Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика»

Программа курса

«Теория вероятностей и математическая статистика».

Весна 2005 г.

Стохастический эксперимент. Понятие события
- понятие стохастического эксперимента, элементарные события
- события как подмножества пространства элементарных событий, операции над событиями (объединение, пересечении, дополнение), свойства операций
- алгебра и сигма-алгебра событий, примеры
- сходимость последовательности событий, предел последовательности событий
Вероятностное пространство
- аксиомы вероятности
- непрерывность вероятности
- примеры вероятностных пространств, классическая и геометрическая вероятности
Условная вероятность
- свойства условной вероятности
- формула полной вероятности
- формула Байеса
Последовательность независимых испытаний
- биномиальное распределение (распределение Бернулли), полиномиальное распределение
- отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)
- теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
Цепи Маркова
- свойства цепи Маркова: конечность, однородность, эргодичность
- матрицы перехода за один и n шагов; свойства матриц перехода
- достаточное условие эргодичности (теорема Маркова)
Понятие случайной величины и случайного вектора
- определение и свойства функции распределения случайной величины
- дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные случайные величины и векторы
- функции от случайных величин и случайных векторов, их распределения
- условное распределение
Независимость событий и случайных величин
- независимость событий: попарная и в совокупности
- свойства независимых событий
- независимость случайных величин: попарная и в совокупности
- функции от независимых случайных величин
Числовые характеристики распределения случайной величины и случайного вектора
- математическое ожидание случайной величины и случайного вектора, его свойства
- дисперсия случайной величины, свойства дисперсии
- матрица ковариаций случайного вектора, ее свойства
- условное математическое ожидание случайной величины, его свойства
- характеристическая функция и ее свойства
- теоремы обращения и непрерывности обращения характеристической функции (без доказательства)
Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
- наилучшее линейное оценивание случайной величины и случайного вектора
- условное математическое ожидание как наилучшая в среднем квадратичном оценка случайной величины
Предельные теоремы
- сходимость последовательности случайных величин: по вероятности, по распределению, в среднем квадратичном
- законы больших чисел Чебышева и Маркова
- центральная предельная теорема и интегральная теорема Муавра–Лапласа
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- одномерное нормальное распределение и его характеристики (моменты, характеристическая функция)
- линейное преобразование гауссова случайного вектора
- многомерное нормальное распределение
- распределение ортогональных проекций нормальных векторов и функций от них
- распределения хи-квадрат (Пирсона), Стьюдента, Фишера
Случайные процессы
- определение случайного процесса, основные характеристики случайного процесса: функции распределения, математическое ожидание, корреляционная функция
- процесс Пуассона: определение, характеристическое свойство, примеры пуассоновских потоков событий, распределение времени ожидания первого события
- процесс Винера: определение, характеристическое свойство, броуновское движение, распределение времени первого достижения
- среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость случайного процесса, их связь со свойствами корреляционной функции
Точечное оценивание параметров распределения
- Точечные оценки, несмещенность, состоятельность оценки
- примеры точечных оценок математического ожидания и дисперсии
- свойства оценок минимальной дисперсии
- эффективность, теорема Крамера–Рао, экспоненциальное семейство
- оценка максимального правдоподобия
Интервальное оценивание параметров распределения
- постановка задачи интервального оценивания
- интервальные оценки математического ожидания и интервальные оценки дисперсии нормального распределения
Задачи оценивания в линейной модели измерения
- линейная схема косвенных измерений
- линейное оценивание, методы редукции измерений и метод наименьших квадратов
- теорема Гаусса–Маркова
- гауссовская модель измерения, доверительный эллипсоид, интервальные оценки