической» части обращено особое внимание на нелинейные эффекты, которые удается описать с помощью осреднения (или комбинации осреднения с техникой пограничного слоя) при изучении течений в рамках уравнений Навье-Стокса; во второй части основную роль играют объекты симплектической геометрии и специальные интегральные преобразования.
Задачи курса: обучить общему подходу, позволяющему строить асимптотику решений математических моделей, возникающих как в многомасштабной пористой среде, так и в погранслоях сложной структуры над поверхностями с одиночными локализованными возмущениями и с периодическими неровностями; обучить методу канонического оператора в виде Маслова (или интегральных операторов Фурье) для параболических уравнений, а также методу, основанному на разложении дельта-функции Дирака по гауссовым экспонентам.
Программа курса
1. Метод осреднения. Построение осциллирующих решений для линейных уравнений теплопроводности и волнового с осциллирующими коэффициентами. Математическая модель фильтрации газа в слоистой среде: нелинейное параболическое уравнение с осциллирующим коэффициентом.

2. Асимптотические решение систем уравнений Стокса и Навье-Стокса в пористой среде. Модели «частиц в ячейках». Многомасштабные пористые среды, многомасштабные асимптотические решения. Поправки к уравнениям Дарси.

3. Течение несжимаемой жидкости вдоль поверхностей с неровностями: - солитоноподобная неровность, трехпалубная структура Смита-Стюартсона, - солитоноподобное возмущение, двухпалубная структура, - малые периодические неровности, двухпалубная и трехпалубная структуры течения. Устойчивость двухпалубной структуры. Рождение и затухание вихрей в двухпалубном погранслое. Алгоритмы численного решения уравнения, описывающего течение в приповерхностной области.

4. Представление дельта-функции через гауссову экспоненту с помощью операторов рождение-уничтожение. Асимптотика на малых временах фундаментального решения задачи Коши для уравнения Колмогорова-Феллера: - геометрия лагранжевых подмногообразий, отвечающих задаче,

- построение интегрального представления, - обоснование построенной асимптотики,

- исследование качественных свойств фундаментального решения для некоторых вырожденных коэффициентов диффузии, - фундаментальное решение для бездиффузионного уравнения Колмогорова-Феллера и его свойства.

5. Построения асимптотики фундаментального решения краевых задач на основе интегрального представления дельта-функции с помощью операторов рождение-уничтожение.
Список литературы
1. Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / М.: Наука, 1984.

2. В. П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988

3. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний / М.: Мир, 1984.

4. V.G. Danilov, V.P. Maslov, K.A.Volosov, Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes / Kluwer Acad. Publ., 1995.

5. V.G. Danilov, S.M. Frolovitchev, Exact asymptotics of the density of the transition probability for discontinuous Markov processes / Math. Nachr. 215 (2000), 55–90.

6. V.G. Danilov, A representation of the delta function via creation operators and Gaussian exponentials, and multiplicative fundamental solution asymptotics for some parabolic pseudodifferential equations / Russian J. Math. Phys. 3 (1995), no. 1, 25–40.

7. V.G. Danilov, M.V. Makarova, Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with small periodic irregularities / Russian J. Math. Phys. 2 (1994), no. 1, 49–56.

8. J. Cousteix, J. Mauss, Asymptotic analysis and boundary layers / Springer, 2007

Идемпотентная и тропическая математика; приложения
Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач и приложений идемпотентной и тропической математики.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам идемпотентной и тропической математики, а также методам применения теории в различных прикладных задачах.
Программа курса

1. Введение. Идемпотентный принцип соответствия. Деквантование Маслова и связанные с ним процедуры деквантования и квантования

Деквантование чисел. Тропические алгебры. Тропическая математика как часть идемпотентной математики. Идемпотентные полукольца. Квантование и деквантование в физике и математике. Уравнение Гамильтона-Якоби как результат деквантования уравнения Шредингера. Принцип суперпозиции. Деквантование интегрирования и меры Маслова. Деквантование интегральных операторов. Преобразование Лежандра как результат деквантования преобразования Фурье-Лапласа. Деквантование функций и выпуклый анализ. Обобщенные многогранники Ньютона. Деквантование линейных операторов и их спектральные свойства. Размерность Хаусдорфа как результат деквантования метрики. Фрактальная размерность. Деквантование геометрии и тропическая геометрия. Энтропия Шеннона и квантование Маслова.

2. Идемпотентная алгебра и ее приложения

Свойства идемпотентных полуколец и стандартный порядок. Основная теорема идемпотентной алгебры. Матричная идемпотентная алгебра. Матричное уравнение Беллмана и методы его решения. Задачи динамического программирования и оптимизации на графах. Принцип суперпозиции и параллельные вычисления. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем.

3. Идемпотентный анализ и его приложения

Алгебраический подход к идемпотентному анализу. Линейные и функциональные пространства в идемпотентном анализе. Основные теоремы идемпотентного анализа. Теоремы о ядре, ядерные операторы и пространства в идемпотентном анализе. Приложения к решению уравнения Гамильтона-Якоби. Идемпотентная теорема Шаудера и ее приложения в теории управления. Идемпотентный анализ и теория нечетких множеств. Теория возможности.

4. Компьютерные приложения и интервальный анализ

Принцип соответствия для алгоритмов и их аппаратных и программных реализаций. Приложения к патентованию вычислительных устройств. Универсальные алгоритмы и их объектно-ориентированная программная реализация. Интервальный анализ в идемпотентной математике. Интервальный анализ для матричного уравнения Беллмана. Перспективы и новые задачи
Список литературы

1. В.П. Маслов, В.Н. Колокольцов, Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении/ М.: Физматгиз, 1994. 2. C. М. Авдошин, В.В. Белов, В.П. Маслов, Математические аспекты синтеза компьютерных сред/М.: МИЭМ, 1984. 3. C. М. Авдошин, В.В. Белов, В.П. Маслов, В.М. Питеркин, Оптимизация гибких производственных систем/М.: МИЭМ, 1987. 4. V. P. Maslov and K. A. Volosov, eds, Mathematical aspects of computer engineering/ MIR., Moscow, 1988.

5. Н.К. Кривулин, Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем /С.-Петербург, СПбГУ, 2009.

6. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, Идемпотентная математика: принцип соответствия и приложения// Успехи математических наук, Том 51, №6, 1996.

7. Г.Л. Литвинов, Е.В. Маслова, Универсальные вычислительные алгоритмы и их программная реализация // Программирование, 2000, # 5, с. 53-62.

8. Г.Л. Литвинов, Универсальные алгоритмы и идемпотентная математика // Компьютерные средства в образовании, 2000, #6, (С.-Петербург), с. 12-18.

9. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, А.Н. Соболевский, Идемпотентная математика и интервальный анализ // Вычислительные технологии, том 6, # 6, 2001, с. 47-70.

10. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, Г.Б. Шпиз, Идемпотентный функциональный анализ: алгебраический подход// Матем. заметки, том 69, # 5, 2001, с. 758-797.

11. G. L. Litvinov and V. P. Maslov (Eds.), Idempotent mathematics and mathematical physics, Contemporary Mathematics, Vol. 377, AMS, Providence, 2005.

12. Г.Л. Литвинов, Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение//Записки научных семинаров ПОМИ, том 326, 2005, с.145-182. E-print arXiv:math.GM/0507014

13. G.L. Litvinov, V.P. Maslov, A.Ya. Rodionov, A.N. Sobolevski, Universal algorithms, mathematics of semirings and parallel computations// Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering, v. 75, 2011, 63-89.

Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы

Цель курса:
Многие бурно развивающиеся отрасли технологий требует знания современной алгебры и базируется на синтезе теоретических областей (теории групп, колец, полей, квадратичных форм, решеток, укладок и покрытий, алгебраической геометрии и теории чисел) с прикладными разделами. В курсе дается изложение теоретических основ алгебраический информатики, а также ее приложений. Для одной группы приложений оно концентрируется вокруг теории базисов Грёбнера, для другой - вокруг теории алгебраических чисел и теории эллиптических кривых.
Задачи курса:
Изложить теорию конечных полей, обсудить базисные понятия и результаты теории кодирования, рассмотреть важнейшие типы кодов. Дать введение в соответствующие разделы алгебраической геометрии и теории решеток. Рассмотреть конструкции и свойства алгебро-геометрических кодов и кодов, связанных с решетками. Дать введение в вычислительную алгебру, облегчив слушателям освоение теоретического материала за счет рассмотрения примеров конкретных вычислений, иллюстрирующих общетеоретические понятия. Итоговая задача: добиться уровня овладения изложенным материалом, который позволит слушателям самостоятельно работать в этой области.
Программа курса

следующая страница>