10 баллов Написать наименьшее четное пятизначное число, кратное 9 и не содержащее одинаковых цифр

(10 баллов) Написать наименьшее четное пятизначное число, кратное 9 и не содержащее одинаковых цифр.

Ответ: 10278.

(10 баллов) Найти остаток от деления на 15 числа 1111…1, записанного двумястами единицами.

Ответ: Прибавив к данному числу 4, мы получим число 111... 15, оканчивающееся на 5 и имеющее сумму цифр, равную 204. Такое число делится на 5 и на 3, т.е. оно делится на 15. Следовательно, остаток от деления числа 111...1 (200 ед.) на 15 равен 15-4=11.

( 20 баллов) Восстановите запись:

		х	*	2	*	3
		х			*	*
+		*	*	*	8	7
+	*	*	*	*	*
	2	*	0	0	4	*

Ответ: 7243*29=210047

(20 баллов) В ящике лежат 80 шаров, отличающихся лишь цветом: 30 белых, 20 красных, 15 синих, 10 зеленых, а остальные – желтые. Мальчик, не глядя на шары, извлекает их из ящика. Какое наименьшее число шаров надо взять, чтобы среди них наверняка оказалось не менее 10 шаров одного цвета?

Ответ: Может случиться, что мальчик извлечет по 9 шаров белого, красного, синего и зеленого цвета, а также все 5 желтых шаров. Вместе это составит 41 шар, среди которых не будет десяти шаров одинакового цвета. Но если мальчик извлечет 42 шара, то среди них обязательно найдутся 10 шаров одинакового цвета.

(20 баллов) Двое по очереди ломают плитку шоколада 7*8. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков по углублению. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет и каким образом?

Ответ: Максимальное количество кусков, на которое можно разделить данную плитку шоколада – 56. Это осуществляется за 55 разломов. Значит, независимо от того, как будет разламываться шоколадка, последний разлом сделает первый игрок.

(20 баллов) Для двух натуральных чисел А и В вычислили их сумму С и произведение D. Затем для чисел C и D нашли их сумму E и произведение F. Из чисел E и F одно оказалось нечетным. Какое именно и почему?

Ответ:

Первый способ. Пусть F = C × D является нечетным числом, а E = C + D – четным. Тогда, числа C и D – оба нечетные. Но из того, что D = A × B, следует, что оба числа А и В являются нечетными, а из того, что С = A + B, следует, что числа А и В имеют разную четность, то есть получается противоречие. Если же предположить, что F – четно, а Е – нечетно, то получим, что числа C и D имеют разную четность, что возможно в случае, если числа А и В, в свою очередь, имеют разную четность.

Второй способ. 1) Если числа А и В имеют разную четность, то их сумма С является нечетным числом, а произведение D – четным. Тогда, Е – нечетное число, а F – четное. 2) Если числа А и В одновременно четные, то числа C и D также являются четными, а значит, и числа E и F одновременно четные, что противоречит условию. 3) Если числа А и В одновременно нечетные, то число C – четное, а число D – нечетное, значит, E – нечетное, а F – четное. Следовательно, Е – нечетное число.