Векторлық және тензорлық анализ кеңістікпен уақытқа қатысты істелінетін физикалық есептерді шығару үшін қолданылатын математикалық құрал. Векторлық және тензорлық анализінің басты ұғымы кеңістіктің математикалық моделі болады.
1.Бос емес
жиынына сызықтық немесе векторлық кеңістік деп аталады,егер ол мына аксиомаларды қанағаттандырса:
І. Қосу аксиома – кез келген L жиынына жататын х,у элементтері үшін 
3ші элементі бір мәнді анықталған , ол х+у деп белгіленетін және мынандай ақиқат болатындай.: 1. х+у=y+x-коммутативтік қасиет
2. x+(y+z)=(x+y)+z ассоциативтік қасиеті
3. L жиынында бос элемент бар және кез келген 
4. кез келген L жиынын х элементіне 
Болатындай қарама – қарсы элементі болады.
ІІ. Санға көбейту аксиомасы кез келген альфа және 
үшін 
элементі анықталады және де 1. 
-
1*х=x -
-
Сызықтық кеңістіктер жиыны ішінен эвклидтік кеңістіктер Е- жиынтығы қосымшасына ең үлкен мән анықталған.
2. Сызықты кеңістіктер эвклидтік деп аталады , егер скалярлық көбейтіндісі берілсе.
3. Екі аргументтің х,у
нақты сандық функциясы (х,у)
скалярлық көбейтіндісі деп аталады, егер мына теңдіктер орындалса:
1. (х,у)=(y,x)
2. (x1+x2y)=(x1 y)+(x2 y)
3. (
x,y)=(x,y)
4. (x,x)
0, (x,x)=0 егер x=
Эвклидтік кеңістікті скалярлық көбейтіндісі бар сызықты кеңістік деп аталады. Сызықты кеңістіктің басқа түрі – сызықты мөлшерлі кеңістік.
4.L сызықтық кеңістігінде анықталған сандық функция //х// норма деп аталады, егер мына аксиомаларды қанағаттандырса:
1. //х//
және //х//=x=
2. //x+y//
3. //dx//=/d/*//x//
Эвклидтік кеңістікте Е норма скаляр көбейтіндісі негізінде мына формула көмегімен енгізіледі.
//х//
Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері норманың барлық аксиомалардың орындалуына кепілдік береді.
2. Арифметикалық кеңістік
Физикалық қосымша үшін ең маңыздысы п-өлшемді арифметикалық кеңістік Rn
5.n-өлшемді арифмитикалық кеңістіктің Rn элементтеріне n нақты сандардың реттелген тізбектері жатады.
ол Rn кеңістігінің элементінің компоненті. Rn элементтер қосындысын әр компоненттік қосынды ережесімен анықталады.
(1)
Rn элементін санға көбейту.
(2)
Rn кеңістігінде скаляр көбейтінді.
(3)
П-мөлшерлі арифметикалық кеңістіктің элементтерін п өлшемді декарттық координаталар жүйесі деп нүктелердің радиус векторлары ретінде геометриялық түрден қарастыруға болады. Біз тұрып жатқан үш өлшемді кеңістіктің радиус векторларымен көрсетілген R3 кеңістігі ерекше көрнекті . Функцияның әр түрлі белгілеулері орындалады. Жалпы жағдайда функцияның f(M) деп жазады. Мұндағы М –кеңістіктің нүктелерін бейнелейді. Егер кеңістікте 0 нүктесінің центрі берілсе, онда f функциясын аргументін радиус векторы деп алады және функцияны мына түрде жазады.
Егер кеңістікте кейбір координаталар жүйесі берілсе , онда f=f(x,y,z)
3. Векторлық функциялар.
1 анықтама.
функцияны бір айнымалы векторлық функция деп аталады және былай белгіленеді:
Бір аргументті векторлық функцияның геометриялық бейнесі координаталар уақытқа байланысты өзгеретін қозғалыс материалдық нүктенің радиус векторы болып саналады. Физикалық қосымшасында үш өлшемді кеңістіктерде нүктеден нүктеге өзгеретін векторлық толқындарымен және өрістермен жиі жұмыс жасайды. (Мысалы, электромагниттік толқындар, күш өрістері)Осындай өрістердің математикалық моделдер тобы көп айнымалы функция векторы көрсетілді.
2 анықтама.
функцияны көп айнымалы векторлық функция деп аталады және
деп белгіленеді.
Fj(x)= fj(x1,x2,…..xn) j=1,2,…,n
Кейде векторлық функцияларды векторлық өрістер деп аталады, егер n=1 болса, онда функция векторларды скалярлық функциялар немесе скалярлық өрістер деп аталады. Скалярлық өріс мысалы деп, қоршаған атмосфераның температуралар өрісін қарастыруға болады.
4. Векторлық функциялардың шегі
Анықтама 1.(Коши бойынша)
f: (
Rk)
Rn
- 
жиынының Rn кеңістігіне кескіндейтін функция болсын және х0 амега жиынының шекті нүктесі. Rn кеңістігінде жататын 
векторын 
функциясының шегі деп аталады, егер 
ң шегі болады, егер әрбір 
, сондай 
болса, онда әрбір х
жататын,0
//х-х0//Rk 
осы шартты қанағаттандырса // f(х)-А//
осы теңсіздігі орындалады.
Кез келген 
, кез келген х
, 0
//
//Rn 
Теорема 1.
: (Rk)Rn
: (Rk)Rn
: (Rk)R
Осы үш функция екі векторлық және бір скалярлық Rk жиынында анықталған функциялар болсын. Х0 – сол жиынның шекті функциясы және
болсын.
Сонда
Дәлелдеу.
болсын, С-тұрақты
Сонда 
Скалярлық көбейтіндіден басқа физикалық қосымшасында үшөлшемді векторлардың векторлық көбейтіндісі жиі кездеседі
– ортонормаланған базистік декарттық координаталар жүйесі берілсін. Яғни, екі векторлық өріс: f: RkR3
g: RkR3
Нормаланған базис бойынша векторларға бөліктеу түрінде жазамыз.
f(х) = f1(х)i+ f2(х)j+ f3(х)k
g(х) = g1(х)i+ g2(х)j+ g3(х)k
Векторлық көбейтіндісі деп мына ереже бойынша түзілген векторлық өріс деп атайды.
Математикалық және физикалық дәстүрлері бойынша векторлық көбейтіндісінің келесі белгілеулерінің тепе-тең деп есептейміз.
Теорема 2.
Егер : (Rk)R3 А R3
: (Rk)R3 ВR3
х0 - жиынының шекті нүктесі. Сондықтан
5. Векторлық функцияның үздіксіздігі
: (Rk)Rn жиынының х0 нүктесінде үздіксіздік деп аталады,егер кез келген болса, кез келген х
; //f(х) - f0(х)//Rn
Егер де х0 жиынының шекті нүктесі болса, онда үздіксіздік анықтамасы былай болады.
Изоляцияланған нүктелерде кез келген функция үзіліссіз болады.
6. Векторлық функция бір айнымалы арқылы дифференциалдау
Функцияның дифференциалдану түсінігінің туындысының түсінігі тығыз байланысқан.
Анықтама 1.
Х0
(а,в) нүктесінде : (а,в)Rn векторлық функциясын f(х0) туындысын шек деп аталады.
= 
(1) Функцияның дифференциалдау мен туындысының байланысты 1 теорема орнатады.
Теорема 1.
Егер : (а,в)Rn функциясы Х0(а,в) нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оның f(х0) туындысы болатын, ал функцияның дифференциалы болатын
d (х0)= (х0)dx (2)
Дәлелдеу.
2 теорема бойынша 
{ 
=fj(х0) (j=1,2,…n)
Осыдан шығатын 3 теңдік дұрыс.
Теорема 2.
f(х) функциясы Х0(а,в) дифференциясын және векторлық функцияның компоненттері берілген.
(х)={ f1(х), … fn(х)} оның туындысы
(х)={ f/ 1(х), … f/ n(х)}
Теорема 3.
Егер
: (а,в)Rn
: (а,в)Rn
: (а,в)R
функциялары Х0(а,в) нүктесінде дифференциалданатын болса, онда
(h)/ (x0)= h/(x0)
(x0)+ : (x0) / (x0)
(
)/ (x0)= /(x0)
(x0)+ (x0)/ (x0)
7. Кеңістіктегі қисықтар.
Бір аргументті векторлық функцияның туындысының түсінікті геометриялық мағынасы болады.
Анықтама 1.
: (Rk)R3
f(х) векторының R3 кеңістіктің тіркелген 0 нүктесіне қоямыз.
f(х); х вектор соңындар жиынын f(х)векторлық функциясын гадографы деп атаймыз.
Берілген годограф жалпы анықтамасында берілген функцияға қосымша шарттарын қосу қажет.
Анықтама 2.
: (а,в)R3 үзіліссіз векторлық функция гадографы бағдарланған С қисықты айтайық. Ал f функциясын С қисықтық векторлық тапсырмасы немесе осы қисықтың параметрлерін айтайық.
Айталық, қисықты айналу бағыты бағдарланған деп айту себебіміз анықтамада қисықтың айналу бағыты берілген және ол f функциясын х аргументінің өсуіне сәйкес келеді.
Егер f функциясы дифференциалдық болса, онда қисықтың дифференциалдау нүктелерінде жанамасы болады.
Теорема.
Бағдарланған қиық мынандай векторлық теңдеумен берілсін. 
= (
), а
хв және f(х) функциясы Х0(а,в) нүктесінде дифференциалдансын.Онда /= f/(х) векторы қисықты х = х0 аргументінің мәні анықталатын және х аргументінің өсу жағына бағытталған нүктеде жанайды.
8. Жанама, нормаль, жанама жазықтық.
1) жанама теңдеуі
=
=
Мұндағы (t) (f1(t) f2(t) f3(t)) векторлық функциялар.
Берілген нүктелердегі жанаманың теңдеуі 
= f(t) + f/(t)
2) көрсетілген нүктелердегі жазық қисықтың нормалі деп түзу берілген жазықтықта
орналасқан түзуді айтамыз.Ол О нүктесі арқылы өтеді және жанамаға перпендикуляр.
(t) +
- нормаль теңдеуі.
следующая страница>