1. Точки А, В и С делят окружность на дуги, угловые величины которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника.
2. Разложите на множители многочлен 
.
3. Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?
4. Докажите неравенство 
.
5. 10 человек пришли в гости в калошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару калош, в которую он смог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственный). Какое наибольшее число людей не смогло надеть калоши?
2 тур
1. Площадь трапеции, основания которой относятся как 3:2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.
2. Решить в целых числах уравнение
.
3. Стороны треугольника 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.
4. Какое из чисел больше: 
или 
?
5. Встречаются два математика. Один из них говорит: «У меня есть три сына и произведение их возрастов равно 36. Сколько им лет?» Второй математик не смог ответить на этот вопрос. Тогда первый сказал, что сумма возрастов его сыновей равна числу окон в доме напротив. И снова второй математик не смог ответить. Тогда первый сказал, что его старший сын рыжий. Тут второй математик сразу все понял. Сколько лет сыновьям первого математика?
1 тур
1. Точки А, В и С делят окружность на дуги, угловые величины которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника.
Ответ: 30°, 60°, 90°.
2. Разложите на множители многочлен .
Решение: = 
= 
= 
3. Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?
Решение: 1974 делится на 2, но не делится на 4, в то время как если разность 
четна, то четны и 
и 
, следовательно, делится на 4.
Ответ. Нельзя.
4. Докажите неравенство .
5. 10 человек пришли в гости в калошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару калош, в которую он смог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственный). Какое наибольшее число людей не смогло надеть калоши?
Ответ. 5 человек.
Решение: Если есть 6 человек, то хотя бы для одного остались его собственные калоши. Пример, когда 5 человек не смогли надеть калоши, очевиден.
2 тур
1. Площадь трапеции, основания которой относятся как 3:2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.
Ответ. 21 и 14.
2. Решить в целых числах уравнение .
Ответ. (0; 0); (1: 1).
Решение: 
; 
.
3. Стороны треугольника 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.
Ответ. 9,5
Решение: Пусть АВС данный треугольник, АВ=11, ВС=12, АС=13, ВМ – искомая медиана. ИЗ треугольников АВМ и ВСМ выразим косинусы углов ВМА и ВМС. Так как косинусы смежных углов противоположны, то получим уравнение, из которого находим ВМ.
4. Какое из чисел больше: или ?
Ответ.
Решение: 
.
5. Встречаются два математика. Один из них говорит: «У меня есть три сына и произведение их возрастов равно 36. Сколько им лет?» Второй математик не смог ответить на этот вопрос. Тогда первый сказал, что сумма возрастов его сыновей равна числу окон в доме напротив. И снова второй математик не смог ответить. Тогда первый сказал, что его старший сын рыжий. Тут второй математик сразу все понял. Сколько лет сыновьям первого математика?
Ответ. 2, 2, 9.
Решение: 2, 2, 9. После второго ответа подходят лишь варианты 2, 2, 9 и 6, 6, 1.