Мысалы. С: у=х² түзуі берілсін. Р(0:0) нүктесінде жанама жүргізілген.

Шешуі. Векторлық сызықты беру үшін алдымен біздің сызығымыздың параметрлік көрінісін құрастырамыз.

С: С: (t)

f^/(t) f^/(t)

ОХ-жанама.

9. Евклидтік кеңістіктегі сызықтар
Егер f^/ функциясы f – тен үзіліссіз өзгерудің нәтижесінде шықса,

f:F (1)

Егер бір кескінін өзара бір мәнді болса, онда (1) кескінінің болуының мына кескін шығады.

f^-1 : F^/ (2)

Егер f, f ^{– 1} үзіліссіз болса, онда мұндай кескіндер гомеоморфты немесе топологиялық кескіндер деп ататлады.

Элементар қисық деп (а,в) ашық кесіндісінен тополргиялық өзгерудің көмегімен алуға болатын фигураны айтады.

(3) элементар қисықтың параметрлік берілуі.

Кеңістікте координаталар жүйесі енгізілген жағдайда (яғни базис ) онда (3) теңдіктен алатынымыз.

(4)

Бұл элементар қисықтың векторлық берілуі

10. Жанама түсінігі. Жанама теңдеуі.
С: (1)

t P(t) сызқтағы нүкте

Жанамада ағымдағы М нүктесін қарастырайық. Жанама теңдеуін алу үшін жанама бойымен жылжитын М нүктесі қадағалайтын қандай да бір R векторлық функциясының өзгеру заңын табу керек. РМ –сызық ОRМ үшбұрышты қарастырамыз.

(2) берілген сызыққа көрсетілген нүктесіндегі жанама теңдеуі.

(2)теңдеудегі бірінші қосылған жанама жүргізіп жатқан нүктені сипаттайды. Екінші қосылғыш жанаманың бағытын сипаттайды. -айнымалы жанамада орналасқан нүктелердің параметрі. Екі теңдеудің қатынастарды алуға болады.

- координаталар

(3)

11. Тегіс қисыққа жүргізілген нормаль.

Кеңістік қисыққа жүргізілген нормаль жазықтық.
С: (1)- тегіс қисық

P(t) сызқтағы нүкте

f^/ (t) – бағытты анықтайды.

Берілген нүктедегі тегіс қисыққа жүргізілген нормаль деп сызық берілген жазықтықта орналасқан түзуді айтады. Ол Р нүктесі арқылы өтеді және жанамаға перпиндикуляр.

N- нормаль векторы.



(2) – нормаль теңдеуі

Мысал 2:

Шешуі:

С- кеңістік қисығына Р нүtктесі арқылы шексіз көп нормаль жүргізуге болатын жағдайда, осы барлық нормальдар берілген нүктедегі қисыққа жүргізілген нормаль жазықтық деп аталады, қандайда бір жазықтықта орналасады.РМ перпиндикуляр f^/(t)

Р(х₀ у₀ z₀)

(3)

12. Скаляр өріс. Деңгей сызықтары және беттері.
функциясы берілген скаляр өрісті қарастырайық. Скаляр өрістің деңгейінің беті деп U(М) функциясы тұрақты мән қабылдайтын нүктелердің геометриялық түрлерін айтады, яғни U(x,y,z)=С (2)

Осы теңдеуде шамаға әр түрлі мән бере отыра, өрісті қарастыратын деңгейдің әртүрлі беттерін аламыз. Өрістің әрбір нүктесі арқылы бір ғана деңгей беті өтеді. Оның теңдеуін (2) теңдеуіне нүктенің координаталар арқылы табуға болады.

U=

Осы функция пайда болған скаляр өріс үшін деңгей беті центрлері координаталар басында болатын, көптеген концентрлі сфералар болып табылады.

Жеке жағдайда С=1 болғанда, , яғни сфера нүктеге кішірейіп тартылады.

Температуралық өрістердің деңгей бетінің біркелкі қызған жібі үшін ортақ өсі жұп болатын дөңгелек цилиндрлар болып табылады. U= U(х,у) жазық өріс жағдайда

U(х,у) = С теңдігі өріс деңгейін сызығы теңдеуі болып табылады. Яғни, деңгей сызығы бұл нүктелерде U(х,у) функциясы тұрақты мәнін сақтайтын О(х,у) жазықтығындағы сызық. Мысалы, митереологияда изобаралар мен изотермалардың көзі бірдей орташа қысымдар мен температуралардың сызықтары, деңгей сызықтар және нүктенің координаталардың функциясы болып табылады.

Деңгей сызықтары математикада беттерді қималар әдсімен зерттеуге қолданады.
13. Бағыт бойынша туынды.
өрісі берілген кеңістікте қандайда бір М нүктесін алып, М нүктесінің бағытымен қозғалғанда U функциясының өзгеріс жылдамдығы н табамыз. векторы М нүктесінен басталсын және бағыттауыш косинустар болсын.

U функциясы қандайда бір М₁ нүктесінде бағытымен орын ауыстырғанда пайда болатын өсімшесі былай болады.

немесе онда U=U(М) функциясына М нүктесінде бағыты бойынша туындысы - шек деп аталады.

бағыты бойынша туынды осы бағыт бойынша М нүктесіндегі функциясын өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

Егер болса, онда функция бағытында өспелі. Егер болса, онда U функциясы бағытында кемімелі.

- шамасы М нүктесіндегі бағыты бойынша U функциясының мезетін өзгеріс жылдамдығын көрсетеді.

- неғұрлым үлкен болса, соғұрлым U функциясы тез өзгереді. Бағыт бойынша туындының физикалық мағынасы осында. U(x,y,z) функциясы М нүктесінде дифференциалды деп есептеп, бағыт бйынша туындыны есептеу формуласын қорытайық. Онда оның М нүктесіндегі толық өсімшесін мына түрде жазуға болады.



кездегі шексіз кіші функциялар . Себебі






шекке көшіп, бағыт бойынша туындыны есептеу формуласын аламыз.

(2)
жазық өріс жағдайында ,

,сонда (2) формула мына түрде келеді.


Ескерту.

Бағыт бойынша туынды түсінігі дербес туындылар түсінігінің жалпылама түсінігі болып табылады. Олардың ОХ, ОУ, ОZ кординаталық өстердің бағыты бойынша Uфункциясының туындысы ретінде қарастыруға болады. Егер бағыты ОХ өсінің бағытымен сәйкес келсе, онда екінші формулада , қойып, аламыз.

14. Скаляр өрісінің градиенті және оның қасиеттері.


туындысы неғұрлым үлкен мәнге ие болатын бағыт скаляр өрісінің градиенті деп аталады векторды көрсетеді.

Координаталары М(х,у,z) нүктесінде функциясының дербес туындыларының мәні болып табылатын вектор функциясын градиенті деп ататлады және деп белгіленеді.

() немесе

- векторлық шама.

U скаляр өрісі градиентінің векторлық өрісін тудырады. Екінші теңдеуді мына түрде жазуға болады.

(3)

векторымен бағыты арсындағы бұрыш.

(3) формуласынан бағыт бойынша туындысының болғанда, яғни болғанда ,ең үлкен мәнге ие болатыны көрінеді.

Градиент бағыты бағытымен сәйкес келеді. Оның бойымен функция бәрінен де жылдам өзгереді, яғни функцияның градиенті функцияның ең тез өсуін бағытын көрсетеді.

М нүктесіндегі U функциясының ең үлкен өзгеріс жылдамдығы мынаған тең.

Градиентінің физикалық мәні осында. Әр нүктедегі өріс градиенті бір мәнді анықталған вектор болып табылады.

Градиент функциясының қасиеттері.

1. Градиент берілген нүкте арқылы өтетін деңгей жазықтығына нормаль бойынша бағытталған.

Дәлелдеу.

Шынында әр бір бағыт бойынша деңгей жазықтығы бойымен немесе =0 онда ,

2. grad(U+V)= gradU+ gradV

3. gradCU=CgradU C=const

4.gradUV=U gradV+ VgradU

5. grad

6. grad f(U)=

Бұл қасиеттер градиент анықтамасы негізінде дәлелденді.

Ескерту.

Келтірілген градиент қасиеттері жазық өріс үшін де дұрыс болып қалады.

15. Векторлық өріс. Өрістің векторлық сызықтары.
а=а(М) векторымен берілетін векторлық өрісті қарастырамыз. Өрісті оқуды векторлық сызықтар түсінгенмен бастаған ыңғайлы. Олар өрістік қарапайым геометриялық мінездемелері болып табылады. Өрістің а-векторлық сызығы деп әрбір М нүктесінде жүргізілген жанаманың оған сәйкес А(М) векторлық бағыты бар сызық аталады. Бұл түсінік нақты өрістер үшін анық физикалық мағынаға ие. Мысалы, ағымдағы сұйық жылдамдығының өрісінде векторлық өрістер болып бойымен сұйықтықбөлшектері (ток сызықтар) қозғалыста жатқан сызықтар табылады. Магнит өрісі үшін векторлық сызықтар солтүстік полюстен шығып, оңтүстік полюстен аяқталатын сызықтар болады. Қандай да бір тұйық сызық арқылы өтетін өрістің барлық векторлық сызықтық тобы (қосылы) векторлық түтік деп аталады.

Векторлық сызықты оқуды ,оның векторлық сызықтарына орналасқан оқудан бастайды.

a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k (1)

өрістің векторлық сызықтары

dх P(x,y,z)= dу/ Q(x,y,z)=dz/ R(x,y,z) (2)

(2) түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесіменг суреттеледі. Шынында да, Р, Q өрістің векторлық сызығы r=xi+yj+zk оның радиус векторы болса, онда dr=dxi+dyj+dzk векторы жанама бойынша М нүктесінде Р, Q сызығынаа бағытталады. а және dr векторының коллениарлығының күшіне олардың проекциясының пропорционалдығы , яғни теңдігі шығады.

16. Өріс ағыны.
Векторлық өріс (1) вектормен құрылсын. а(М) векторды стационар қозғалып жатқан қандайда бір сұйық ағынын жылдамдық векторы деп есептейік, қандай да бір S беті осы ағымда болсын және сұйықты өткізсін. S бет арқылы сұйықтың қандай мөлшері ағатынын есептейміз. S бетінің қандайда бір жағын таңдайық.

n=(cos, cos ,cos) –нормаль бірлік векторы қарастырылып жатқан S бетінің жағына перпендикуляр болсын. Бетті элементар S_1, S₂... Sn аудандарға бөліп тастаймыз. Әрбір бөлікте М_i (i=1,2,..n) нүкьесін таңдап, әрбір а(М₁),а(М₂)....а(М_n) нүктелерінде а(М) жылдамдық векторының мәнін есептейміз. Әрбір бөлікті жуықтап, тегіс деп, ал а векторды модулі бойынша тұрақты және бөліктің әрбір нүктесіне бірдей бағытталған деп есептейміз. Онда бөлік уақыт аралығында S₁ арқылы жуық шамамен К_i=H_i S_i , болатын сұйық мөлшері ағады, мұндағы S_i - і-нді бөліктің ауданы, H_i а(М) құраушысымен і цилиндрдің биіктігі, бірақ Н_іп_{і =}пр _пі а(М_і) = а(М_і) п_і нормаліне а(М_і) векторының проекциясы болып табылады. Мұндағы п_і М_і нүктесіндегі бетке жүргізілген нормалдың бірлік векторы. Осыдан бірлік уақыт аралығында барлық S бет арқылы ағып өтетін жалпы сұйық мөлшерін сумманы табу арқылы есептейміз.

K=а(М_і) п_і S_i

Сұйық ізделінді мөлшердің нақты мәнін элементер бөліктерден санының шексіз ұлғаюы олардың өлшемдерінің (бөліктердің диаметрлері) 0-ге ұмтылған кездегі табылған суммадан шек алу арқылы табамы

K=limа(М_і) п_і S_i = K=а(М_і) п dS

n i=0

maxdi=0

а(М) өрістің физикалық мағынасына қарамастан алынған интегралды векторлық өрісінің ағыны деп атайды. S бет арқылы өтетін а векторлық ағыны деп векторлық өрістің скаляр туындысынан бетке нормалін бірлік векторына бет бойынша интеграл аталады.

Яғни,

Вектор ағынының әр түрлі жазылуы формаларын қарастырайық.

А-векторының к ағыны скаляр шама екенін айта кетеміз. К шамасы бірлік уақыт аралығында S бет арқылы ығатын сұйық көлеміне тең . ағынның физикалық мағынасы осында.

Бет тұйық болып V көлемді шектеп тұрған жағдайды ерекше деп қарастыруға болады. Онда вектор ағымын мына түрде жазады.

Бұл жағдайда п векторлық бағыты ретінде ішкі нормаль бағытын алады да, ағын туралы S бетінің ішінен айтады. Егер а а(М) векторлық өріс ағып жатқан сұйықтың жылдамдық өрісі болса, онда к ағын шамасы тұйық бет арқылы облысына ағып, бірлік уақыт аралығында оған құйылатын сұйық мөлшері арасында айырманы береді. Сонымен бірге, к 0-ден артық болса, онда көлемнен ағып кіретін сұйық көлеміне қарағанда ағып шығатын сұйық көбірек болады.

Бұл облыс ішінде қосымша көздер бар екенін білдіреді. Егер к 0-ден кіші болса, онда облысының ішінде сұйық шығынын сіңіретін ағана болады. Көздер- векторлық сызықтар басталатын нүктелер, ал ағындар векторлыық сызықпен аяқталатын нүктелер деп аталатын болады. Осылай электр өрісінде көз оң заряд,ал ағын магниттің теріс заряды болып табылады.

Егер к 0-ге тең болса, көлемнен бірлік уақыт аралығында қанша сұйық ағып кірсе, сонша сұйық шығады. Облыс ішінде немесе көздер де ағындар да жоқ немесе олардың әсері өзара компенсацияланады.
17. Өріс дивергенциясы. Остроградский – Гаусс формуласы.
Векторлық өрісінің маңызды мінездемесі өрістің көздері мен ағынының бөлінуімен интенсивтілігін сипаттайтын дивергенция болып табылады. Векторлық өрістің а(М)

М нүктесіндегі дивергенция деп

*

Осы түрдегі скаляр аталады және дивергенция div деп белгіленеді.

Дивергенцияның кейбір қасиеттерін атап өтейік.

1. 
   Егер а тұрақты вектор болса, онда divа=0
   
2. 
   div(Са)=Cdiva C=const
   
3. 
   div(a+b)= diva+ divb, яғни 2 вектордың функциясының суммасының дивергенциясы қосылған дивергенциясының сммасына тең.
   
4. 
   Егер U скаляр функциясы , ал а векторлық , онда div(Uа)=U diva+a gradU.
   

Ағын және векторлық өріс дивергенциясы түсініктерін қолданып, анализді белгілі Остраградский-Гаусс теориясы векторлық түрде жазайық.

(5)

Остраградский-Гаусс формуласы тұйық S бет арқылы ішкі нормаль бағытында , яғни ішінен векторлық өрістің ағыны берілген бетпен шектелген. V көлемі бойынша осы вектордың өріс дивергенциясы үштік интегралға тең дегенді білдіреді.

(6)

М нүктесіндегі векторлық өрістің дивергенциясы деп М нүктесі қоршап тұрған S бет арқылы өріс ағынының бет М () нүктесіне тартылуға шартымен осы бетпен шектелген дененің көлемін қатынасының шегі аталады.

(7)

Дивергенция анықтамасы 7 * формуласына эквивалентті. Анықтамадан көрініп тұрғандай нүктедегі векторлық өрістің дивергенциясы скаляр шама болып табылады. Ол берілген векторлық өрісте скаляр өрісін қалыптастырады. Ағынның физикалық мағынасына байланысты (а(М) сипаттайтын сұйықтың жалған стационар ағынның жылдамдықтар өрісі деп есептеледі):

Divа(М) болғанда, М нүктесіндегі сұйық жұтатын ағыны.

М нүктесіндегі қуаттылығын (интенсивтілігін , тығыздығын) сипаттайды. Дивергенцияның физикалық мағынасы осында.

Егер тұйық S бетпен шектелген V көлемде көздер де ағындар да болмаса, онда divа=0 болатыны түсінікті. Әр бір нүктеде өріс дивергенциясы 0-ге тең болатын векторлық өріс, яғни divа(М)=0 соленойдтық немесе түтіктік деп аталады.
18. Өріс циркуляциясы.
Векторлық өріс а(М)векторынан пайда болсын. Осы өрісте қандай да бір тұйық L қисығын алып, онда белгілі бір бағытта таңдап аламыз. R=xi+yj+zk L контурындағы М нүктесінің радиус векторы . dr=dxi+dyj+dzk векторы қисыққа жанама бойынша оның айнымалы бағытында бағытталған және /dr/=dl .мұндағы dl-қисық доғасының дифференциалы.

L контурына жанасатын а векторының скаляр туындының dr векторына қатынасынан тұйық L контуры бойынша қисық сызықты интеграл L бойымен а векторының циркуляциясы деп аталады.

С (8)

Циркуляциясына жазудың әр түрлі формуланы қарастырайық.

adr=a_rdl=Pdx+Qdy+Rdz

С= (9)

Мұндағы a_r векторы L қисығының айналасының бағытында жүргізілген а векторын жанамасына проекциясы.

(9)формула түрінде жазылған С – циркуляциясының қарапайым физикалық мағынасы бар: егер L қисығы күштік өрісте орналасса, онда циркуляция бұл материалдық нүктені L бойымен жылжытқандағы а(М) өрісінің күштік жұмысы.Тұйық векторлық сызықтар бойынша циркуляция 0-ден өзгеше айта кетеміз. Себебі векторлық сызықтарының әрбір нүктеде adr скаляр туындысы, егер а векторының бағыты векторлық сызықтарының айналу бағыттарымен сәйкес келсе-оң, кері жағдайда- теріс белгіні сақтайды.

<предыдущая страница | следующая страница>