1.2 Тензоры деформации

Деформацией называют изменение взаимного расположе­ния точек тела под действием любых внешних воздействий (ме­ханических, температурных, магнитных и др.). Различают де­фор­мацию упругую и пластическую. Первая является обра­ти­мой и исчеза­ет после прекращения действия вызвавших ее факторов, вторая сопровождается диссипацией энергии и при­водит к необратимым измене­ниям размеров.

1.2.1 Тензор конечных деформаций

Рассмотрим произвольно ориентированный бесконечно ма­лый отре­зок внутри деформируемого тела, ограниченный точ­ками 1{x, y, z} и 2{x+dx, y+dy, z+dz} (рис. 8). Под действием внеш­них сил концы отрез­ка получают некоторые переме­ще­ния, которые предполагаются непре­рывными функциями коор­ди­нат. Обозначим проекции вектора перемеще­ния точки 1 по осям координат x, y, z соответственно u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z). Тогда компоненты перемещения второго конца отрезка соста­вят u+du, v+dv, w+dw, а координаты точек 1 и 2 после де­фор­мации будут 1’{x+u, y+v, z+w}; 2’{x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw}.

Рис. 8 Конечная деформация бесконечно малого отрезка внутри деформируемого тела

Для определения приращений du, dv, dw воспользуемся по­ня­тием дифференциала функции трех независимых перемен­ных (1.48)

;

; (1.52)

Различные меры деформации основаны на сравнении тех или иных геометрических характеристик в исходном и ко­неч­ном состояниях. С этой целью можно сравнивать длины, пло­ща­ди или объемы. Тензор конечных деформаций основан на сравнении квадратов длины. В ис­ходном состоянии

. (1.53)

Квадрат длины рассматриваемого отрезка после деформа­ции соста­вит

или с учетом приращений (1.52)

(1.54)

где

;

;

; (1.55)

;

;

.

По предложению Грина [6], за меру деформации можно принять отношение

. (1.56)

Переходя от проекций длины отрезка в исходном состоянии dx, dy, dz к его направляющим косинусам

,

уравнение (1.54) можно представить в виде

. (1.57)

Сравнение уравнений (1.57) и (1.14) позволяет утверждать, что компоненты , характеризующие деформацию сплошной сре­ды в ок­рестности рассматриваемой точки, образуют сим­мет­рич­ный тензор второго ранга

, (1.58)

который называют тензором конечной деформации Грина.

Если воспользоваться индексными обозначениями для ком­по­нент вектора перемещения

, (1.59)

тогда тензор (1.58) с компонентами (1.55) можно записать в крат­ком виде

, (1.60)

суммирование в правой части проводится только по индексу k, так как другие индексы в одночленах не повторяются.

1.2.2 Тензор малых деформаций

В области упругих и упругопластических деформаций для боль­шин­ства металлов компоненты малы по сравнению с еди­ницей, и в уравнениях (1.55) квадратами производных, а так­же их произведени­ями можно пренебречь. Тогда вместо (1.60) получим тензор

, (1.61)

который называют тензором малых деформаций Коши.

В технических приложениях обычно используют обозначе­ния

; (1.62)

,

при этом тензор малых деформаций принимает вид

. (1.63)

Компоненты (1.62) имеют простой геометрический смысл и харак­теризуют деформацию волокон, первоначально парал­лель­­ных осям ко­ординат. На рис. 9 показана проекция одной грани параллелепипеда на плоскость x - y (с длинами ребер dx и dy в исходном состоянии) до и после деформации.

Рис. 9 Линейные и угловые деформации

Из соотношения (1.58) при условии dl₀ dl₁ следует, что ком­­поненты тензора (1.63), расположенные на главной диа­го­на­ли, опре­деляют относительное растяжение или сжатие (при < 0) ребер параллелепипеда

. (1.64)

Действительно, считая поворот ребер незначительным, для сто­­ро­ны ab можно записать

.

Аналогичным образом, разность перемещений концов от­рез­ка ac в направлении оси y, отнесенная к его начальной длине dy, определя­ет деформацию e_y.

С другой стороны, сумма углов поворота сторон ab и ac

определяет деформацию сдвига или искажение первоначально пря­мого угла

.

Компоненты тензора 0,5 представляют усредненные сдви­ги граней параллелепипеда.

Так как компоненты малой деформации (1.62) образуют сим­­метрич­ный тензор второго ранга, для них справедливы все соотношения, полученные в разд. 1.1 для тензора напряжений. В частности, в окрестности любой точки деформированного тела можно выделить три главных направления, вдоль которых деформации сдвига отсутствуют, а деформации растяжения или сжатия достигают экстремальных значе­ний и называются главными деформациями , , . Тензор дефор­мации в глав­ных осях имеет вид

. (1.65)

Тензор деформации имеет три инварианта

, (1.66)

, (1.67)

, (1.68)

которые не зависят от выбора осей координат и могут быть ис­поль­зованы для описания физических закономерностей про­цес­сов деформа­ции.

Линейный инвариант характеризует относительное измене­ние объе­ма бесконечно малого параллелепипеда. Если его ори­ен­тировать по главным осям и обозначить исходные размеры a₀, b₀, h₀, тогда, в соответствии с определением (1.64), конечные размеры составят

a₁=a₀(1+) ; b₁=b₀(1+ ) ; h₁=h₀(1+ ) .

Следовательно,

(1.69)

и для несжимаемой среды должно выполняться условие

= 0 . (1.70)

Тензор деформации можно разложить на шаровой тензор и девиатор

= + ; . (1.71)

Диагональные компоненты шарового тензора равны средней дефор­мации

. (1.72)

и характеризуют объемное расширение среды.

Для несжимаемых материалов шаровой тензор деформации равен нулю, а девиатор совпадает с полным тензором .

В плоскостях, которые проходят через одно из главных нап­равле­ний и делят пополам углы между другими главными нап­рав­лениями, сдвиги достигают экстремальных значений и на­зы­ваются главными деформациями сдвига

; ; . (1.73)

Для тензора деформации можно построить круги Мора, оп­ре­делить параметр Лодэ-Надаи [3-6].

1.2.3 Логарифмические деформации

В процессах обработки металлов давлением происходят весь­ма значительные изменения размеров и формы дефор­ми­руемых заготовок. Для описания деформированного состояния можно было бы применять тензор конечных деформаций, од­на­ко это приводит к большим матема­тическим трудностям. С дру­гой стороны, применение тензора малых деформаций (1.62) вносит в расчет большие погрешности.

Разбиение процесса конечной деформации на отдельные этапы с малой деформацией и последующее суммирование ре­зультатов возмож­но, но, строго говоря, в этом случае конечный результат зависит от способа разбиения процесса на этапы.

Действительно, если образец с начальной длиной l₀ растя­нуть до конечной длины l_k, то относительная деформация сос­тавит

.

Если же этот процесс рассматривать как поэтапный с про­ме­жуточными длинами l₁, l₂, l₃ ... l_k-1, на каждом этапе дефор­ма­ции составят

и их сумма не будет совпадать с деформацией, определенной выше. Этого недостатка лишена логарифмическая мера дефор­мации (мера Генки), которая определяется логарифмом отно­ше­ния конечной длины к начальной

. (1.74)

К тому же приближенное для тензора малых деформаций условие несжимаемости среды (1.70) становится точным

,

так как по предположению V₀=V_k.

Логарифмические деформации широко применяются при опи­сании процессов пластического формоизменения, но, как пра­вило, только для главных направлений тензора.

1.2.4 Интенсивности деформации

Обработка металлов давлением в обычных условиях не при­во­дит к заметному изменению их плотности в связи с цикли­ческим характером реальных механизмов накопления энергии, прежде всего за счет из­менения объема, и последующего плас­тического течения, завершающе­гося возвратом объема к его ис­­ходному значению и диссипацией час­ти энергии (см. разд. 7). В области развитых пластических дефор­маций, когда упру­гими составляющими можно пренебречь, объем любой выде­ленной частицы принято считать неизменным, а шаровой тен­зор деформации равным нулю.

Как было отмечено выше, при этих условиях полный тензор и де­виатор деформации совпадают, для их описания доста­точ­но двух ин­вариантов =, =. Наиболее важным считают второй инвариант.

В практических расчетах обычно используют интенсивность дефор­мации растяжения-сжатия

(1.75)

или интенсивность деформации сдвига

. (1.76)

Коэффициенты перед корнем выбраны так, чтобы при од­но­ос­ном растяжении или сжатии несжимаемого материала () выполнялось условие , а при чистом сдви­ге, например в плоскости x - y, соответственно .

Интенсивности деформации так же, как интенсивности на­пряжений (1.45) и (1.46), всегда положительны и не зависят от способа их определения, т. е. могут быть вычислены как в про­из­вольных, так и в главной системах координат.

1.3 Тензор скорости деформации

К сожалению, тензоры деформации (1.55) и (1.62) не учи­ты­ва­ют историю нагружения, так как основаны на сравнении двух состояний: начального и конечного. Характеристики тен­зо­ра деформации можно сопоставить с расстоянием между дву­мя точками, в которых рассмат­риваемая частица находилась в исходном и конечном состояниях. Это расстояние остается оди­наковым независимо от того, каким путем попала частица из одной точки в другую.

С точки зрения истории более информативной характерис­ти­кой является длина траектории, описываемой частицей в про­цессе пере­хода из одного (исходного) состояния в другое (ко­нечное). Для ее определения необходимо скорость частицы проинтегрировать по вре­мени от начала до окончания движе­ния.

Такой же метод учета истории можно предложить и для про­­цессов пластического формоизменения (он естественно по­яв­ляется в энергетической модели деформации, см. разд. 5), но тогда в каждый мо­мент времени нужно знать скорость изме­не­ния деформированного сос­тояния.

Логарифмические деформации можно рассматривать как пер­вую по­пытку суммирования бесконечно малых приращений деформаций, если последние определить отношением

, (1.77)

где l - текущая длина образца, тогда

.

Тензором скорости деформации называют производную по времени от тензора малых деформаций

. (1.78)

Если воспользоваться обозначениями (1.59), тензор ско­­рос­ти деформации можно записать через компоненты скорости частиц v_i=du_i /dt

. (1.79)

Понятие скорости пластической деформации не следует сме­шивать с понятием скорости пластического деформирова­ния, под кото­рой обычно понимают скорость движения инст­румента. Они отличаются и размерностью. Размерность компо­нент тензора (1.79) обратна единицам времени [с^-1].

Как и для любого другого симметричного тензора второго ранга, в каждой точке деформируемого тела можно указать три главные оси тензора , вдоль которых скорости дефор­ма­ции сдвига отсутствуют, а скорости деформации растяжения-сжатия принимают главные значе­ния

. (1.80)

В плоскостях, проходящих через одно из главных направ­ле­ний под углом к двум другим главным направлениям, ско­рости деформа­ции сдвига имеют экстремальные значения, ко­то­рые называют главны­ми скоростями деформации сдвига

; ; .

Компоненты главной диагонали тензора (1.79) определяют ско­рос­ти относительного удлинения ребер параллелепипеда, ори­ентирован­ных по осям координат, а другие компоненты - ско­рость искажения углов в соответствующих плоскостях.

Тензор скорости деформации имеет три инварианта

;

;

.

Линейный инвариант численно равен скорости относитель­но­го из­менения объема V

. (1.81)

В общем случае можно разложить на шаровой тензор и де­ви­а­тор

, (1.82)

где - средняя скорость деформации

. (1.83)

Для несжимаемых материалов dV = 0 и должно выпол­нять­ся условие постоянства объема

, (1.84)

при этом полный тензор совпадает с девиатором.

Наиболее важными характеристиками тензора T_x являются интен­сивность скорости деформации растяжения-сжатия

(1.85)

или интенсивность скорости деформации сдвига

. (1.86)

Таким образом, каждый из рассмотренных тензоров можно ха­ракте­ризовать одной из двух интенсивностей, например и T, и H. Но путать их нельзя в связи с возможными ошибками при рас­чете мощности и энергии деформации (см. разд. 3).

1.4 Степень деформации сдвига

Учет истории нагружения сводится к интегрированию ха­рак­­терис­тик тензора скорости деформации по времени, при этом существенное значение имеет форма представления под­ын­тегральной функции. Если она будет записана через пере­менные Эйлера [2-9] и интегрирование производится для фик­си­рованной точки пространства, результаты теряют физи­чес­кий смысл.

Для описания упрочнения материала и других эффектов плас­тичес­кой деформации наиболее важной является накоп­лен­ная деформация в окрестности каждой материальной части­цы, которую можно характери­зовать степенью деформации сдви­га [7]

, (1.93)

где подынтегральная функция предполагается заданной через пере­менные Лагранжа, т. е. интегрирование производится для фиксирован­ной материальной частицы.

Процессы нагружения, для которых , называют моно­тон­ными. Их можно сопоставить с движением тела между дву­мя точками прост­ранства по кратчайшему пути. Во всех других случаях и чем сложнее траектория нагружения, тем боль­ше будет между ними разница.­