6 класс.

1. 
   503
   
2. 
   1344, 240, 360, 456
   
3. 
   -14 и 4
   
4. 
   10
   
5. 
   Ответ. В 6 раз.
   

Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны –– 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы

составляли 4/5 всех деревьев.

К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое. Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз.

Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит, лип стало в 1,5 ·4 = 6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале.

1Поскольку осенью количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз.

6. 
   Ответ. В 13.10. Решение. На дороге из Ёлкино в Палкино есть две точки, которые вдвое ближе к дубу, чем к Ёлкино. Одна из них (Ф₁) находится между Ёлкино и дубом, другая (Ф₂) — между дубом и Палкино (см. рис.). Для удобства подсчетов примем весь путь от Ёлкино до Палкино за 9. Тогда ЕД = 3, Ф₁Д = 1, ЕФ₂ = 2ЕД = ЕД+ДФ₂, откуда ДФ₂ = ЕД = 3 и Ф₂П = ЕП–ЕФ₂ = 3. Путь Ф₁Ф₂ = Ф₁Д+ДФ₂ длины 4 Федя проехал за 40 минут, поэтому путь Ф₂П длины 3 он проехал за 30 минут, откуда и получаем ответ.
   
7. 
   На 3 этаж
   

Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более, чем 10·9·3 = 270, то есть в 10-м подъезде квартиры № 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее, чем 9 · 9 · 5 = 405 квартир, то есть искомая квартира будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти

подъездах 9 · 9 · 4 = 324 квартиры. Тогда в десятом подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем — с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться на третий этаж.

7 класс.

1. 
   25
   
2. 
   4
   
3. 
   b=0, a>=0
   
4. 
   3
   
5. 
   Ответ. 7 этажей.
   

Решение. Пусть с шестого этажа Тане надо было спуститься на n этажей. Тогда Таня прошла "лишний путь" вверх до последнего этажа и обратно до шестого. Длина лишнего пути 1,5n-n=0,5n этажей. Половину этого лишнего пути Таня шла вверх, а половину - вниз. Значит, вверх она поднялась на n/4 этажей. Если она поднялась на один этаж (n/4=1), то Таня живет на 4 этажа ниже Даши и в доме 7 этажей. Если же n/4 равно 2 или больше, то Тане пришлось бы спуститься с шестого этажа минимум на 8 этажей вниз, что невозможно.

6. 
   
   

7.  Ответ: 3. Решение. Заметим, что KCO = BCO = KOC (накрест лежащие углы). Поэтому OK = KC. Аналогично BM = OM. Поэтому AK+AM+KM = AK+KC+AM+BM = 3.

8 класс.

1. 
   1
   
2. 
   Первое больше, возвести в квадрат
   
3. 
   -1; 1
   
4. 
   (x+13/2)^2=0 или 4x^2+52x+196=0
   
5. 
   ABH – прямоугольный, поэтому ABH=90–BAH =72. BL – биссектриса, поэтому CBL=¹/₂ABH=36. BLC=180–CBL–BCA =90. Поскольку в треугольнике ABC отрезок BL – биссектриса и высота одновременно, то BL – серединный перепендикуляр к отрезку AC. Значит, MC=MA и ACM=CAM=90–ACH=36.
   
6. 
   Легковой автомобиль и грузовик испытали на проселочной дороге. При этом легковой автомобиль проехал на 12 км больше, чем грузовик, но бензин у него кончился на 0.5 ч раньше. Какая автомашина проедет дальше и на сколько при той же заправке бензином по асфальтовой дороге, если скорость по асфальте у каждой из них на 16 км/ч больше, чем на проселочной (время расхода бензина не зависит от качества дороги)?
   

Пусть Х км/ч - скорость легкового автомобиля, а Y км/ч - скорость грузовика.

Пусть Т ч – время расхода бензина грузовиком, а Т-0,5ч – время расхода бензина легковым автомобилем.

Пусть S- расстояние между легковым автомобилем и грузовиком при увеличении скорости.

Для проселочной дороги можно записать:

X(T-0.5)-YT=12

Для асфальтной дороги можно записать:

(X+16)(T-0.5)-(Y+16)T=S

Составим систему уравнений:

S=4км

Ответ: легковая машина проедет дальше на 4 километра.

7. 
   Ответ: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Решение. Среди шести последовательных натуральных чисел ровно три нечётных. Поэтому их сумма нечётна. Значит, Петя солгал либо в первый раз, либо во второй, и потому он лжец, то есть солгал оба раза. Но тогда лжец и Вася, потому что в первом своём высказывании он назвал шесть последовательных натуральных чисел. Так как Вася сказал, что Коля — лжец, на самом деле Коля говорит правду. Есть только 6 натуральных чисел, делящихся на 3 и меньших 20, что и даёт нам ответ.