Вопросы к экзамену по математическому анализу Б3

Вопросы к экзамену по математическому анализу Б3

Понятие числового ряда. Сходящийся числовой ряд, сумма ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
Признаки сходимости Коши и Даламбера.
Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Дирихле. Признак Абеля. Ряд Лейбница.
Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости.
Функциональный ряд. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак Абеля (без док-ва).
Теоремы о непрерывности предельной функции для равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда.
Предельный переход под знаком интеграла. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда.
Предельный переход под знаком производной. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда
Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Ортогональные системы функций. Ортогональность основной тригонометрической системы функций.
Ряд Фурье по данной ортонормированной системе. Экстремальное свойство частичных сумм Фурье. Неравенство Бесселя.
Тригонометрический ряд Фурье. Свойство коэффициентов Фурье.
Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. Комплексная форма ряда Фурье. Ряд Фурье четных и нечетных функций.
Интеграл Фурье.
Лемма Римана.
Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье.
Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье.
Измеримые по Жордану множества. Множество меры нуль в смысле Жордана. Мера Жордана измеримого множества.
Определение кратного интеграла по измеримому множеству. Свойства кратных интегралов.
Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости Дарбу. Классы интегрируемых функций.
Теорема о сведении кратного интеграла к повторному.
Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
Криволинейный интеграл первого рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
Формула Грина.
Понятие поверхности. Площадь поверхности. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.
Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.
Понятие скалярного и векторного полей. Градиент, дивергенция, ротор и их свойства.
Формулы Грина, Стокса, Остроградского.