Тема: “Шар. Сфера”

На решение задач по теме “Шар. Сфера” отведено 3 часа.

Из них:

1. 
   “Сечение шара” – 1 час
   
2. 
   “Касание шара” – 1 час
   
3. 
   “Вписанные, описанные многогранники” – 1 час
   

Урок 1. Тема “Сечение шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить знания по теме “Основные элементы шара. Сечение шара”.

3. Научить учащихся применять полученные знания к решению задач.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Подготовка к решению задач.

Перед тем, как решать задачи, необходимо выяснить как учащиеся усвоили теорию по теме “Шар. Сфера”(определения, основные элементы, сечения). С этой целью проводится викторина. Учитель предлагает ученикам ответить на следующие вопросы:

1. 
   Что называется шаром?
   
2. 
   Что такое сфера?
   
3. 
   При вращении какой фигуры получается шар?
   
4. 
   Что называется радиусом шара, диаметром шара?
   
5. 
   Сделать чертеж шара. Показать на нем основные элементы шара.
   
6. 
   Каким свойством обладают все точки поверхности шара?
   
7. 
   Найти геометрическое место точек, удаленных от данной точки на расстояние, которое меньше или равно 10 см (шар радиусом 10 см).
   
8. 
   Какая фигура является сечением шара плоскостью?
   
9. 
   Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
   

Ученики отвечают на вопросы с места, обсуждая каждый вопрос викторины. За более правильный, точный ответ учащиеся получают красный жетон, если же в ответе есть какие-то неточности, то выдается зеленый жетон. В том случае, если ученик дополнял ответы, то ему выдается синий жетон. В конце урока подводится итог. Наиболее активным ученикам выставляются оценки в журнал.

IV Расширение и углубление знаний, умений и навыков учащихся.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока, из которой предлагается выгнуть полуокружность с радиусом 15 см.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг диаметра. Вращая ее так, они получают наглядное представление о сфере.

V Решение задач по теме “Сечения шара”.

В ходе решения задач учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. 
   Сформулируйте теорему Пифагора.
   
2. 
   Какая фигура называется кругом. Окружностью.
   
3. 
   Чему равна площадь круга?
   
4. 
   Какой треугольник называется вписанным в окружность?
   
5. 
   Как выражается через стороны треугольника и радиус описанной окружности площадь треугольника? (S=)
   
6. 
   Чему равна площадь треугольника по формуле Герона?
   

(S = , p = )

VI Сообщение домашнего задания.

VII Подведение итогов урока.
Урок 2. Тема “Касания шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить навыки решения задач по теме “Сечение шара”.

1. 
   Закрепить знания по теме “Касания шара”.
   
2. 
   Совершенствовать навыки решения задач по теме “Шар. Сфера”.
   
3. 
   Проверить практическое усвоение материала.
   

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

На дом учащимся было задано 4 задачи по теме “Сечение шара”. Для проверки усвоения этой темы, а также правильности выполнения домашнего задания, проводится самостоятельная работа, содержащая такие же задачи, как в домашнем задании.

Приведем один из вариантов.

I Вариант

Задача 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: шарS(O,OX) S= 36(м) , R = OX = 10 м

Найти: ОО

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S= r 36 = r r= 36 (м)

2. ООХ – прямоугольный

ОО = h , OX = r , OX = R

h= R- r - т. Пифагора

h=100 – 36 =64, h = 8 м

Ответ: h = 8м

Задача 2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

Решение:

1. Пусть А, В, С – три данных точки. Рассмотрим сечение шара плоскостью. Это будет круг, окружность которого описана около АВС; R – радиус окружности, описанной около АВС R =

2. S= p = ; p = = 9(см)

S= = 9 (см)

3. R = = (см)

4. 
   Любое сечение шара плоскостью – круг
   

S=R S= = 12(см)

Ответ: S= 12(см)

После того, как ученики сдали листочки с ответами, учитель открывает на доске ответы. Учащиеся проверяют решения в тетрадях друг друга. Все оценки за эту работу выставляются в журнал.

III Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой получится сфера и вписанный в нее цилиндр.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они получают наглядное представление о вписанном цилиндре.

IV Решение задач по теме “Касательная плоскость к шару”.

В ходе решения задач учащимся задаются следующие вопросы:

1. 
   Какая плоскость называется касательной к шару?
   
2. 
   Сколько общих точек с шаром имеет касательная плоскость?
   
3. 
   Какая прямая называется касательной к шару?
   
4. 
   Сколько можно провести прямых, касающихся поверхности шара в одной и той же точке? (бесчисленное множество)
   
5. 
   Чему равна площадь круга?
   

V Сообщение домашнего задания

VI Подведение итогов урока

Урок 3. Тема “Вписанные и описанные многогранники”

Цели урока:

1. 
   Развитие пространственного воображения
   
2. 
   Закрепление основных понятий по теме “ Вписанные и описанные многогранники ”
   
3. 
   Научить применять полученные знания при решении задач
   
4. 
   Проверить практическое усвоение материала
   

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

Используется следующая форма проверки домашнего задания – самопроверка по образцу. На доске выписана задача из домашнего задания с решением. Учащиеся проверяют свои решения по образцу.

№ 40 Погорелов

Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение:

1. 
   Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см
   

S= p = ; p = = 21(см)

S== 84 (см)

2. 
   SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности
   

S= 21r 84 = 21r r = 4 см

3. 
   h =R- r - т. Пифагора
   

h = = 3 (см)

Ответ: h = 3 (см)

Проверка домашнего задания имеет 2 цели:

1. 
   Проверка правильности выполнения домашнего задания
   
2. 
   Подготовка учащихся к самостоятельной работе
   

III Самостоятельная работа

В учебнике Погорелова [19] есть 2 важные теоремы (сечение шара плоскостью и касательная плоскость к шару), знание которых необходимо проверить. Поэтому в самостоятельную работу включаются эти теоремы, которые ученики должны доказать. Кроме этого в самостоятельную работу включена задача обязательного уровня математической подготовки.

Приведем II вариант самостоятельной работы.

1. 
   Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.
   
2. 
   Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен (см)
   

Решение:

1. 
   Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 5, 5, 6 см
   

S= p = ; p = = 8(см)

S== 12 (см)

2. 
   SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности
   

S= 8r (см) 12 = 8r r = 1 см

3. 
   h =R- r - т. Пифагора R - радиус шара
   

h = = = 2(см)

Ответ: h = 2 (см)

IV Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой получится сфера и вписанный в нее конус.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они получают наглядное представление о вписанном конусе.

V Решение задач по теме “Вписанные, описанные многогранники”

VI Сообщение домашнего задания

VII Подведение итогов урока