ЗАГОЛОВОК
Важной в физике представляется задача о движении двух взаимодействующих частиц. Такая задача может быть в значительной степени упрощена путём разложения движения системы на движение центра инерции системы и движения точек относительно этого центра.
Т.к. потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит от расстояния между взаимодействующими частицами, то лагранжеву функцию представим в следующем виде:
, где 
- вектор взаимного расстояния двух точек. Помещая начало координат в центре инерции уравнением 
, находим следующие выражения для 
и 
:
, 
.
Подставляя последние два выражения в функцию Лагранжа
, приходим к следующему её виду:
, где 
- приведённая масса.
Легко заметить, последнее представление функции Лагранжа для двух части формально совпадает с лагранжевой функцией одной частицы в центрально-симметричном поле U(r). Таким образом, решение задачи о движении двух частиц сводится к более простой задаче о движении одной частицы в центральном поле.
Центральным называют такое поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния r (U(r)) до какой-либо неподвижной точки. Сила, действующая в таком поле на объекты, определяется выражением:
.
Очевидно, такая сила также зависит только модуля радиус-вектора 
и направлена вдоль него. При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля:
.
Отсюда вытекает, что всегда перпендикулярно 
. Следовательно, при постоянном моменте системы радиус-вектор будет всегда оставаться в одной и той же плоскости, перпендикулярной моменту. Дальнейшие теоретические выкладки предполагают, что область изменения радиус-вектора лежат в пределах ��r=[rmin, rmax], т.е. движение является финитным и траектория полностью лежит внутри кольца 
, а траектория в общем случае является незамкнутой. Проверим эти данные на основе имеющихся выше данных, численно решив задачу о финитном движении в системе MATLAB.
В дальнейшем используем самый простой способ численного решения – метод Эйлера. Выбрав малый шаг по времени ��t и используя второй закон Ньютона, можно записать следующие конечно-разностные равенства:
,
.
Беря в пример финитное движение в кулоновском поле с потенциалом 
, введём обозначения 
, dt=��t, 
(vx,vy), 
(ax,ay), позволяющие записать пример численного решения в виде, показанном на рисунке 1. Непосредственно финитное движение (в редуцированном масштабе) как решение поставленной задачи продемонстрировано на рисунке 2, где ��r=[rmin, rmax] – кольцо, за которое материальная точка выйти не может.
Рисунок 1 – Финитное движение
Рисунок 2 – Численное решение в системе MATLAB
Напоследок следует отметить, что хотя финитное движение в общем случае происходит по незамкнутой траектории, существуют такие определённые значения потенциальной энергии U(r), при которых радиус-вектор спустя m оборотов вернётся на своё первоначальное положение, и траектория замкнётся.