Программа годового спецкурса

«Предельные теоремы для случайных величин»

для студентов 2 курса

(доцент А.П.Шашкин, осень 2010-весна 2011)

Задачей первой части спецкурса является введение в теорию вероятностей с изложением основных определений и фактов (включая необходимые сведения из действительного анализа). Во второй части курса рассматриваются некоторые важные задачи и подходы, которые обычно подробно не разбираются в стандартном курсе теории вероятностей и могут быть достаточно элементарно изложены.

1. 
   Основные понятия дискретной теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Случайные величины на конечном вероятностном пространстве. Независимость. [1, § 1.1, 1.3].
   
2. 
   Математическое ожидание в дискретном случае. Дисперсия. [1, § 1.4].
   
3. 
   Неравенство Чебышева. Применение к доказательству слабого закона больших чисел для схемы Бернулли. Полиномы Бернштейна. [1, § 1.5].
   
4. 
   Вероятностное пространство, аксиоматика Колмогорова, случайные величины. [1, § 2.1—2.4].
   
5. 
   Интеграл Лебега, математическое ожидание в общем случае, моменты случайной величины. [1, § 2.6].
   
6. 
   Примеры случайных величин. Пуассоновское, равномерное, нормальное, показательное распределения. [1, § 2.3].
   
7. 
   Сходимости по вероятности и почти наверное. Усиленный закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием (доказательство Этемади). [1, § 2.10; 3].
   
8. 
   Сходимость по распределению. Метод Стейна. Центральная предельная теорема (для независимых одинаково распределенных случайных величин, обладающих третьим моментом). [1, § 2.10; 2, § 3.1.4].
   
9. 
   Характеристические функции, их основные свойства. Связь сходимости по распределению и сходимости характеристических функций (без доказательства). Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. [1, § 2.12].
   
10. 
    Условия, при которых распределение однозначно определяется своими моментами. Случайные матрицы Вигнера. Предельная теорема для среднего распределения собственных значений (без доказательства). [1, § 2.12].
    
11. 
    Ассоциированность случайных величин. Преобразования, сохраняющие ассоциированность. [2, § 1.1.1—1.1.3]
    
12. 
    Строго стационарные случайные последовательности. Ковариационная функция. Центральная предельная теорема Ньюмена. [2, § 3.1.1—3.1.3; 4]
    
13. 
    Условные математические ожидания. Мартингалы с дискретным временем. Теорема Дуба об остановке. Случайное блуждание, задача о разорении игрока. [1, § 1.11].
    
14. 
    Теорема Биркхофа-Хинчина (доказательство Кина-Петерсена).[5].
    

Литература

1. 
   А.Н.Ширяев. Вероятность. М., МЦНМО, 2007.
   
2. 
   А.В.Булинский, А.П.Шашкин. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М., ФИЗМАТЛИТ, 2008.
   
3. 
   N.Etemadi. An elementary proof of the strong law of large numbers. Probability Theory and Related Fields, Vol. 55 (1981), No. 1, p. 119—122.
   
4. 
   C.M.Newman. Normal fluctuations and FKG inequalities. Communications in Mathematical Physics, 1980, No. 2, 1980, p. 119—128, а также https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103907978 .
   
5. 
   M.Keane, K.Petersen. Easy and nearly simultaneous proofs of the Ergodic Theorem and Maximal Ergodic Theorem. IMS Lecture Notes-Monograph Series Vol. 48 (Beachwood, Ohio, 2006), p. 248—251, а также https://projecteuclid.org/euclid.lnms/1196285825 .