1.6 Последовательности и прогрессии
1. Для какой из указанных ниже последовательностей число является ее членом?

А. Б. В. Г.
2. Какое из указанных ниже чисел является некоторым членом последовательности, заданной формулой общего члена ?

А. 0,87 Б. В. 1,01 Г. 1
3. Какая из указанных ниже формул задает последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3?

А.

Б.

В.

Г. каждая из формул задает требуемую последовательность
4. Какая из указанных ниже формул задает бесконечную числовую последовательность?

А.

Б.

В.

Г. каждая из формул задает бесконечную числовую последовательность

5. Какая из указанных ниже формул не задает бесконечную числовую последовательность?

А. Б. В. Г.
6. Сумма первых членов последовательности вычисляется по формуле .

Найдите первый член этой последовательности.

А. 2 Б. 3 В. Г. определить невозможно

7. Если сумма первых членов последовательности вычисляется по формуле , то формула - го члена этой последовательности имеет вид

А. Б. В. Г. определить невозможно
8. Сколько членов последовательности, заданных формулой , удовлетворяют

неравенству ?

А. 6 Б. 5 В. 4 Г. 3

9. Сколько положительных членов содержит последовательность, заданная формулой общего члена ?

А. 3 Б. 4 В. 5 Г. 6
10. Укажите номер наибольшего члена последовательности, заданной формулой

А. 1 Б. 2 В. 9 Г. -7
11. Какая из указанных ниже формул - го члена задает последовательность, наименьшим членом которой является число 3?

А. Б. В. Г.

12. Укажите третий член последовательности, заданной рекуррентно , .

А. 25 Б. -41 В. -21 Г. 3

13. Какая из указанных ниже последовательностей задана рекуррентным соотношением , ?

А. 5; 8; 11;… Б. 2; -1; -4;… В. 2; 5; 8;… Г. 2; 6; 18;…
14. Какая из указанных ниже последовательностей, заданных рекуррентно, является арифметической прогрессией?

А. ,

Б. ,

В. ,

Г. ,

15. Какая из указанных ниже формул является формулой - го члена арифметической прогрессии?

А. Б. В. Г.
16. Какое из указанных ниже чисел не является членом арифметической прогрессии -8; -5; -2; …?

А. 241 Б. 115 В. 97 Г. 87
17. Арифметическая прогрессия задана формулой - го члена . Чему равна разность прогрессии?

А. 2 Б. -2 В. Г.
18. Арифметическая прогрессия задана формулой - го члена . Сравните и .

А. Б. В. Г. определить нельзя
19. Сколько существует арифметических прогрессий, у которых , ?

А. ни одной Б. одна В. две Г. бесконечно много

20. Известно, что последовательность ; ; ; …- арифметическая прогрессия. Какая из указанных ниже последовательностей не является арифметической прогрессией?

А. ; ; ; …

Б. ; ; ; …

В. ; ; ; …

Г. все указанные последовательности являются арифметическими прогрессиями
21. В арифметической прогрессии . Найдите .

А. 6 Б. 9 В. 12 Г. определить нельзя

22. В арифметической прогрессии . Чему равно ?

А. 64 Б. 32 В. 16 Г. определить нельзя
23. Найдите сумму десятого и тридцать четвертого членов арифметической прогрессии, если сумма ее пятнадцатого и двадцать девятого членов равна 20.

А. 25 Б. 20 В. 15 Г. определить нельзя
24. Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессия -19; -16; …?

А. 8 Б. 7 В. 6 Г. 5
25. В арифметической прогрессии второй член равен 8, а пятый член равен 8,9. Сколько членов этой прогрессии содержится в промежутке ?

А. 5 Б. 6 В. 7 Г. определить невозможно
26. В арифметической прогрессии , . Сколько существует таких, что ?

А. ни одного Б. одно В. два Г. три
27. В арифметической прогрессии , . Сколько существует таких, что ?

А. ни одного Б. одно В. два Г. три
28. Даны пять последовательных целых чисел. Сумма второго и четвертого числа равна 28. Чему равна сумма всех пяти чисел?

А. 80 Б. 75 В. 70 Г. 65

29. Даны шесть последовательных целых чисел. Сумма второго и пятого числа равна 17. Чему равна сумма всех шести чисел?

А. 68 Б. 64 В. 51 Г. 48
30. Ученик читает каждый день на 3 страницы книги больше, чем в предыдущий день. На шестой день он прочитал 28 страниц. Сколько страниц ученик прочитал в первый день?

А. 10 Б. 13 В. 25 Г. определить невозможно


31. Какая из указанных ниже последовательностей является геометрической прогрессией?

А. 1; 8; 27; 64; 125;…

Б. 1; ; ; ; ;…

В. -2; 2; -2; 2; -2;…

Г. 1; 1; 3; 3; 9; 9; 27; 27;…
32. Какая из указанных ниже последовательностей не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией?

А. 0; 0; 0; 0; 0;… Б. 2; 2; 2; 2; 2;… В. 1; -1; 1; -1; 1;… Г. -3; -2; -1; 1; 2; 3;…
33. Какая из указанных ниже последовательностей, заданных рекуррентно, не является геометрической прогрессией?

А. ,

Б. ,

В. ,

Г. ,
34. Сколько существует геометрических прогрессий, у которых , ?

А. ни одной Б. одна В. две Г. бесконечно много
35. Сколько существует геометрических прогрессий, у которых , ?

А. ни одной Б. одна В. две Г. бесконечно много
36. Сколько существует геометрических прогрессий, первый и семнадцатый члены которых оба равны -1?

А. ни одной Б. одна В. две Г. бесконечно много

37. В геометрической прогрессии . Чему равно ?

А. 6 Б. -6 В. 36 Г. 6 или -6

38. В геометрической прогрессии . Чему равно произведение ?

А. 10 Б. 6 В. 8 Г. или
39. Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена . Чему равен знаменатель этой прогрессии?

А. 2 Б. -2 В. Г.
40. Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена . Сравните и .

А. Б. В. Г. сравнить нельзя

6. 
   Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   

6.1. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Решение. 1 способ. Из условия задачи следует, что ; .

Значит, .

Так как , то .

Ответ: .

2 способ. Из свойств арифметической прогрессии следует, что . Значит, ; ; ; .

Ответ: .
6.3. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4.Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260?

Решение. Так как , то для решения задачи достаточно найти наименьшее натуральное n , при котором верно неравенство ; ; ; .

Наименьшее натуральное n , удовлетворяющее этому неравенству, равно 65.

Ответ: .
6.6. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно.

Решение. Сумму 60+61+…+110 естественно рассматривать как сумму 51 члена арифметической прогрессии с и . Тогда.

Ответ: 4335.

6.8. В геометрической прогрессии и . Найдите .

Решение. Из условия задачи следует, что ;. Значит , т.е. или . Если , то . Если , то .

Ответ: или .
6.14. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой , и ?

Решение. Предположим, что данная прогрессия существует.

Так как ; , то .

Так как ; , то .

Т. е. - противоречие, следовательно, предположение неверно. Требуемой прогрессии не существует.

Ответ: не существует.

6.22. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой, ,и ?

Решение. 1 способ. Очевидно, геометрическая прогрессия с исуществует. Если ,, то , .

Так как - верное числовое равенство, то 192 является седьмым членом этой прогрессии. Значит, геометрическая прогрессия, удовлетворяющая условию задачи, существует.

Ответ: существует.

2 способ. Да, существует. Например, геометрическая прогрессия, у которой и . Действительно, ; ; .

Ответ: существует.

28. 
    Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:
    

3, 8, 13,… и 4, 11, 18,… .

Решение. Совпадающие члены данных прогрессий также образуют арифметическую прогрессию. Выписав несколько первых членов этих прогрессий: 3; 8; 13; 18; 23;… и

4; 11; 18; 25;…, находим, что первый член новой прогрессии равен 18. Так как разность первой прогрессии равна 5, а второй – 7, а 5 и 7 – взаимно простые числа, то разность новой прогрессии равна 35. Итак, следует найти сумму 20 членов арифметической прогрессии, у которой ; ; .

Ответ: 7010.
6.29. Решите уравнение .

Решение. Выражение, стоящее в левой части уравнения, естественно рассматривать как сумму сорока членов арифметической прогрессии с и .

Эта сумма равна . Таким образом исходное уравнение принимает вид , откуда ; .

Ответ: 1.

6.30. Решите уравнение .

Решение. Из условия задачи следует, что - натуральное число. Каждое слагаемое в левой части уравнения содержит общий множитель . Вынося его за скобку, получим . Выражение в скобках естественно считать суммой первых членов арифметической прогрессии, у которой ; ; ( или ; ; ). Эта сумма равна . Таким образом, уравнение принимает вид ; ; ; .

Ответ: 19.

6.33. Сколько существует натуральных трехзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 4 или 5?

Решение. Из условия задачи следует, что искомые числа - это трехзначные числа, делящиеся либо на 4, либо на 5, но при этом не делящиеся на 20. Первые числа : 100; 104;…;996. Их количество . Вторые числа : 100; 105;…;995. Их количество . Трехзначные числа, делящиеся на 20 : 100; 120;…; 980. Их количество . Заметим, что числа, делящиеся на 20, содержатся и в первой, и во второй группе. Следовательно, количество искомых чисел равно (225-45)+(180-45)=315.

Ответ: 315.
6.35. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными.

Решение. Из условия задачи следует, что ; ; . Так как и - натуральные, то - четное.

При имеем ; .

При имеем ; .

При не будет натуральным числом. Следовательно, либо

, либо ,.

Ответ: , или , .