Вопросы к билетам по кандидатскому минимуму для аспирантов

математиков по философским проблемам математики.

1. 
   Предмет, метод и функции математики. Математика как феномен культуры. Математика и философия. Математика и искусство.
   
2. 
   Синтаксический, семантический и прагматический аспекты в истолковании предмета математики. Отношение математики к действительности. Абстракции и идеальные объекты в математике. Особенности функционирования математических абстракций.
   
3. 
   Математика как язык науки и как система моделей. Математика и естествознание, математика и техника. Специфика методов математики.
   
4. 
   Взгляды ряда учёных на философию математики и математику в древности, в средние века, в XIX и XX вв. и в современности.
   
5. 
   Нормы и идеалы математической деятельности. Специфика методов математики. Аксиоматический метод, доказательство, индукция, дедукция, аналогия, интуиция и воображение в математике. Современные представления о логике математического открытия.
   
6. 
   Структура математического знания и основные математические дисциплины. Историческое развитие логической структуры математики. Классификация математического знания. Структурное и функциональное единство математики.
   
7. 
   Философия математики, её история: возникновение, развитие и этапы эволюции. Проблемы философии математики: сущность математики, её предмета и метода, место математики в науке и культуре. Фундаменталистский и нефундаменталистский подходы в философии математики.
   
8. 
   Разделение истории и философии математики, классификация фактов и их анализ. Методология математики, её возникновение и эволюция. Проективный, рефлексивный и нормативный методы методологии математики.
   
9. 
   Истоки и причины возникновения математики. Математика в до греческих цивилизациях. Рождение математики как теоретической науки в Древней Греции (пифагорейцы, Евклид, открытие несоизмеримости, соотношение алгебры и геометрии, апории Зенона Элейского, атомизм Демокрита и инфинитезимальные процедуры в античности).
   
10. 
    Место математики в философии Платона и Аристотеля. Классификация кривых в античной геометрии. «Арифметика» Диофанта. Аксиоматический метод у греков эпохи эллинизма (Евклид) и проблема актуальной геометрии в древности.
    
11. 
    Математика в древней и средневековой Индии. Трактат «Шулва-Сутра».
    

Математика и астрономия. Математика в древнем и средневековом

Китае. Отрицательные и иррациональные числа.

12. 
    Математика Арабского Востока. Арабские цифры. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Философия геометрии и попытки доказательства V постулата Евклида. Математика в средневековой Европе. Геометрические и тригонометрические сведения у Л. Пизанского.
    
13. 
    Математика начала Нового времени. Философские контексты аналитической геометрии, алгебры, возникающей теории вероятностей (проблема создания вероятностной логики Лейбницем), открытия Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Проблема обоснования алгоритмов дифференциального и интегрального исчисления. Нестандартный анализ А. Робинсона и новый взгляд на анализ бесконечно малых.
    
14. 
    Развитие математического анализа в XIX в. Теория функций (Б. Больцано и К. Вейерштрасс). Эрлангерская программа Ф. Клейна как новый взгляд на структуру геометрии. Неевклидовы геометрии. Философские взгляды П.- С. Лапласа на сущность теории вероятности. Становление последней как точной науки. Философские проблемы теории вероятностей в конце XIX – начале XX вв. Работы А.Н. Колмогорова по теории вероятностей и современный взгляд на эту ветвь математики.
    
15. 
    Теория множеств Г. Кантора. Противоречивость «наивной» теории множеств. Философское осмысливание создавшегося в результате третьего кризиса в основаниях математики положения. Логицизм как течение математической философской мысли (Б. Рассел).
    
16. 
    Интуиционистское обоснование математики и Л. Брауэр. Конструктивная программа обоснования математики А.А. Маркова-младшего.
    
17. 
    Внутренние и внешние факторы развития математической теории. Национальные математические школы и национальные математические традиции (Л. Бибербах). Концепции математики по Р. Уайдлеру и Ф. Китчеру. Эстафеты в математике (М. Розов).
    
18. 
    Научные революции (по Т. Куну) и их применение к анализу развития математики. Специфика научных революций в математике (Д. Даубен, Е. Коппельман, Р. Уайдлер, М. Кроу). Классификация революций в математике. Парадигмы в математике и естествознании (сравнительная характеристика).
    
19. 
    Фальсификационизм К. Поппера и концепция научно-исследовательских программ И. Лакатоса. Применение концепции И. Лакатоса к изучению развития математики. Проблема существования потенциальных фальсификаторов в математике.
    
20. 
    Пифагореизм как первая философия математики. Число как причина и основа вещей, как способ их понимания. Пифагореизм у Платона и критика пифагореизма Аристотелем.
    
21. 
    Эмпиризм математических понятий у Аристотеля. Объяснение строгости математического мышления. Эмпиризм у Р. Бекона и И. Ньютона. Математический эмпиризм XVII-XIX веков и в философии математики XIX столетия (Дж. Ст. Милль, Г. Гельмгольц, М. Паш). Современный эмпиризм: натурализм Н. Гудмена и Ф. Китчера, эмпирицизм И. Лакатоса. Недостатки эмпирического обоснования математики.
    
22. 
    Философские предпосылки и установки априоризма. Априоризм Лейбница и обоснование им аналитичности математики. Математики как априорное синтетическое знание у Канта. Философия математики Канта (неевклидова геометрия). Априоризм Гуссерля. Проблемы феноменологического обоснования математики.
    
23. 
    Формалистское понимание математики. Идеи Г. Кантора о соотношении имманентной и транзиентной истины. Формалистское понимание существования (А. Пуанкаре, Д. Гильберт). Эмпирическая философия математики. Критика евклидианской установки и идеи абсолютного обоснования математики (И. Лакатос).
    
24. 
    Современные концепции математики: идея априоризма в современной философии и методологии математики, программа Н. Бурбаки и математический структурализм, математический платонизм; реализм как тезис об онтологической основе математики, радикальный реализм К. Гёделя; реализм и проблема неиндуктивистского обоснования теории множеств; физикализм.
    
25. 
    Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие противоречий в «наивной» теории множеств и современное состояние проблемы обоснования математики.
    
26. 
    Логицистская установка Г. Фреге. Математика на основе теории типов и логики отношений: логицизм Б. Рассела и А. Уайтхеда. Результаты К. Гёделя и А. Тарского. Достижения и недостатки логицистского обоснования математики.
    
27. 
    Праинтуиция как исходная база математического мышления. Основные установки неоинтуиционизма Л. Брауэра, критика закона tertium non datur. Следствия интуиционизма для современных философии и методологии математики. Недостаточность интуиционизма Л. Брауэра как программы обоснования математики.
    
28. 
    Схема Д. Гильберта абсолютного обоснования математических теорий. Финитизм и содержательная метатеория. Выход за пределы финитизма в разных обоснованиях арифметики (доказательство непротиворечивости по Г. Генцену, П. Новикову, К. Шютте). Программа Д. Гильберта и теоремы К. Гёделя: современные дискуссии.
    
29. 
    Прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. Математика как язык науки, уровни математизации знания. Специфика приложений математики, новые возможности применения математики, предлагаемые теорией катастроф, теорией категорий, теорией фракталов и др.
    
30. 
    Математическая гипотеза как метод развития физики. Математическое предвосхищение и «непостижимая» эффективность математики в физике. Этапы математизации физики. Неклассическая фаза в физике, проблема единственности физических теорий как математическая проблема.
    
31. 
    Перспективы математизации нефизических областей знания. Трудности и перспективы математизации гуманитарных наук. Вероятностно-статистические методы в научном познании.
    
32. 
    Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблемы интерпретации. Сравнительный анализ математического моделирования в разных областях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-методологический анализ.
    
33. 
    Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении сложными социально-экономическими системами: возможности, перспективы и ограничения.
    
34. 
    ЭВМ и математическое моделирование. Математический эксперимент и ЭВМ. ЭВМ и математика (роль ЭВМ в математическом моделировании и доказательстве теорем).
    

35. Основания математики и проблема решения вопроса об обосновании (до-

казательстве непротиворечивости) математических теорий: современное

состояние вопроса.

36. Математика в эпоху Возрождения. Решение алгебраических уравнений 3-

ей и 4-ой степеней. Новые математические величины. Алгебра Виета.

«Алгебра» Р. Бомбелли и «теория» комплексных чисел.

37. Натурфилософские идеи и математика. Схоластические теории

изменения величин как предвосхищение инфинитезимальных методов.

Бесконечное и непрерывное в математике и связанные с этим дискуссии.

38. Становление геометрии в работе Д. Гильберта «Основания геометрии».

Программа обоснования математики Д. Гильберта и формализм.

Результаты К. Гёделя и финитизм как возможный выход из кризиса по

обоснованию математики.