Шар ( сфера )

 

Сферическая поверхность – это геометрическое место точек

( т.е. множество всех точек ) в пространстве, равноудалённых от одной точки O, которая называется центром сферической поверхности ( рис.90 ). Радиус AO и диаметр AB определяются так же, как и в окружности.

 

Шар ( сфера ) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг ( или круг ) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги ( рис.90 ). Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара ( AB, рис.91 ). Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра ( A и B, рис.91 ), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Объём шара в полтора раза меньше объёма описанного вокруг него цилиндра ( рис.92 ), а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра ( теорема Архимеда ):

Здесь  S _шара  и  V _шара  -  соответственно поверхность и объём шара;

           S _цил  и  V_цил  - полная поверхность и объём описанного цилиндра.

 

Части шара. Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью ((ABC), рис.93 ), называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок  MN, перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями (ABC)) и (DEF), пересекающими сферическую поверхность ( рис.93 ), называется шаровым слоем; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом ( зоной ). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента

( AMCB,  рис.93 ) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента ( ABC ), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором.

Пример 1

Определить площадь поверхности шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, у которой высота равна 9, а двугранный угол при основании 60°.

Решение. MSN — сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной основанию. Обозначим: SO = 9 — высота пирамиды, SNO = 60°,

ОО=ОК= r — радиусы вписанного в пирамиду шара(совпадают с радиусом вписанного круга в MSN).2. Из SOK:ОK=OSsin30r=(9-r) r=3.

S_шара=4R²=36

Пример 2

      На поверхности шара даны три точки. Расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

Решение

 

Соединив эти точки между собой и центром шара О, задача свелась к нахождению высоты (OD) треугольной пирамиды OABC. Основание высоты (D) должно совпадать с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Стороны АВ, АС и ВС, равные расстояниям между точками А, В, С, удовлетворяют теореме Пифагора , т.е. треугольник АВС – прямоугольный, и точка D является серединой гипотенузы АВ. Тогда из прямоугольного треугольника BOD находим OD   ,OD = 12 (см).

      Ответ: 12 см.

Пример 3

     Радиус шара 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от точки А на 20 м.

Решение

 

Искомая окружность является окружностью основания конуса, образующие которого равны расстоянию от точки А до этой окружности, т.е. 20 м. Тогда в плоскости, проходящей через центр шара О и точку А рассмотрим треугольник АВО, где В – точка искомой окружности.  По условию AD = 10 м, OD = OB = 15 м.  Тогда AO = AD + DO, AO = 25 м, AB = 20 м.

        Стороны треугольника АВО удовлетворяют теореме Пифагора , следовательно, ABO – прямоугольный.  – высота, проведенная из вершины прямого угла В.Тогда из метрических соотношений в ABO имеем
.

     Откуда  (м).

     Из прямоугольного треугольника  имеем

,  (м).

– радиус искомой окружности, тогда длина этой окружности .

     Ответ: 24 .

Пример4

     Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение: 

Плоскость треугольника АВС пересекает поверхность шара по окружности, вписанной в треугольник АВС. Искомое расстояние – это расстояние между центром этой окружности  и центром шара О. Найдем радиус этой окружности  по формуле   , где  (см),  (см).

      Треугольник  – прямоугольный, так как  перпендикулярно плоскости треугольника АВС, следовательно и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда , где OD – радиус шара.  (см).

     Ответ: 3 см.

Пример 5

     Полукруг радиуса R, разделенный двумя радиусами на три равные части, вращается вокруг диаметра. Найти объемы тел, полученных от вращения каждой части.

Решение

 

По условию части ОВС, OCD и OAD равны, следовательно, центральные углы BOC, COD и DOA равны и составляют 60°. Из прямоугольного треугольника OMC находим ОМ  , тогда .        Аналогично , MN = R.  BM и AN – высоты равных шаровых сегментов.

      Тогда объемы шаровых секторов, образованных вращением равных круговых секторов ОВС и OAD, найдем по формуле

V _сект ,

V _сект .

      Объем шарового сектора OCD найдем как разность между объемом шара и объемами найденных секторов ОВС и AOD

.

      Ответ: , .

 

Пример 6

      Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найти косинус угла между этой хордой и диаметром.

Решение

 

Объем одной из частей состоит из объема конуса и объема шарового сегмента. Пусть AC = a, AB = 2R и CAB = .  Тогда из прямоугольного треугольника АВС находим a = 2R cos . Из прямоугольного треугольника ACD находим AD и DC   , DC = a sin  = R sin 2.  Тогда . AD – высота конуса, BD – высота шарового сегмента, DC – радиус основания конуса.

      Подставив найденные величины в формулы объемов конуса и шарового сегмента, получим

V _кон ,

V _сегм .

Согласно условию задачи V _кон + V _сегм V _{ш, т.е.}

,

откуда .

      После преобразования имеем

, ,

откуда , .

      Ответ: .

Пример 7

      Шар радиуса r освещается точечным источником света. Его тень на стене представляет собой круг радиуса R. Найти расстояние источника света от поверхности шара, если освещенная часть вдвое меньше тени.

Решение

 

Освещенная часть шара представляет собой сегментную поверхность S сегм = 2 rH, где H = KD. По условию задачи , откуда .

      Дальше сведем задачу к планиметрической, проведя через точку А плоскость, перпендикулярную плоскости проекции. Очевидно, она проходит через центр шара. Тогда

OK = OD KD, .

      Пусть AD = x, тогда из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике ABD имеем  или , откуда .

     Ответ: .

Задачи на комбинации тел.

(для самостоятельного решения)

Срок сдачи 05.05.2008 года для 11 Б класса.

Задача по пункту соответствует порядковому номеру по классному журналу.

Желаю удачи!!!

1. 
   В сферу вписан цилиндр, площадь боковой поверхности которого составляет площади сферы. Найдите отношение высоты цилиндра к диаметру его основания.
   

2. 
   Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их объёмов и отношение площадей их поверхностей.
   

3. 
   В конус вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади основания конуса. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.
   

4. 
   В сферу вписан конус, радиус основания которого равен радиуса сферы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
   

5. 
   В шар радиуса R вписан конус. Объём конуса составляет объёма шара. Найдите высоту конуса.
   

6. 
   Около сферы радиуса r описан конус, высота которого равна h. Найдите площадь полной поверхности конуса.
   

7. 
   В конус вписана сфера. Площадь сферы составляет площади боковой поверхности конуса. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен R.
   

8. 
   Около шара радиуса r описан конус, объём которого в два раза больше объёма шара. Найдите высоту конуса.
   

9. 
   В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объёмов.
   

10. 
    В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна площади основания конуса. Какую часть объёма конуса составляет объём шара?
    

11. 
    В конус вписан шар и через их линию касания проведена плоскость. Найдите отношение объёма отсечённого конуса к объёму данного, если угол при вершине осевого сечения конуса равен 2.
    

12. 
    Около сферы описан усечённый конус, образующая которого составляет с большим основанием угол . Площадь сферы равна Q. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
    

13. 
    Площадь сферы составляет площади поверхности описанного около сферы усечённого конуса. Найдите радиусы оснований усечённого конуса и радиус сферы, если образующая усечённого конуса равна L.
    

14. 
    В сферу радиуса R вписан усечённый конус, образующая которого равна R, а угол наклона её к плоскости нижнего основания равен . Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса.
    

15. 
    В сферу радиуса R вписан усечённый конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол . Угол между диагоналями в осевом сечении конуса, обращённый к основанию, равен . Найдите площадь осевого сечения конуса.
    

16. 
    В сферу радиуса R вписан усечённый конус, высота которого равна h. Диагонали осевого сечения конуса перпендикулярны. Найдите объём усечённого конуса. Имеет ли задача решение, если а) h = R, б) h = R?
    

17. 
    В шар вписан цилиндр, у которого радиус основания относится к высоте как . Определить полную поверхность этого цилиндра, если поверхность шара равна S.
    

18. 
    В конус, у которого радиус основания r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом , вписан шар. Найти объем шара.
    

19. 
    Металлический цилиндр с диаметром основания d=4 см и высотой h=4 см, переплавлен в шар. Вычислить объем и площадь поверхности шара.
    

20. 
    В правильной четырехугольной пирамиде высота h, боковое ребро b. Найти объем описанного шара.
    

21. 
    В шар объемом  вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом . Найти объем цилиндра.
    

22. 
    Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна высоте и равна 4 м. Найти объем описанного шара.
    

23. 
    Найти полную поверхность цилиндра, в осевом сечении которого квадрат, если его боковая поверхность равна .
    

24. 
    Высота конуса 8 м, образующая 10 м. Чему равна поверхность и объем вписанного в него шара.
    

25. 
    В куб, объем которого , вписан шар. Определить объем и площадь поверхности шара.
    

26. 
    В конус вписан шар объемом V. Найти длину образующей конуса, если она составляет с плоскостью основания конуса угол .
    

27. 
    Найти отношение площади поверхности и объема шара к поверхности и объему вписанного в него куба.
    

28. 
    Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус его основания 4 см. Найти объем конуса.