Темы для изучения

Принцип

При незначительном смещении оси вращения свободного гироскопа наблюдается нутация. Исследуется зависимость между частотой нутации и частотой гироскопа для различных моментов инерции.

К гироскопу в карданном подвесе для прецессии прикреплены дополнительные гири.

Оборудование

Секундомер, цифровой, 1/100 с 03071.01 1

Стробоскоп с цифровым индикатором 21809.93 1

Цель

1. 
   Определить зависимость частоты прецессии от вращающего момента и угловой скорости гироскопа.
   
2. 
   Определить зависимость частоты нутации от угловой скорости и момента инерции.
   

Замечание

Установка и ход работы

Соберите гироскоп как показано на Рис. 1. Прикрепите на оси или диске (роторе) дополнительные гири. Диск должен находиться в положении безразличного равновесия во всех пространственных направлениях и оставаться неподвижным. Для этого отрегулируйте его при помощи двух скользящих гирек. Для определения частоты прецессии расположите дополнительные гири на оси гироскопа и слегка завинтите их. При помощи двух дополнительных гирь можно получить три комбинации (), () и ().

При помощи пусковой рукоятки приведите гироскоп в движение. Измерьте угловую скорость стробоскопом, а частоту прецессии – секундомером. Рекомендуется измерить двойную частоту стробоскопом и половину периода прецессии секундомером.
Снимите дополнительные гири. Приведите гироскоп в движение. Рукой слегка коснитесь оправы, чтобы вызвать нутацию.
Частота нутации измеряется стробоскопом. Определите частоту нутации для различных скоростей гироскопа и при различных дополнительных гирях (расположенных симметрично относительно друг друга).

Рис. 1: Гироскоп в карданной оправе.

Рис. 2: Подвижная система координат для гироскопа.

Теория и расчет

В инерциальной системе отсчета уравнение движения твердого тела с моментом импульса , к которому прикладывается вращающий момент , имеет вид


Момент импульса гироскопа можно разложить на составляющую по оси симметрии , выходящей только из ротора, и остаток :
.
При преобразовании уравнения движения для подвижной системы координат , которая вращается с угловой скоростью с началом в точке центра масс, а оси проходят по внутренней рамке гироскопа и оси симметрии (см. Рис 2) получаем:


Возьмите производную по времени во вращающейся системе (отмечено пунктиром). Если момент импульса ротора по оси симметрии постоянный:

,

где момент инерции ротора лежит вдоль оси симметрии, а - угловая скорость и соблюдается условие

,

получаем основное уравнение для гироскопа:

. (1)

Рис. 3: Зависимость частоты прецессии от частоты гироскопа с различными дополнительными гирями.

Из выражения (1) получаем независимые уравнения для компонентов (1), характеризующие прецессию и нутацию:

,
.
( не учитывается для гирь, расположенных на оси ротора.)

Введя эйлеровы углы и , получим:

,

где - масса гири, которая расположена на расстоянии от центра и вызывает благодаря ускорению свободного падения вращательный момент.

Рис. 4: Зависимость частоты нутации от частоты гироскопа с различными дополнительными гирями

Если частота прецессии невелика по сравнению с частотой ротора , то


Этим условием можно пренебречь:


.

При начальных условиях

,

имеем:

.
При начальном условии

,

частота прецессии при постоянном равна

. (2)

Используя функцию

,

из графика на Рис. 3 и выражения (2), получаем показатели

Если коснуться рукой оси симметрии гироскопа, то при

,

ось будет двигаться с частотой нутации

. (3)

Используя функцию

,

из графика на Рис. 4 и выражения (3), получаем компоненты