19. Өріс роторы. Стокс формуласы.
векторлық өрістің роторы деп

(10)

Осы формуламен анықталатын векторды айтады.

Ротордың кейбір қасиеттері.

1. 
   егер а тұрақты вектор болса, онда rot=0
   
2. 
   rot(Ca)=Crota C=Const
   
3. 
   rot(a+b)=rota+rotb
   
4. 
   U скаляр функция а(М) векторлық функция болса, онда rot(Ua)=Urota+gradU*a
   

Ротор және циркуляция векторлық өрісінің түсініктерін пайдаланып,математикалық талдауда Стокс формуласын жазайық.

(11)

Осы формуланың сол жағы а векторының L контуры бойынша циркуляциясы оң жағындағы интеграл L контурмен шектелген S бет арқылы өтетін rota векторының

ағыны болып табылады. Осыдан стокс формуласын мына түрде жазуға болады.

(12)

Стокс формуласының мұндай түрін оның векторлық түрі деп атайды. Бұл формулада L контурындағы оң бағыт және S беттің жағы Стокс теориясындағыдай өзара байланысқан.

(12) формула L тұйық контур бойымен а векторының циркуляциясы а векторлық өрісінде жатқан және L контурмен шектелген S бет арқылы осы а векторының роторын ағынына тең екенін көрсетеді.

(11) формуланы қолданып (1) ге эквивалентті және координаталық жүйеге тәуелсіз өріс роторын басқа анықтамасын беруге болады. Ол үшін М нүктесі L контуры бар. Ең кіші S аудан үшін (12) Стокс формуласын қолданамыз.

Мұндағы М₀ – S ауданының қандай да бір орталық нүктесі.

Онда (12) формуланы мына түрде жазуға болады.

Lконтуры М нүктесіне тартылсын ,сонда М₀М, ал шекке көшіп алатынымыз:

М нүктесіндегі а вектордың роторы деп әрбір бағыттағы проекциясы осы бағытқа перпендикуляр тегіс іс бөліктің векторы бойынша а вектордың циркуляциясының осы бөліктің ауданының қатынасын шегіне тең вектор аталады.

Анықтамадан көрініп тұрғандай а(М) векторының роторы өзінің векторлық өрісін тудыратын векторлық шама болып табылады.

Векторлық өріс роторына физикалық түсінік берейік. Тұрақты бұрыштық жылдамдықпен ОZ өсінің айналасында айналатын қатты дененің сызықтық жылдамдығының өріс роторын табамыз:

Бұл өрісінің роторы айналу өсіне параллель бағытталған. Оның модулі айналудың 2 еселенген бұрыштық жылдамдығына тең. Сандық көбейткішіне дейінгі дәлдікпен жылдамдықтың өріс роторы қатты дененің айналуын бұрыштық жылдамдығы болып табылады. Осымен ротор түсінігімен байланысты.

Ескерту.

Ротор анықтамасының ротордың бағыты айналасындағы циркуляция S ауданының нормалімен сәйкес келмейтін кез келген бағыт айналасындағы циркуляциямен салыстырғанда үлкенірек мәнге ие бағыт екені көрінеді. Сондықтан ротор мен циркуляция арасындағы байланыс градиент пен бағыт бойынша туындысының арасындағы байланысқа ұқсас.

20. Гамильтон операторы.
Бірінші ретті векторлық дифференциалды амалдар.

U скаляр өріспен а векторлық өріске қолданылатын негізгі диф.амалдар gradU, rota diva болып табылады. Градиент, дивергенция, ротор алу амалдары бірінші ретті векторлық амалдар деп аталады. (оларда тек 1ші туындылар қолданылады)

Бұл амалдарды Гамельтон операторының көмегімен жазған ыңғайлы.

Бұл символдық вектордың набло операторы деп те анайды. Ол тек скаляр немесе векторлық функциямен бірге белгілі бір мәнге ие болады.вектордың и скалярға немесе а векторға символдық көбейту әдеттегі векторлық алгебраның ережемен жүргізіледі. Ал символын U P,Q,R шамасына көбейтуді осы шамадан сәйкес дербес туынды алу деп түсінеді.

Гамельтон операторын қолданып, бірінші ретті диф.амалдар аламыз.

1.

2.

3.

Гамельтон операторы басқа амалдарды жазу және өріс теориясындағы әр түрлі формулаларды шығару үшін қолданылады. Оны қолдану кезінде векторлық алгебра мен диф.ережесін қолдану керек. Жеке жағдайда бағыты бойынша туынды мына түрде жазуға болады.

мұндағы
21. Екінші ретті векторлық диф.амалдар.
Скаляр немесе векторлық өріске Гамельтон операторын қолданғаннан кейін осы операторды қайтадан қолдануға болатын жаңа өріс пайда болды. Нәтижесінде екінші ретті векторлық диф.амалдар алынады. Екінші ретті диф.амалдардың 5түрі бар.

1. 
   divgradU
   
2. 
   rotgradU
   
3. 
   divrota
   
4. 
   graddiva
   
5. 
   rotrota
   

Гамильтон операторын қолданып екінші ретті диф.амалдардың өрнектерін жазамыз.Оператордың тек оператордың арғы жағында орналасқан көбейткішке әсер ететіін аңғару қажет.

1. 
   divgradU
   

divgradU

Лапластың диф.теңдеуін математикалық физиканың әр түрлі бөлімдерінде маңызды рөл атқарады.

Лаплас теңдігінің шешімдері ретінде гармоникалық функциялар болып табылады.

2. rotgradU

Себебі екі бірдей вектордың көбейтіндісі 0-ге тең. Бұл градиент өрісі құйынды емес өріс дегенді білдіреді.

3. graddiva

4. divrota

Себебі, ішінде екі бірдей үш вектордың аралас көбейтіндісі 0-ге тең. Бұл құйын өріс соленоидты дегенді білдіреді.

5. 
   rotrota
   
6. 
   
   

22. 
    Векторлық өрістердің негізгі кластардың кебір қасиеттері
    

2. Соленоидтық өріс.

Барлық нүктеде өріс дивергенция 0-ге тең болатын векторлық өріс соленоидты өріс деп аталады.Соленоидты өрістердің мысалдары: айналып жатқан қатты дененің сызықтық жылдамдықтарының өрісі бойымен электр тогы ағатын түзу сызықты өткізгішпен берілетін магнит өрісі және т.б. болып табылады.Соленоидты өрістің кейбір қасиеттерін келтірейік.

1. 
   Соленоидты өрісте әр бір тұйық бет арқылы өтетін а векторының ағыны 0-ге тең. Соленоидты өрістің көздері мен ағымдары жоқ.
   
2. 
   соленоидты өрістің қандай да бір векторлық өрісінің ротор өрісі болып табылады, яғни егер diva=0 болса, онда а=rotb болатын в өрісі болады.в векторы а өрісінің векторлық потенциалыдеп аталады. Осы қасиеттердің кез келген соленоидты өрісінің анықтамасы ретінде алуға болар еді.
   
3. 
   Соленоидты өрісте векторлық түтікшенің көлденең қимасы арқылы өтетін а векторының ағыны тұрақты мәнін сақтайды. Түтікшенің интенсивтілігі деп аталады.
   

2.Потенциалды өріс.

Егер өрістің барлық нүктесінде ротор 0-ге тең болса, онда а векторының өрісі потенциалды өріс деп аталады (немесе құйынсыз, градиентті өріс)Потенциалды өрістің мысалдары: нүктелік зарядтың кернеулігінің электр өрісі болып табылады.

Қасиеттері.

1. 
   Әр бір тұйық контур бойымен осы өрістегі а потенциалды өрісінің циркуляциясы 0-ге тең.
   
2. 
   а потенциалды өрістен басы М₁ және соңы М₂ нүктедегі әр бір Lқисығы бойымен қисық сызықты интеграл тек қана М_1, М₂ нүктелерінің орналасуына тәуелді және қисықтың формасына тәуелді емес.
   
3. 
   Потенциалды өріс қандай да бір скаляр функциясының градиент өрісі болып табылады, яғни егер rota=0болса, онда а=gradU болатындай функциясы болды.
   

3.Гармоникалық өріс.

Егер а векторлық өрісі бір уақытта потенциалды және соленоидты болса, онда ол гармоникалық өріс деп аталады. Гармоникалық өрісінің мысалы. Көздер мен ағымдар болмаған кезде сұйықтың стационар құйынсыз ағынының сызықтық жылдамдығының өрісі болып табылады. а өрісі потенциалды болғандықтан , оны а=gradU түрінде жазуға болады. Мұнда өріс потенциалы , бірақ өріс сонымен қатар соленоидты болғандықтан diva=divgradU=0

Яғни а гармоникалық өрісінің U потенциалдық функциясы Лапласының диф.теңдеудің шешуі болып табылады. Мұндай функция гармоникалық деп аталады.


<предыдущая страница