Теория и задачи по моделированию

Содержание

1. 
   Основные понятия моделирования
   

2. Основные этапы моделирования

Задачи по моделированию из различных предметных областей

Экономика

Задача 1

Задача 2

Медицина.

Задача 3
1.Основные понятия моделирования

Понятие модели

Модель — это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса.

Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала.

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т.п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние).

Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы:

• 
  понять, как устроен конкретный объект — каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;
  
• 
  научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация);
  
• 
  прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.
  

Структура — это определенный способ объединения элементов, составляющих единый сложный объект.

Система — это сложный объект, представляющий собой совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в некоторую структуру.

В учебнике “Информатика 9 класс” Н.В.Макаровой предложена следующая классификация моделей.  

1. Классификация по области использования




Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы.
Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего его изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции).
Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров; синхротрон — ускоритель электронов и др.).
Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры.
Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (испытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии).  

2. Классификация с учетом фактора времени



Статическая модель — модель объекта в данный момент времени.
 Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.
 

3. Классификация по способу представления



Материальная модель — это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы).

Информационная модель — это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными.

Вербальная модель — информационная модель в мысленной или разговорной форме.
Знаковая модель — информационная модель, выраженная специальными знаками, т.е. средствами любого формального языка. Знаковые модели — это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы ...
Компьютерная модель — модель, реализованная средствами программной среды.

Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и “перевести” полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму — формализовать информацию.

Формализация — это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру — форму.

Процесс построения модели называется моделированием.

В содержание
Некоторые дополнительные классификации моделей

По цели использования модели подразделяются на оптимизационные, связанные с нахождением точек минимума или максимума некоторых показателей (например, управляющие часто хотят знать, какие их действия ведут к максимизации прибыли или минимизации затрат), и описательные, описывающие поведение некоторой системы и не предназначенные для целей управления (оптимизации).

По способу оценки модели классифицируются на детерминистские, использующие оценку переменных одним числом при конкретных значениях исходных данных, и стохастические, оценивающие переменные несколькими параметрами, так как исходные данные заданы вероятностными характеристиками.

Детерминистские модели более популярны, чем стохастические, потому что они менее дорогие, их легче строить и использовать. К тому же часто с их помощью получается вполне достаточная информация для принятия решения.

По области возможных приложений модели разбиваются на специализированные, предназначенные для использования только одной системой, и универсальные – для использования несколькими системами.

Специализированные модели более дорогие, они обычно применяются для описания уникальных систем и обладают большой точностью.

В системах поддержки принятия решения база моделей состоит из стратегических, тактических и оперативных моделей, а также математических моделей в виде совокупности модельных блоков , модулей и процедур, используемых как элементы для их построения

Стратегические модели используются на высших уровнях управления для установления целей организации, объемов ресурсов, необходимых для их достижения, а также политики приобретения и использования этих ресурсов. Они могут быть также полезны при выборе вариантов размещения предприятий, прогнозировании политики конкурентов и т.п. Для стратегических моделей характерны значительная широта охвата, множество переменных, представление данных в сжатой агрегированной форме. Часто эти данные базируются на внешних источниках и могут иметь субъективный характер. Горизонт планирования в стратегических моделях, как правило, измеряется в годах. Эти модели обычно детерминистские, описательные, специализированные для использования на одной определенной фирме.

Тактические модели применяются управляющими среднего уровня для распределения и контроля использования имеющихся ресурсов. Среди возможных сфер их использования следует указать: финансовое планирование, планирование требований к работникам, планирование увеличения продаж, построение схем компоновки предприятий. Эти модели применимы обычно лишь к отдельным частям фирмы (например к системе производства и сбыта) и могут также включать в себя агрегированные показатели. Временной горизонт, охватываемый тактическими моделями, - от одного месяца до двух лет. Здесь также могут потребоваться данные из внешних источников, но основное внимание при реализации данных моделей должно быть уделено внутренним данным фирмы. Обычно тактические модели реализуются как детерминистские, оптимизационные и универсальные.

Оперативные модели используются как на низших уровнях управления для поддержки принятия оперативных решений с горизонтом, измеряемым днями и неделями. Возможные применения этих моделей включают в себя ведение дебиторских счетов и кредитных расчетов, календарное производственное планирование, управление запасами и т.д. Оперативные модели обычно используют для расчетов внутрифирменные данные

Математические модели состоят из совокупности модельных блоков, модулей и процедур, реализующих математические методы. Сюда могут входить процедуры линейного программирования, статистического анализа временных рядов, регрессивного анализа и т.п. Модельные блоки, модули и процедуры могут использоваться как поодиночке, так и комплексно для построения и поддержания моделей.

Система управления базой моделей должна обладать следующими возможностями: создавать новые модели или изменять существующие, поддерживать и обновлять параметры моделей, манипулировать моделями.

Свойства моделей: адекватность (степень соответствия модели представляемым объектам), подробность, ценность и т.п.

В содержание

  2. Основные этапы моделирования

Моделирование - творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно в следующем виде.
 

Каждый раз при решении конкретной задачи такая схема может подвергаться некоторым изменениям: какой-то блок может быть убран или усовершенствован. Все этапы определяются поставленной задачей и целями моделирования.

I этап. Постановка задачи

Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное — определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат.

По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть “что будет, если...”. Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется “как сделать, чтобы...”.

Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи.

Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики.

Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система — надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними.

II этап. Разработка модели

По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи.

Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модельв форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся “вручную”. Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц.

III этап. Компьютерный эксперимент

Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т.е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется.

IV этап. Анализ результатов моделирования

Заключительный этап моделирования — анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса.

В содержание
  Задачи по моделированию из различных предметных областей

1. Экономика

 
Задача 1
Машиностроительный завод, реализуя продукцию по договорным ценам, получил определенную выручку, затратив на производство некоторую сумму денег. Определить отношение чистой прибыли к вложенным средствам.
Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать процесс производства и реализации продукции с целью получения наибольшей чистой прибыли. Пользуясь экономическими формулами найти отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Чистая прибыль — это прибыль после уплаты налога. При расчете налога на прибыль необходимо учитывать его зависимость от уровня рентабельности. Примем, если уровень рентабельности не превышает 50%, то с прибыли предприятия взимается налог в 32%. Если же уровень рентабельности превышает 50%, то с соответствующей суммы прибыли налог взимается в размере 75%.

Объектом моделирования является процесс производства и реализации некоторой продукции.

Разработка модели
 
Основными параметрами объекта моделирования являются: выручка, себестоимость, прибыль, рентабельность, налог с прибыли.
Исходные данные:
выручка B;
затраты (себестоимость) S.
Другие параметры найдем, используя основные экономические зависимости. Значение прибыли определяется как разность между выручкой и себестоимостью P=B-S.
Рентабельность r вычисляется по формуле: r=(P/S)*100%
Прибыль, соответствующая предельному уровню рентабельности 50%, составляет 50% от себестоимости продукции S, т.е. S*50/100=S/2, поэтому налог с прибыли N определяется следующим образом:

если r<=50, то N=P*32/100 р., иначе N=S/2*32/100+(P-S/2)*75/100.

Чистая прибыль Р_ч= Р-N.
И, наконец, результат решения этой задачи — отношение чистой прибыли к вложенным средствам q= Р_ч/S.
Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:

  A. B.

1 Рентабельность производства

2 Исходные данные  

3 Выручка (р.)  

4 Себестоимость (р.)  

5    

6 Прибыль (р.) =B2-B3

7 Рентабельность (%) =B4/B3*100

8 Налог (р.) =ЕСЛИ(B7<=50;B6*0,32;B4/2*0,32+(B6-B4/2)*0,75)

9 Чистая прибыль (р.) =B4-B6

10 Отношение чистой прибыли к вложенным средствам =B7/B3


Компьютерный эксперимент

1. Ввести в компьютерную модель исходные данные.

    Например: B=3000; S=2000.
2. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только выручку, оставляя постоянной себестоимость.
3. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только себестоимость, оставляя постоянной выручку.
4. Как измениться модель, если налог вычисляется следующим образом:

рентабельность <=30% от 30 до 70% >70%

налог 20% 40% 60%

Изменится только формула в ячейке B8.

8 Налог (р.) =ЕСЛИ(B7<=30; B6*0,2;ЕСЛИ(B7<=70; B6*0,4; B6*0,6))

Анализ результатов

Полученная модель позволяет в зависимости от рентабельности определять налог с прибыли, автоматически пересчитывать размер чистой прибыли, находить отношение чистой прибыли к вложенным средствам. Проведенный компьютерный эксперимент показывает, что отношение чистой прибыли к вложенным средствам увеличивается при увеличении выручки и уменьшается при увеличении себестоимости продукции.

В содержание
Задача 2

Несколько человек решили организовать видеокафе на 6 столиков по 4 места. С каждого посетителя будет взиматься плата за сеанс видеофильма и ужин (всем посетителям будет предлагаться один и тот же набор блюд). Администрация города постановила, что плата за вход не должна превышать 5$. Требуется определить такую входную плату, при которой будет получена наибольшая выручка.

Казалось бы, здесь и решать нечего. Разве не ясно, что чем больше входная плата, тем больше выручка. Вот и ответ: входная плата должна быть 5$. Очень часто планирующие органы подобным образом и поступают, а в результате люди перестают посещать кафе, так как входная плата сильно завышена.

Начать надо, как всегда, с построения математической модели. В чем причины неудачи при введении максимальной входной платы? Мы предположили, что посещаемость не зависит от входной платы, и получили модель задачи, не соответствующую действительности. Значит, надо предполагать, что посещаемость зависит от платы за вход.

Обозначим входную плату через х. Тогда среднее число посетителей видеосалона является функцией от х. Обозначим эту функцию Р(х). В задаче требуется найти такое значение х, при котором выручка, равная произведению входной платы на количество посетителей х * (Р(х), достигает максимума. Если бы функция Р(х) была известна, то найти требуемый максимум не составило бы особого труда. Но эта функция неизвестна, поэтому попробуем найти хотя бы общий ее вид. Его можно указать, обобщив опыт работы подобных кафе:

Р(х) = ах² - Ьх + с. (2)

Коэффициенты а, Ь и с для каждого кафе свои. Как же их определить? Проще всего найти значение с. Представьте себе невообразимое - в видеокафе пускают бесплатно (т. е. х = 0). Ясно, что свободных мест не будет. Следовательно, Р(0) равно числу мест в кафе. С другой стороны, подставив 0 вместо х, получим Р(0) = с. Значит, с равно количеству мест. В нашем случае с = 24 (6 столиков по 4 места).

Определить а и b так же просто не удается. Справочников по посещаемости видеокафе еще нет. Поэтому здесь требуется эксперимент.

Достаточно открыть кафе и установить на некоторый срок (дней на десять) определенную плату за вход. Среднее число посетителей и даст нам значение функции (приближенное!). Установив другую плату за вход, найдем приближенное значение Р(х) при новом х, и так несколько раз.

Зависимость посещаемости от входной платы (на основе экспериментальных данных для конкретного кафе):

Входная плата Среднее число

х (в $) посетителей сеанса

Р (х)

1 20

1,5 17,5

2 16

2,5 14

3 12,4

3,5 11

4 9,2

5 7

Пользуясь электронной таблицей, можно подобрать значения а и b.

Вам останется определить, при какой входной плате выручка будет наибольшей.

Ход работы

Задание 1. Внимательно ознакомьтесь с постановкой задачи.

1. 
   На каких предположениях строится математическая модель?
   
2. 
   Что является исходными данными?
   
3. 
   Что должно явиться результатом?
   

Задание 2. Заполните таблицу эксперимента .

> 2.1. Сделайте заголовок.

> 2.2. Заполните шапку таблицы.

> 2.3. Отведите столбцы А и В электронной таблицы под коэффициенты а и b соответственно.

> 2.4. В столбец С занесите экспериментальные данные по входной плате.

> 2.5. В столбец D занесите экспериментальные данные по среднему числу посетителей.

> 2.6. В столбце Е подсчитайте выручку по формуле х * Р(х) на основе экспериментальных данных.

> 2.7. В столбце F вычислите по формуле (2) теоретическое количество посетителей, причем, как объяснялось выше, с = 24

> 2. 8. В столбце G вычислите теоретическую выручку.

> 2.9. Столбец Н отведите для вычисления погрешности, т. е. разницу между экспериментальной и теоретической выручками (поместите туда формулу =АВ$(D-Е).

> 2.10. Внизу в свободной ячейке столбца Н определите максимальную погрешность.

Задание 3. Подбирайте коэффициенты а и Ь, стараясь минимизировать погрешность

Этот процесс продолжайте, пока погрешность (на ваш взгляд) не будет удовлетворительной

Задание 4. Постройте графики

> 4.1. Постройте на одной диаграмме два графика (экспериментальный и теоретический) зависимости среднего числа посетителей от входной платы Р = F(х

> 4. 2. Разместите график на одном листе с таблицей. Оформите диаграмму

> 4. 3. Постройте на одной диаграмме два графика (экспериментальный и теоретический) зависимости выручки от входной платы Х.

> 4.4. Разместите диаграмму на том же листе. Оформите диаграмму

Задание 5. Проанализировав данные таблицы и графики, сделайте вывод об адекватности предложенной математической модели.

Задание 6. Определите, при какой входной плате выручка будет максимальна

Каково среднее число посетителей сеанса при найденной оптимальной входной плате?

Задание 7. Оформите таблицу на свой вкус (обрамление, заполнение, шрифты).

Задание 8. Воспользуйтесь предварительным просмотром печати.

> 8.1. Добейтесь хорошего расположения таблицы и двух диаграмм на листе.

> 8.2. Установите верхний колонтитул:

Численное моделирование. Работу выполнил <Фамилия и имя>.

В содержание

2.Медицина.

Задача 3

ТЕМА: Построение модели распространения гриппа.

ЦЕЛИ: Сформировать практическое представление о научных гипотезах, проследить на конкретном примере этапы выдвижения гипотезы, построения математической, а затем компьютерной модели и интерпретации предсказаний, полученных в результате моделирования.

Всем знакома ежегодная ситуация когда зимой вспыхивает эпидемия гриппа. Построим компьютерную модель распространения гриппа в классе. По опыту мы знаем, что когда в классе появляется заболевший некоторые ученики "подхватывают" инфекцию, заражают других, заболевают, выздоравливают, некоторые оказываются устойчивыми к инфекции. Число учеников, посещающих занятия, постепенно сокращается, и достигает наименьшего значения в разгар эпидемии. Затем наполняемость класса начинает расти и через некоторое время восстанавливается. Примерно протекание эпидемии  можно описать с помощью графика:

Для более точного описания потребуется более детально изучить процесс. По пути "детализации" ,в принципе, можно идти сколь угодно далеко (вплоть до учета поведения отдельных вирусов).Практически же  при построении моделей всегда приходится огрублять реальную  ситуацию. Сделаем несколько упрощающих предположений.

1.В любой момент времени каждый ученик класса входит в одну из следующих групп:

*здоровые - не заразившиеся, не заразные, и не переболевшие гриппом;

* носители - заразившиеся и не заразные ученики, присутствующие на занятиях ;

* больные - отсутствующие в классе по болезни;

* выздоровевшие - приступившие к занятиям после болезни;

2.Носители инфекции ,заразившись, ходят в школу и  заражают других в течении одного дня. На следующий день они заболевают и перестают посещать занятия.

3.Заболевшие болеют  в течении 5 дней, после чего выходят на занятия.

4.Выздоровевшие ученики повторно не заболевают.

Еще одно предположение связано со скоростью распространения инфекции. Его мы сформулируем немного позже, а пока перейдем к построению модели.

Мы будем прослеживать состояние класса день за днем. В каждый день состояние класса описывается следующим набором величин.

* а - число здоровых учеников;

* b - число носителей инфекции;

* c - число больных учеников;

* d - число выздоровевших учеников;

* w - число присутствующих в классе;

С учетом сделанных предположений число здоровых учеников, число носителей и  число выздоровевших в сумме составляют общее количество учеников в классе - n: равно n=a+b+c+d

Пусть в день t мы имеем состояние :

день	здоровые	носители	больные	выздоровевшие	в классе
t	a	b	c	d	w

Попробуем ответить на вопрос, какое состояние в классе возникнет на следующий день, то есть в день t+1. Ясно, что b учеников из группы носителей перейдут в группу больных. Если t<5 ,то выздоровевших учеников в день t нет; не будет их и в день t+1 .Число больных в день t+1 станет равно с+b .Если с начала эпидемии прошло более 5 дней, то число больных будет меньше: из с+b нужно вычесть число тех учеников, которые ко дню t отболели положенные 5 дней. Они естественно из группы больных перейдут в группу выздоровевших. Сложнее обстоит дело с определением числа учеников, заразившихся гриппом в день t. Обозначим это число за х. Заражение здоровых учеников происходит при контактах между здоровыми и носителями инфекции. Число таких контактов тем больше, чем больше здоровых учеников и чем выше доля носителей гриппа среди присутствующих в классе.

Теперь сформулируем еще одно допущение в дополнение к тем, которые мы сделали раньше. Будем считать, что х пропорционально числу а и корню квадратному из доля носителей болезни среди присутствующих учеников то есть sqrt(b/w). Получаем формулу :

   х=k*a*sqrt(b/w)  ...(1)

где k - коэффициент пропорциональности .

Попробуем теперь разобраться, какую роль играет указанный выше коэффициент k. C увеличением k (при прочих равных условиях) увеличивается число  заболевших. В реальности число заболевших будет больше в том классе, где ученики больше любят пообщаться друг с другом, меньше закалены и т.п. Все эти особенности каждого конкретного класса находят отражение в  величине k. Зная коэффициент k, характеризующий данный класс, можно примерно предсказать ход эпидемии.

Сделаем еще одно замечание относительно формулы (1):при построении компьютерной  модели будем использовать  формулу:
х=[k*b*sqrt(b/(w+1))].
Мы поставили в знаменателе w+1,а не w по чисто техническим соображениям. Если при работе с моделью возникнет состояние, когда все больны то есть w=0,то благодаря добавлению единицы мы избежим деления на 0.Практически w достаточно велико и b/w и b/(w+1) мало различаются. По понятным соображениям мы взяли целую  часть выражения k*a*sqrt(b/(w+1)) - число учеников должно быть целым. Приступим непосредственно к построению модели. При сделанных нами предположениях ход эпидемии зависит от трех величин : коэффициента k, числа учеников в классе и числа носителей инфекции. Эти три величины мы будем использовать в качестве управляющих параметров. Зададим некоторые начальные значения : пусть k=0.3 n=40 и инфицировано 2 человека. Тогда в первый день состояние будет таким

В дни со второго по шестой будет происходит одно и то же: часть здоровых учеников станет носителями ; те что были носителями накануне, заболеют; сократится  число присутствующих в классе. Заносим в строку 8 формулы : (см. таб. 2 )(1-8 строки). Теперь копируем формулы строки 8 (2-й день) в строки 9-12 (дни с 3-го по 6-й) см. таб. (1-12 строки - числа). На 7-й день характер процесса несколько меняется : в классе начинают появлятся выздоровевшие ученики. Внесем соответствующие поправки. Скопируем строку 12 в 13 и изменим формулу в клетке Е13. Запишем в эту клетку формулу С7. (на седьмой день эпидемии выздоравливают те ученики, которые заболели на 2-й день, то есть были носителями в 1-й )Теперь скопируем строку 13 в строки 14-36.Зависимость числа учеников в классе от дня эпидемии удобно представить в графической форме. Постройте график зависимости графы "в классе" от графы "день».

Упражнения к задаче.

1.Используя полученный график, проанализируйте ход  эпидемии при заданных значениях параметров. Определите:

а) в какой день в классе присутствует наименьшее количество учеников;

б) за сколько дней эпидемия полностью прекратится.

2.Будем считать, что  эпидемия не развивается, если  в классе каждый день присутствует не менее 90% учащихся. Установите, при каких значениях коэффициента k эпидемия не развивается если в первый день в класс приходит 1 заболевший ученик. Найдите (с

точностью до сотых) наибольшее такое значение.

3.Проанализируйте ход эпидемии при различных значениях k, общем числе учеников в классе - n и начальном числе заболевших p:

а)k=0.3 n=40 p=2

б)k=0.2 n=40 p=1

в)k=0.5 n=20 p=1

г)k=0.5 n=40 p=4

4.Примените построенную модель для анализа эпидемии гриппа в школе.

5.Будем называть нормальной эпидемию при которой в "пик" заболеваемости болеет примерно половина учеников. Пусть в первый день заражены примерно 10% учащихся. Определить значения k для нормальной эпидемии в классе и школе (с 600 учащимися).Объясните почему получились разные значения.

В содержание