Урок6
Теорема умножения
Равенство
носит название теоремы умножения.
Эта теорема обобщается на случай n событий:
Задача 1. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится без возвращения.
Решение. Введем следующие события: A1 = {первым вытащили белый шар}, A2={вторым вытащили белый шар}, A3 = {третьим вытащили белый шар}. Тогда интересующее нас событие A = {придется производить четвертое извлечение} = {первые три шара белые} = 
. По теореме умножения вероятностей
.
P(A1) = 5/8; 
, так как один белый шар уже вынут, и перед вторым извлечением в урне осталось 7 шаров, 4 из которых белые; 
, так как два белых шара уже вынуты и перед третьим извлечением в урне осталось 6 шаров, 3 из которых белые. Следовательно,
Ответ. 5/28.
Из аксиом вероятности следует, как мы упоминали, что для произвольных двух событий А и В вероятность
Это равенство носит название теоремы сложения.
Теорема сложения обобщается на случай нескольких событий:
где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов, взятых по 1, 2, 3 и т.д. соответственно.
Формула полной вероятности
Если события H1, H2, ..., Hn попарно несовместны и их объединение дает достоверное событие
, то говорят что события H1, H2, ..., Hn образуют полную группу событий. Таким образом, полная группа событий – это "разбиение" достоверного события на непересекающиеся части, которые иногда называют гипотезами.
По определению гипотез 
и 
, а по второй аксиоме вероятности 
, поэтому:
,
то есть для полной группы событий верно равенство:
Для любого события A и полной группы событий H1, H2,..., Hn справедлива формула полной вероятности:
Формулу полной вероятности разумно применять в том случае, когда присутствуют как бы два элемента случайности, и исход второго случайного события зависит от реализации первого случайного события.
Задача 2. Предприятие выпускает изделия, из которых 99% удовлетворяют стандарту, а 1% – нет (первый элемент случайности). Упрощенная система контроля стандартное изделие признает стандартным с вероятностью 0,995 и нестандартное признает стандартным с вероятностью 0,001 (второй элемент случайности). Найти вероятность того, что контроль пропустит наугад взятое изделие.
Решение. Рассмотрим события:
A = {наугад взятое изделие прошло контроль};
Н1 = {взятое изделие стандартное}, Р(Н1)=0,99;
Н2 = {взятое изделие нестандартное}, Р(Н2)=0,01;
A|Н1 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно стандартное}, Р(A|Н1) = 0,995;
A|Н2 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно нестандартное}, Р(A|Н2) = 0,001;
Задача. 3. В двух урнах имеются белые и черные шары: в первой урне 8 белых и 2 черных, во второй – 6 белых и 2 черных. Шар, взятый наудачу из первой урны, переложен во вторую, после чего выбирается наудачу шар из второй урны. Найти вероятность извлечения черного шара из второй урны.
Решение. Обозначим: А = {из второй урны извлечен черный шар}. Требуется найти P(A)
Возможны следующие пути развития событий:
либо из первой урны с вероятностью 2/10 извлекается и перекладывается во вторую урну черный шар, после чего во второй урне становится 9 шаров (из которых 3 черные), и вероятность достать из нее черный шар равна 3/9;
либо из первой урны с вероятностью 8/10 извлекается и перекладывается во вторую урну белый шар, после чего во второй партии – 9 шаров (из которых 2 черных), и вероятность достать из нее черный шар равна 2/9.
Введем гипотезы:
H1 = {из первой урны извлечен черный шар}, P(H1) = 2/10 = 0,2;
H2 = {из первой урны извлечен белый шар}, P(H2) = 8/10 = 0,8;
P(H1) + P(H2) = 1.
Тогда Р(A|Н1) = {из второй урны извлечен черный шар при условии, что из первой урны был извлечен черный шар }, P(A|H1) = 3/9 = 1/3. Аналогично, P(A|H2) = 2/9.
По формуле полной вероятности:
Ответ. 11/45.
Формула Байеса
Пусть снова H1, H2, ..., Hn – полная группа событий и в результате эксперимента произошло событие A. Тогда для гипотезы Нi априорную вероятность Р(Нi), вычисленную до проведения эксперимента, можно уточнить после того, как произведен эксперимент, в результате которого произошло событие A, и посчитать апостериорную вероятность Р(Нi|A):
.
или:
Последняя формула носит название формулы Байеса.
Так в задаче 2. вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, то есть поступившее к потребителю, удовлетворяло стандарту равна:
.
Задача 4. В условиях задачи 3 найти вероятность того, что из первой урны был вынут черный шар, если из второй урны был вынут тоже черный шар.
Решение. В обозначениях введенных при решении задачи 3. требуется найти P(H1|A). По формуле Байеса
Ответ. 3/11.
Задача 5. Сообщение состоит из сигналов «1» и «0». Свойства помех таковы, что искажаются в среднем 5% сигналов «0» и 3% сигналов «1». При искажении вместо сигнала «0» принимается сигнал «1» и наоборот. Известно, что среди передаваемых сигналов «0» и «1» встречаются в соотношении 3:2. Найти вероятность того, что отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1».
Решение. Эксперимент проведен, и наступило событие A ={принят сигнал «1»}.
Гипотезы: H1 = {отправлен сигнал «0»}, H2 = {отправлен сигнал «1»}.
По условию: P(H1) = 3/5 = 0,6, P(H2) = 2/5 = 0,4, то есть P(H1) + P(H2) = 1.
Рассмотрим события:
A|H1 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «0»} = {сигнал «0» искажен}, следовательно, по условию P(A|H1)=0,05;
A|H2 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «1»} = {сигнал «1» неискажен}, следовательно, по условию P(A|H2)=1–0,03=0,97;
H1| A = {отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1»}.
По формуле Байеса
Ответ. 0,072.