Задача № 1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в 294 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей?
Задача № 2. Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5х8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?
Задача № 3. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см. и углом вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Задача № 4. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?
Задача № 5. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной а найти треугольник наибольшей площади.
Задача № 6. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины – по 50 см. Найти размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
Задача № 7. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24 и 30см. и имеющего с ним общий прямой угол.
Задача № 8. Определить длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24 и 8см. и длиной высоты 12см. (две вершины прямоугольника лежат на боковых сторонах трапеции, а две другие – на ее большем основании).
Задача № 9. Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью v км/час. После того как он отошел от А на 6км., из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9км/час больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад возвратились вместе в А со скоростью 4 км/час. При каком значении v время прогулки пешехода окажется наименьшим?
Задача № 10. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18см. вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найти длины сторон параллелограмма.
Задача № 11. В какой круг можно вписать прямоугольник наибольшей площадью с периметром, равным 56см.
Задача № 12. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапеции была наибольшей?
Задача № 13. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна . Длина боковой стороны АВ вдвое больше длины меньшего основания ВС. При каком значении величина угла ВАС будет наибольшей?
Задача № 14. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине медианы, проведенной к его боковой стороне.
Задача № 15. Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значении отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно наибольшее значение этого отношения?
Задача № 16. Какие размеры нужно придать радиусу основания и высоте открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
Задача № 17. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости основания под углом . При каком значении объем пирамиды является наибольшим?
Задача № 18. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания а и высотой Н вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит в основании пирамиды, а вершины верхнего основания – на боковых ребрах. Найти длину ребра основания и длину высоты призмы, имеющей наибольшую боковую поверхность.
Задача № 19. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол . При каком значении объем пирамиды является наибольшим?
Задача № 20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет заданную постоянную площадь и составляет с плоскостью основания угол . При каком значении расстояние от центра основания пирамиды до ее боковой грани является наибольшим?
Задача № 21. В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида; в ее основании лежит равнобедренный треугольник, у которого величина угла при вершине равна . При каком значении объем пирамиды является наибольшим?
Задача № 22. Образующая конуса имеет постоянную длину и составляет с высотой конуса угол . В конус вписана правильная шестиугольная призма с равными длинами ребер (основание призмы лежит в плоскости основания конуса). При каком значении боковая поверхность призмы является наибольшей?

Решение к задаче № 1.

Пусть x и y – линейные размеры участка, тогда площадь участка равняется xy = 294, а длина всего забора , где . . , следовательно х = 4 – точка минимума. Так как х = 4 – единственный экстремум на , то в нем функция и принимает свое наименьшее значение. Если х = 14, то (м). Ответ: 1421 м.

y x x x

Решение к задаче № 5.

Пусть в равнобедренном ; площадь этого треугольника , будет наибольшей при . Ответ: равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами а, а.

В х а а А С

Решение к задаче № 14.

Пусть в . По теореме косинусов Площадь . при . Таким образом, площадь треугольника АВС будет наибольшей, если . Ответ:

В D l А С