Программа «Математическое моделирование физических процессов»

Программа и правила проведения вступительного испытания

для абитуриентов, поступающих в магистратуру по направлению подготовки «Прикладная математика и физика

(программа «Математическое моделирование физических процессов»)
Собеседование с абитуриентами оценивается по 100-балльной шкале. Минимальное количество баллов, подтверждающее успешное прохождение вступительного испытания, составляет 51 балл.
Программа вступительного испытания
1. Разделы высшей математики

Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функции непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
Производные и дифференциалы функции одной и нескольких переменных. Формула Лагранжа (конечных приращений). Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Исследование функции одной переменной: монотонность, экстремум, выпуклость, точки перегиба, асимптоты. Безусловный и условный экстремумы функций нескольких переменных.
Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы, признаки сходимости.
Двойной и тройной интегралы. Их вычисления в прямоугольной и криволинейной системах коородинат.
Скалярное поле, производная по направлению, градиент.
Векторное поле. Поток векторного поля. Формула Остроградского, дивергенция. Работа вектороного поля. Формулы Грина и Стокса. Ротор. Потенциальное поле и его потенциал
Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды: равномерная сходимость, признак Вейерпгграсса, свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды в действительной и комплексной областях: область сходимости, свойства. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Ряд Фурье по ортогональной системе. Условия сходимости. Тригонометрический ряд Фурье в действительной и комплексной форме. Преобразования Фурье.
Прямая и плоскость, их уравнения. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости и прямой. Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы, действия с ними. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения.
Линейное пространство. Базис. Переход к другому базису. Линейное отображение в конечномерных пространствах, его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейного отображения. Самосопряженные и ортогональные преобразования. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.
Дифференциальные уравнения первого порядка: однородные, линейные, Бернулли, Диференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод вариации постоянных. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения. Понятие устойчивости решения. Устойчивость решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решения нелинейных систем. Понятие о функции Ляпунова.
Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Элементарные функции комплексного переменного и задаваемые ими конформные отображения. Интеграл по замкнутому контуру, теорема Коши. Вычеты в особых точках и их применение. Преобразование Лапласа и его применение.

2. Разделы математической физики

Гиперболические, параболические и эллиптические уравнения в частных производных. Преобразование уравнений второго порядка к каноническому виду.
Волновое уравнение и уравнение теплопроводности. Уравнение Гельмгольца, Лапласа, Пуассона. Начальные и краевые условия, включаемые в типичные постановки задач математической физики.
Уравнения в частных производных первого порядка. Физические задачи, приводящие к таким уравнениям. Линейно однородное уравнение в частных производных I порядка. Метод характеристик. Общее решение. Задача Коши для линейного уравнения I порядка.
Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности. Общие свойства. Теорема единственности для уравнения теплопроводности. Граничные и начальные условия. Принцип суперпозиции. Решение уравнения теплопроводности.
Волновое уравнение. Теорема единственности. Решение волнового уравнения в виде бегущих волн. Метод отражения. Метод базисных функций. Собственные частоты колебаний струны.
Цилиндрические и сферические функции; их использование для представления решений дифференциальных уравнений в частных производных.

3. Разделы численных методов

Численное дифференцирование. Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Оптимальный шаг численного дифференцирования.
Численное интегрирование. Квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций, Симпсона. Правило Рунге и уточнение по Ричардсону.
Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Сеточные функции. Метод Эйлера.
Методы Рунге-Кутты решения систем ОДУ. Применение правила Рунге практической оценки погрешности.
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы: Гаусса, Гаусса с выбором главного элемента. Вычисление определителей и обратной матрицы.
Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций, метод Зейделя.
Метод прогонки.
Методы приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод простой итерации.
Метод Ньютона (метод касательных). Решение системы алгебраических уравнений.
Численные методы решения краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных (уравнение теплопроводности, волновое уравнение, задача Дирихле для уравнения Пуассона). Явные и неявные разностные схемы.
Метод сеток. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.

Основная литература

Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.
С.М.Никольский. Курс математического анализа,
А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. Курс математического анализа.
Г.Н.Яковлев. Лекции по математическому анализу
Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений.
М.В.Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.
Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. Лекции по теории функций комгои переменного.
В.П.Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных.
В.С.Владимиров. Уравнения математической физики.
В.С. Рябенький. Введение в вычислительную математику. М., Наука. 1994.
С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Разностные схемы. М., Наука, 1977.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. “Специальные функции математической физики”, М.: Наука,1978.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. “Уравнения математической физики”, М.: Наука,1980.
Годунов С.К. “Уравнения математической физики”, М.: Наука,1979.
Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский А.А. “Сборник задач по математической физике”, М.: Наука, 1972
Годунов С.К., Золотарева Е.В. “Сборник задач по уравнениям математической физики”

Дополнительная литература

Н.Н. Калиткин- Численные методы. М., Наука, 1977.
Н. С, Бахвалов. Численные методы. М., Наука, 1973 и 1975.
Н.С. Бахвалов, К.П..Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. М., Наука, 1987.
А.А. Самарский. Теория разностных схем. М.. Наука, 1977.
А.В. Гулин, А,А. Самарский. Численные методы. М. Наука, 1989
Мэтьюз Дж., Уокер Р. “Математические методы физики”, М.: Мир, 1972
Кошляков Н.С.,Глинер Э.Б., Смирнов М.М. “Уравнения в частных производных математической физики”, М.: Высш. школа, 1970