Вариант А1

1. - перпендикуляр к плоскости треугольника . Известно, что .

а) Докажите, что треугольник - прямоугольный.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите , еслисм, см, .

2. Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки до плоскости , если см, см, а двугранный угол между плоскостями и равен .

3. Из точки к плоскости проведены наклонные и , образующие с плоскостью равные углы. Известно, что . Найдите углы треугольника .

Вариант Б1

1. - перпендикуляр к плоскости треугольника . - середина стороны . Известно, что .

а) Докажите, что треугольник - равнобедренный.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите площадь треугольника , если , см, см.

2. Точка удалена от каждой из вершин правильного треугольника на см. Найдите двугранный угол , если см.

3. Прямая - ребро двугранного угла, равного . Прямые и принадлежат разным граням данного угла и перпендикулярны к прямой . Докажите, что .

Вариант А1

1. - перпендикуляр к плоскости треугольника . Известно, что .

а) Докажите, что треугольник - прямоугольный.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите , еслисм, см, .

2. Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки до плоскости , если см, см, а двугранный угол между плоскостями и равен .

3. Из точки к плоскости проведены наклонные и , образующие с плоскостью равные углы. Известно, что . Найдите углы треугольника .

Вариант Б1

1. - перпендикуляр к плоскости треугольника . - середина стороны . Известно, что .

а) Докажите, что треугольник - равнобедренный.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите площадь треугольника , если , см, см.

2. Точка удалена от каждой из вершин правильного треугольника на см. Найдите двугранный угол , если см.

3. Прямая - ребро двугранного угла, равного . Прямые и принадлежат разным граням данного угла и перпендикулярны к прямой . Докажите, что .

Вариант А2

1. - перпендикуляр к плоскости параллелограмма . Известно, что .

а) Докажите, что - прямоугольник.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите , еслисм, см, .

2. Катет прямоугольного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки до плоскости , если см, см, а двугранный угол между плоскостями и равен .

3. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные и , Известно, что . Найдите углы треугольника .

Вариант Б 2

1. - перпендикуляр к плоскости параллелограмма . - точка пересечения диагоналей. Известно, что .

а) Докажите, что - ромб.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите площадь , если , см, см.

2. Точка удалена от каждой из cторон правильного треугольника на см. Найдите угол между прямой и плоскостью , если см.

3. Прямые и - перпендикуляры к ребру двугранного угла, принадлежащие разным граням угла. Докажите, что если , то данный двугранный угол – прямой.

Вариант А2

1. - перпендикуляр к плоскости параллелограмма . Известно, что .

а) Докажите, что - прямоугольник.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите , еслисм, см, .

2. Катет прямоугольного треугольника лежит в плоскости . Найдите расстояние от точки до плоскости , если см, см, а двугранный угол между плоскостями и равен .

3. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные и , Известно, что . Найдите углы треугольника .

Вариант Б 2

1. - перпендикуляр к плоскости параллелограмма . - точка пересечения диагоналей. Известно, что .

а) Докажите, что - ромб.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей и .

в) Найдите площадь , если , см, см.

2. Точка удалена от каждой из cторон правильного треугольника на см. Найдите угол между прямой и плоскостью , если см.

3. Прямые и - перпендикуляры к ребру двугранного угла, принадлежащие разным граням угла. Докажите, что если , то данный двугранный угол – прямой.