Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей по- средине между точечными зарядами q₁ = 8 · 10^-8 Кл и q₂ = -6 ·10^-9 Кл. Расстояние между зарядами равно r = 10 см;  = 1.
   
2. 
   Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю?
   
3. 
   Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника. Сторона треугольника 2 м. Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника.
   
4. 
   В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов. Величина каждого заряда q = 1,5 ·10^-9 Кл. Сторона шестиугольника 3 см.
   
5. 
   Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а. Определить величину напряженности в центре квадрата, если а) q₁ =q₂ = q₃ = = q₄ = q; б) q₁ = q₂ = q₃ = q, q₄=- q; в) q₁ = q₂ = q, q₃= q₄=- q;
   
6. 
   Расстояние между двумя точечными зарядами и q₁ = 7·10^-9_Кл и q₂ = -14,7·10^-9 Кл равно 5 см. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного.
   
7. 
   Найти силу, действующую на заряд в 0,6·10^-9 Кл, если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2·10^-9 Кл/см. Диэлектрическая проницаемость среды равна 6.
   
8. 
   Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см, если поле образовано: 1) точечным зарядом в 33·10^-9 Кл, 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 1,67·10^-8 Кл/см, 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2·10^-9 Кл/см².
   
9. 
   С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда нити 3·10^-8 Кл/см и поверхностная плотность заряда на плоскости 2·10^-9 Кл/см².
   
10. 
    С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3·10^-8 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга.
    
11. 
    Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда ₁ = ₂ = 10^-7 Кл/см расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга. Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити.
    
12. 
    С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3·10^-8 Кл/см² ?
    
13. 
    Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10^-7 Кл. Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см, 10 см, 30 см от центра сферы. Построить график зависимости .
    
14. 
    Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, d = 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью  = 150 мк Кл/м. Какова напряженность поля в точке, удаленной на 10 см, как от первой, так и от второй проволоки?
    
15. 
    Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд, равный 500 нКл. Определить напряженность поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности.
    
16. 
    Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд  = 2 мкКл/м. Вблизи средней части на расстоянии, малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см, находится точечный заряд 0,1 Кл. Определить силу, действующую на заряд.
    
17. 
    Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями ₁ = 1 нКл/м² и ₂ = 3 нКл/м² . Определить напряженность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам. Как изменится график, если заряд ₂ изменить на противоположный по знаку?
    
18. 
    Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью ₁ = 1 нКл/м² и ₂ = 2 нКл/м² . Определить напряженность поля, создаваемого пластинами. Начертить картину силовых линий.
    
19. 
    Две бесконечные плоскости, несущие одинаковый заряд, равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью  = 100 нКл/м² , пересекаются под углом 60⁰. Определить напряженность поля, создаваемого плоскостями, и начертить картину электрических силовых линий.
    
20. 
    Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью ₁=10 нКл/м² и ₂ = -30 нКл/м² . Какова сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади пластин?
    
21. 
    Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд, равный 30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН. Определить силу взаимного притяжения пластин, если площадь каждой пластины 100 см².
    
22. 
    Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд, равный 10 нКл/м². На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд, равный 100 нКл. Найти силу действующую на заряд.
    
23. 
    Точечный заряд, равный 1 мкКл, находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность заряда пластины, если на точечный заряд действует сила 60 мН.
    
24. 
    На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью  = 1 нКл/м². На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г, несущий заряд того же знака, что и пластина. Найти заряд шарика, если нить образует с вертикалью угол 30⁰.
    
25. 
    Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью  = 1 нКл/м². На некотором расстоянии от плоскости, параллельно ей расположен круг радиусом 10 см. Вычислить поток вектора напряженности через этот круг.
    
26. 
    Плоская квадратная пластина со стороной, равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно заряженной ( = 1 нКл/м²) плоскости. Плоскость пластины составляет угол 30⁰ с линиями поля. Найти поток вектора индукции через эту пластину.
    
27. 
    Точечный заряд q=5·10^-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки. Найти поверхностную плотность заряда, индуцированного на стенке в точке, ближайшей к заряду, и в точке, находящейся от заряда на расстоянии 5 см. Каков общий заряд стенки?
    
28. 
    В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВ/м, силовые линии которого составляют с вертикалью угол 30⁰, висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 3,3 нКл. Определить силу натяжения нити.
    
29. 
    Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d₁ = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d₂ = 8 мм. Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4. Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку. Линейная плотность зарядов  = 3,14 ·10^-10 Кл/м. Определить напряженность поля в точке, находящейся от оси кабеля на расстоянии r₁ = 3 мм и r₂ = 8 мм (рис.7).
    

d₁

d₂

Рис. 7

30. 
    Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 3,9·10^-11 м с зарядами 1,6 ·10^-19 Кл. Определить напряженность поля, созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3·10^-9 м от середины диполя в точке, лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему.
    
31. 
    Электрический заряд q₂ находится в электрическом поле заряда q₁ . От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства?
    
32. 
    Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него, если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину?
    
33. 
    Чему равна сила, действующая на заряд, помещенный в центре равномерно заряженной сферы?
    
34. 
    Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, если внутри нее сумма зарядов равна нулю, но есть поле, созданное внешними зарядами?
    
35. 
    Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ. Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара.
    

3. Потенциал. Связь напряженности и потенциала

Потенциалом какой-либо точки электростатического поля называется величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

. (3.1)

Разностью потенциалов между точками a и b электрического поля называется отношение работы А, которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b, к этому заряду:

. (3.2)

Работа А, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле:

. (3.3)

Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:

. (3.5)

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля:

. (3.6)

.

Если φ_a и φ_b – потенциалы точек a и b, лежащих на одной линии напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга, то напряженность электрического поля:

. (3.7)

Используя интегральную связь (3.6), получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей, созданных зарядами, расположенными на телах разной геометрической формы (см. таблицу 2).


Таблица 2

Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела	вне, В	внутри, В	, В
Точечный заряд		-
Сфера		const
Сферический конденсатор	const	,
Бесконечная плоскость		-
Плоский конденсатор	const	,
Бесконечный цилиндр	-	const
Бесконечная нить	-	-
Цилиндрический конденсатор	const	-

Примеры решения задач

Задача 1. В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см находятся заряды , , . Определить потенциал в точке А.

Дано: Решение:

Потенциал является энергетической характеристикой. Потенциал результирующего поля равен алгебраической

сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым

из слагаемых полей.



, , , .





Ответ:
Задача 2. Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R. Заряд сферы q. Найти разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от центра заряженной сферической поверхности. Записать выражение потенциала для точек внутри и вне и построить график .

Дано:	Решение:
q R ? -?

Рис. 8

Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического поля заряженной сферы направлены радиально. По тем же причинам модуль вектора напряженности должен быть одинаковым во всех точках, лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы.

Если применить теорему Гаусса для определения , то получим, что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду и расположенного в ее центре, и вычисляется по формуле:

. (1)

Внутри сферы поле отсутствует. В этом случае уравнение

. (2)

имеет вид:

. (3)

Формулы (1), (3) позволяют полностью решить задачу.

Из последнего уравнения следует, что

(4)

откуда

.

Окончательно запишем:

.

Найдем потенциал заряженной сферической поверхности:

.

Потенциал вне сферы вычисляется по формуле:

.

На рис.8 изображен график для заряженной сферической поверхности. Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально , где r – расстояние от центра заряженной сферы до точки, в которой необходимо найти потенциал. Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы.

Ответ: ,.
Задача 3. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга. К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя по линии напряженности расстояние ?

Дано:	Решение:
d = 2 см U = 120 В -?	Для того, чтобы сообщить электрону кинетическую энергию , силы электрического поля должны совершить работу , где - разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии .

Напряженность поля , где . Тогда работа сил поля или, учитывая, что . Поскольку , то , откуда  м/с.

Ответ:  м/с.

Задача 4. Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность поля в конденсаторе ; расстояние между пластинами . Через какое время t после того, как электрон влетел в конденсатор, он попадет на одну из пластин? На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов ?

Дано:	Решение:
t-? s -?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со скоростью , т.к. вдоль оси х на него действуют силы. При равномерном движении координата х изменяется со временем х=t. Вдоль оси у на электрон действуют две силы: сила тяжести и сила электростатического поля = e. Сила тяжести на тридцать порядков меньше электростатической силы , и ею можно пренебречь. Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным, а координата у изменяется со временем по закону . Отсюда при у = имеем . Пройдя разность потенциалов U, электрон за счет работы А сил электростатического поля приобретает кинетическую энергию, т.е. , откуда . Тогда через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии . Подставив числовые данные, получим S=22 см.

Ответ: S=22 см.

Задача 5. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью. Напряженность поля в конденсаторе ; длина конденсатора l=5 см. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора.

Дано:	Решение:
l=5 см -? -?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора , где . В скалярной форме . Поскольку , то Направление скорости электрона определяется углом . Из рисунка видно, что cos= ; .

Ответ:, .

Задача 6. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v₁ = 2 см/с. Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d = 2 см, масса пылинки m = 2·10^-9 г, заряд ее q = 6,5·10^-17 Кл.

Дано:	Решение:
v1 = 2 см/с U = 3 кВ d = 2 см m = 2·10-9 г q = 6,5·10-17 Кл t - ?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

<предыдущая страница | следующая страница>