Файл: FERMA-PASKAL

© Н. М. Козий, 2010

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ (1)

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.

Рассмотрим случай, когда n –нечетное число.

По условию Великой теорема Ферма числа A, B, C взаимно простые. В этом случае одно из чисел А или В четное, а другое нечетное. Пусть A- четное число, а В – нечетное число. Число C всегда нечетное.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

Аⁿ = Сⁿ - Вⁿ (2)

Очевидно, что C >B. Выразим число C через число В:

C= B + N, (3)

где N – четное число.

Тогда из уравнения (2) следует:

Аⁿ = Сⁿ -Вⁿ = (B + N)ⁿ - Вⁿ =

=Bⁿ + K₁B^n-1N + K₂B^n-2N² + ·∙· + K₂B²N^n-2 + K₁BN^n-1 + Nⁿ - Bⁿ =

=N[K₁B^n-1 + K₂B^n-2N + ·∙· + K₂B²N^n-3 + K₁BN^n-2 + N^n-1], (4)

где K₁, K₂ …- биномиальные коэффициенты, определяемые из так называемого «треугольника Паскаля» в зависимости от значения показателя степени бинома Ньютона.

Из анализа суммы слагаемых в квадратных скобках в уравнении (4) следует, что все слагаемые, кроме слагаемого K₁B^n-1, кратны четному числу N, поэтому они четные числа. Из анализа «треугольника Паскаля» следует, что биномиальный коэффициент K₁ для нечетных показателей степени бинома Ньютона всегда нечетное число. Так как B также нечетное число, то слагаемое K₁B^n-1 нечетное число. Следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках в уравнении (4) нечетное число. Не зависимо от того, является или не является эта сумма нечетным числом в степени n, если четное число N не равно числу в степени n, .т е. N ≠ Zⁿ, то - дробное число и, следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для нечетных показателей степени n. Вывод справедлив и для случая, когда N ≠ 2^pnX, где X- нечетное число, p – любое число.

Числа B и C могут быть равны: B=b^2k, C=c^2m, где k, m – простые или составные, четные или нечетные числа. Поэтому приведенное доказательство Великой теоремы Ферма справедливо и для четных показателей.

Следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.

ПРИМЕЧАНИЕ: если Великая теорема Ферма и имеет решения в натуральных числах, то при условии, что N = Zⁿ или N = 2^pnX.
Автор Козий Николай Михайлович,

инженер-механик

E-mail: [email protected]