МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК
2 ТУР 5 класс
Задача 1 . Странный кузнечик прыгает по прямой: сначала 10 прыжков вправо – 2 прыжка влево, 10 прыжков вправо – 1 прыжок влево, затем цикл повторяется. Каждый прыжок кузнечика – 10 см. На каком расстоянии от старта он окажется, сделав 1000 прыжков?
Задача 2. Сколько сторон может иметь фигура, являющаяся общей частью треугольника и выпуклого четырехугольника?
Задача 3. На рисунке изображен треугольник из 6 кружков, в котором расставлены числа от 1 до 6 так, что каждое число в кружке не первого ряда равно разности чисел в двух других кружках стоящих над ним. Расставите в треугольнике из десяти кружков числа от 1 до 10, чтобы так же выполнялось указанное свойство.
Выводные задачи :
Задача 4. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени , а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?
Задача 5. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левой нижней клетки шахматной доски в правую верхнюю, побывав при этом на каждой клетке один, и только один раз?
Задача 1 Один цикл кузнечика – 23 прыжка, (при этом он перемещается на 170 см вправо., ) 1000 прыжков - это 43 цикла + 11 прыжков, то есть 43*170+90=7400см .
Задача 2
Задача 3. Существует 4 различные расстановки чисел (не учитывая симметричные им расстановки). Соответствующие им верхние ряды чисел таковы (по порядку слева - направо): 6, 1, 10, 8, 6, 10, 1, 8, 8, 3 , 10, 9 , 8, 10, 3, 9 . Числа в нижних рядах легко находятся по правилу, описанному в условии задачи.
Задача 4 Перелет в обе стороны длится одно и то же время, но из-за смены часовых поясов возникает разница во времени. В первом случае показания часов отличаются на 2 часа 10 минут, а во втором на 6 часов 10 минут. Так как в первом случае мы из времени перелета вычитаем разницу во времени, а во втором - её же прибавляем, то разница во времени между Москвой и Неаполем равна: (6 ч 10 мин – 2 ч 10 мин): 2= 2 часа.
Задача 4. Если конь находится на черном поле (клетке), то , сделав один ход, он попадает на белое поле (клетку); третья клетка, на которую он попадет, будет черной, т.е. такой, как первая; четвертая – белая и т.д. Значит, клетки, имеющие четные номера, иного цвета, чем первая. Конь, обойдя все клетки, должен попасть на 64, которая должна быть не такого же цвета, как первая, а на самом деле она такого же цвета как первая. Значит, ходом коня нельзя попасть из левой нижней клетки шахматной
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК
2 ТУР 6 класс
Задача 1. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени , а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?
Задача 2. Введем на шахматной доске новую фигуру «хромой конь». Эта фигура может ходить либо как обычный шахматный конь, либо передвигаться на соседнюю клетку по горизонтали или по вертикали. «Хромой конь» вышел из угловой клетки и за несколько ходов дохромал до противоположной угловой клетки. Докажите, что он сделал четное число ходов.
Задача 3 Есть три треугольника : остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?
Выводные задачи:
Задача 4. В школе прошёл шахматный турнир, в котором участвовало 20 шахматистов (каждый сыграл с каждым один раз) . После подведения итогов оказалось, что Толя с 9,5 очками занял 19 –е место, ни с кем его не разделив. Единоличным же победителем оказался Витя. Определите, сколько очков набрал каждый участник. (В шахматах за победу присуждается 1 очко, за поражение 0 очков, за ничью – пол-очка.)
Задача 5. Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
Задача 1 Перелет в обе стороны длится одно и то же время, но из-за смены часовых поясов возникает разница во времени. В первом случае показания часов отличаются на 2 часа 10 минут, а во втором на 6 часов 10 минут. Так как в первом случае мы из времени перелета вычитаем разницу во времени, а во втором - её же прибавляем, то разница во времени между Москвой и Неаполем равна : ( 6 ч 10 мин – 2 ч 10 мин): 2= 2 часа.
Задача 2. Заметим, что «хромой конь» каждым своим ходом меняет цвет поля, на которое встает. Это следует из того, что любые две соседние клетки, а также клетки отстоящие на ход коня, имеют разные цвета. Так что с черной клетки «хромой конь» ходит на белую и наоборот. Пусть первоначально фигура стояла, скажем , на черной клетке. Через четное число ходов она попадет опять на черную клетку, а через нечетное количество ходов на белое поле. Две противоположные угловые клетки доски – одного цвета. Поэтому свой путь «хромой конь» заканчивает на поле того же цвета с которого начинает, т.е. совершает четное количество шагов.
Задача 3. Заметим, что Саша может разрезать одной прямой свой треугольник на два, равных Бориным. Теперь можно перебрать все способы разрезания треугольников на два. Допустим, что Саша взял остроугольный треугольник. Посмотрим на сторону, которую пересек разрез. Если разрез под прямым углом, то получим два прямоугольных треугольника, иначе – остроугольный и тупоугольный. Ни один вариант не соответствует условию, значит, Саша не мог взять остроугольный треугольник. Теперь допустим, что Саша взял тупоугольный треугольник. Посмотрим на сторону, которую пересек разрез. Если разрез перпендикулярен, то снова два прямоугольных треугольника, иначе один из треугольников тупоугольный. Опять не выполняется условие . Поэтому Саша мог взять только прямоугольный треугольник.
Задача 4. Общее количество сыгранных партий в турнире, равно
. Поскольку в каждой партии разыгрывается одно очко, то сумма очков, набранных всеми участниками равна 190. Вычитаем очки Толи : 190-9,5=180,5 . Поскольку 18 человек оказались в турнирной таблице выше Толи, то каждый из них набрал не ниже 10 очков, а в сумме они набрали не менее 180 очков. Оставшиеся 0,5 очков взял Витя – так как он единоличный победитель.
|
|
Задача 5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК
2 ТУР 7 класс
Задача 1. Балда договорился с попом отработать на него ровно год и расплачиваться щелчками по лбу. Балда предложил, что бы за каждый отработанный день ему добавлялся один щелчок, а за каждый прогул вычиталось 10 щелчков. Поп же настаивал на более хитром (по его мнению) варианте: за отработанный день начисляется 12, а за пропущенный вычитается 121 щелчок. По окончании срока выяснилось, что в обоих случаях поп должен получить от Балды одно и то же количество щелчков. Сколько именно?
Задача 2. Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
Задача 3. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
Выводные задачи:
Задача 4. В школе прошёл шахматный турнир, в котором участвовало 20 шахматистов (каждый сыграл с каждым один раз) . После подведения итогов оказалось, что Толя с 9,5 очками занял 19 –е место, ни с кем его не разделив. Единоличным же победителем оказался Витя. Определите, сколько очков набрал каждый участник. (В шахматах за победу присуждается 1 очко, за поражение 0 очков, за ничью – пол-очка.)
Задача 5 . несколько учеников отвечали на уроке, и каждый из них получил не ниже тройки. Аня получила отметку, которая на 10 меньше, чем сумма отметок остальных; Боря получил отметку, которая на 8 меньше чем сумма отметок остальных; Вера – отметку, которая на 6 меньше, чем сумма отметок остальных. Сколько человек отвечало на уроке, и какие отметки они получили?
Задача 1 Предположим, что год не високосный. Пусть Балда х дней отработал, а (365-х)дней прогулял, тогда по своему предложению будет иметь право на х-10(365-х)=11х-365*10 щелчков, а по предложению попа : 12х-121(365-х)=133х-365*121 щелчков. Поскольку в итоге количество одно и то же, то 11х-365*10=133х-121*365. Упростив, получаем 122х=365*111. Такое уравнение не имеет натуральных решений, если же год високосный, получим 122х=366*111,откуда х=333. Следовательно , поп должен получить 333-(366-333) *10=3 щелчка.
|
|
Задача 2.
 
|
Задача 3. 14точек самопересечения
Задача 4. Общее количество сыгранных партий в турнире, равно
. Поскольку в каждой партии разыгрывается одно очко, то сумма очков, набранных всеми участниками равна 190. Вычитаем очки Толи : 190-9,5=180,5 . Поскольку 18 человек оказались в турнирной таблице выше Толи, то каждый из них набрал не ниже 10 очков, а в сумме они набрали не менее 180 очков. Оставшиеся 0,5 очков взял Витя – так как он единоличный победитель.
Задача 5. Пусть S – сумма всех полученных отметок, А- отметки Ани, Б- отметки Бори, В- Веры. Из условия задачи : S-А=А+10; S-Б=Б+8; S-В=В+6; Следовательно S=2А+10=2Б+8=2В+6. Значит, В-Б=Б-А=1. Так как двоек не бвло, то возможен только один вариант: А=3, Б=4, В=5. Следовательно S=16, тогда S-(А+Б+В)=4, то есть еще один ученик получил отметку «4». Отвечало 4 человека; один получил «5», двое – «4», один – «3»