Задача № 8. В горизонтальной трубе длиной l находится положительно заряженный шарик. Вблизи противоположных концов трубы находятся закрепленные положительные заряды . Найти положение равновесия шарика из условия минимальности потенциальной энергии системы в этом положении.
Задача № 9. Два одинаковых положительных заряда величиной q расположены на расстоянии a друг от друга. В какой точке на оси симметрии напряженность результирующего поля, созданного этими зарядами, максимальна?
Задача № 10. При действии на механическую колебательную систему гармонически изменяющейся внешней силы в ней устанавливаются вынужденные колебания с амплитудой:

,

где m – масса системы, – собственная циклическая частота колебаний системы, – показатель затухания, характеризующий силу сопротивления среды. При какой частоте периодической внешней силы наступит резонанс, то есть амплитуда станет максимальной?

Задача № 11. По какой наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, втаскивают за веревку ящик. Коэффициент трения ящика о плоскость . При каком угле между веревкой и горизонтом потребуется минимальное усилие для втаскивания ящика?
Задача № 12. Человек может двигаться по полю со скоростью v, а по шоссе – со скоростью u. Ему необходимо из точки А в поле попасть в точку С на шоссе. Под каким углом к шоссе ему нужно двигаться, чтобы попасть в точку С за минимальное время?
Задача № 13. Из миномета ведут обстрел склона горы. Какова максимальная дальность обстрела вдоль склона, если начальная скорость мин , угол, образуемый склоном горы с горизонтом, ? Сопротивление воздуха не учитывать.
Задача № 14. В вертикальной трубе находится столб жидкости высотой Н. На какой высоте h от основания следует проделать отверстие в стенке трубы, чтобы дальность полета струи оказалась максимальной?
Задача № 15. Гелий массой m в цилиндре под поршнем занимает объем при давлении . Этот газ медленно переводят в состояние с параметрами , причем процесс перехода характеризуется законом . Определить максимальную температуру в этом процессе.
Задача № 16. Электрически заряженная частица с зарядом e и массой m, пролетев поле конденсатора, вылетает из него под углом к пластине. Напряженность поля внутри конденсатора Е, длина пластины l. Оценить интервал значений кинетической энергии влетающей частицы, если угол , под которым она влетает, не регистрируется.

Решение к задаче № 12.

Выделим два отрезка траектории – AB и BC и введем обозначения (смотри рис.). Общее время движения: . Используя чертеж, выразим отрезки AB и BC через h, l и : ; . После подстановки при заданных v и u время выражается как функция угла: . Эту функцию необходимо исследовать на экстремум.

Решение к задаче № 13.

В полете мина испытывает действие только силы тяжести. Поэтому ее траектория – парабола. Расстояние до точки ее пересечения со склоном OA обозначим S. Свяжем с точкой выстрела систему координат (смотри рис.). Как видно из чертежа: (*) или (**). Наклонная дальность максимальна при максимальном x. Поэтому будем отыскивать угол , при котором максимальна координата x точки А. Выразим x и y через параметры начальной скорости: . Исключая получим: (***). На основе равенств (*), (**), (***) произведем преобразования: . Полученное равенство позволяет выразить x как функцию угла: Исследование этой функции на экстремум приводит к окончательному ответу на вопрос задачи.

Решение к задаче № 14.

Смотри рис. Горизонтальная дальность полета струи зависит от ее скорости и времени полета . Начальная скорость струи определяется расположением отверстия относительно уровня свободной поверхности: , а время полета зависит от высоты: . На основании приведенных соотношений для горизонтальной дальности получим: или (*). Считая переменной h, функцию (*) исследуем на экстремум.

Решение к задаче № 15.

Микроскопические параметры состояния газа связаны уравнением Менделеева – Клапейрона: . Здесь М – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная. Подводим сюда выражение p: . Отсюда температура как функция объема: (*). Значения параметров начального и конечного состояний газа позволяют конкретизировать коэффициенты a и b. Решая данную систему, получим: . Итак, следует исследовать на экстремум функцию (*) и воспользоваться полученными выражениями для коэффициентов.