1) Определение перпендикуляра и наклонной.

Пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.

Тогда:

• 
  Отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
  
• 
  Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
  
• 
  Любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
  
• 
  Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
  

Рис. 1.

На рисунке из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость α.

2) Доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной

На рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней AO, наклонная AB, а также показан отрезок BO, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. Отрезки AO, BO и AB образуют ΔAOB.

Рис. 2.
Рассмотрим ΔAOB, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Перпендикуляр AO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой. Катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме Пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) Определение проекции

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Отрезок BO на рисунке 2 – является проекцией наклонной AB.
4) Теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций

А) Любая наклонная больше своей проекции.

Доказательство:

Вновь рассмотрим ΔAOB, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Проекция BO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой, т.к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.

Б) Равные наклонные имеют равные проекции

Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они равны, т.к. равны их гипотенузы AB и AD, и углы AOB и AOD (они прямые), а сторона AO у них общая. Из равенства треугольников следует и равенство их сторон BO = OD, что и требовалось доказать.

В) Если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. Доказывается аналогично утверждению Б.

Г) Большей наклонной соответствует большая проекция.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOD, AB > AD.

=

=

Но так как AB > AD => AB² > AD² => > =>

=> BO > DO. Что и требовалось доказать.

Д) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Доказывается аналогично Г.