78. Четыре друга получают в кассе четыре железнодорожных билета со своими фамилиями. Кассир кладет билеты на стойку вперемешку, и друзья разбирают билеты наугад. Найдите вероятность того, что хотя бы один из друзей сразу получил свой билет.
115. Вычислите: .

116. Вычислите: ,

где – число ряда Фибоначчи

117. Найдите сумму: .

126. Перед началом футбольного мат­ча капитаны команд с помощью жребия (судья бросает монету) выясняют, какая команда первая владеет мячом. В этом году намечается две одинаковые серии по пять товарищеских матчей между командой «Ротор» и командой «Статор». Найдите вероятность того и в этом году капитан «Ротора» столько же раз выиграет жеребьевку, сколько и в прошлом.

127. Чтобы быстрее давать сдачу, кассир заранее собирает столбики из рублевых монет по 10 монет в каждом. Найдите вероятность того, что в двух разных столбиках одинаковое число монет лежит орлом вверх.

128. По доске Гальтона вниз из верхней точки падают два шарика. Найдите вероятность того, что они оба упадут в одну и ту же ячейку.


138. Круговая мишень представляет собой маленький кружок «яблочко» радиусом 1 см и два концентрических кольца, шириной 1 см каждое, изображенные на квадратном листе бумаги со стороной 20 см (см.рис.). Стрелок выстрелил с большого расстояния без прицела и попал в лист. Какова вероятность того, что он попал в красную зону мишени?



139. Дано квадратное уравнение , где числа и принимают случайные значения из отрезка . Найдите вероятность того, что это уравнение имеет действительные корни.

140. Два товарища договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Каждый может прийти в любой момент времени случайно на протяжении этого часа и независимо от другого. Каждый, придя, ждет другого 20 минут, после чего уходит, если не дождался. Какова вероятность того, что встреча состоится?

141. На заре авиации стрельба из пулемета осуществлялась через винт самолета, причем не было механизма синхронизации. То есть пуля могла попасть в собственный винт. Чтобы винт не пострадал, на него устанавливали стальную накладку. Винт имеет две лопасти. Ширина каждой лопасти 30 см; пуля летит параллельно оси вращения винта на расстоянии 80 см от нее. Найдите вероятность попадания пули в винт.

142. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что из 10 выпущенных пуль в собственный винт попадут 1–2 пули. В качестве вероятности попадания одной пули используйте ответ предыдущей задачи, округленный до тысячных. Ответ дайте также с точностью до тысячных.

143. На отрезке наугад и независимо друг от друга отмечают две точки и . Вычислите вероятность того, что .

144. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что .

145. Стержень разломан в двух наугад выбранных точках. Какова вероятность того, что из обломков можно составить треугольник?

146. Праправнук Жоржа Леклерка Бюффона нашел прапрадедушкину иглу длиной см и, широко размахнувшись, не глядя, бросил ее на пол большой кухни, замощенной прямоугольными плитками 30х30 см (см. рис.). Какова вероятность того, что игла пересекла хотя бы одну границу между двумя соседними плитками?



147. Пилот ВВС Ее Величества Лесли Уолш перед уходом на пенсию решил сбросить бомбу на огород своей тещи. Огород – квадрат со стороной 40 м. Область поражения имеет форму овала с ожидаемой протяженностью контура м. Определите, какую площадь имеет приведенная цель в боевой задаче пилота Уолша.

148. Пластина, имеющая форму прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см, падает плашмя на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 20 см. Найдите вероятность того, что, упав на плоскость, пластина заденет одну из прямых.

149. Четырехлучевая звезда (см.рис), падает плашмя на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 20. Найдите вероятность того, что, упав на плоскость, звезда заденет одну из прямых.



150. Квадрат со стороной 8 см, вращаясь в своей плоскости, плашмя падает на прямоугольную решетку из тонкой проволоки с ячейкой 20 на 16 см. Найдите вероятность того, что квадрат провалится, не задев прутья решетки.

151. Из всех неотрицательных решений уравнения случайным образом выбирается одно. Какова вероятность того, что для этого решения выполняется условие ?

152. Из всех неотрицательных решений уравнения случайным образом выбирается одно. Какова вероятность того, что для этого решения выполняется условие при всех ?

153. Вася сломал стержень в случайном месте. Одну из двух частей, выбранную также наугад, он протянул Пете, который моментально сломал ее, и тоже в случайной точке. Какова вероятность, что полученные три куска стержня могут служить сторонами треугольника?

161. Вероятность того, что ежедневный рейс автобуса не будет отменен, ничто не помешает, и автобус благополучно доедет до деревни Дальняя, равна 0,6. Если в какой–то день автобус не приходит, то жители Дальней ждут завтрашнего рейса, который состоится или не состоится независимо от событий предыдущих дней. 31 марта автобус не пришел. Мы в деревне Дальней. Сейчас раннее утро. Начинаем ждать автобус. Найдите математическое ожидание количества дней ожидания (днем ожидания считаются полные сутки).

180. На первом этаже 19–этажного дома в лифт вошли 10 человек. Мы считаем, что каждый из них может выйти на любом этаже с равными шансами, независимо от других. Сколько из них в среднем (ожидание) выйдет на 8–м этаже?

181. В деревню Дальнюю (см. задачу 58) все же пришел автобус. 24 человека хотят на нем уехать, но каждый из них может опоздать на автобус независимо от других с вероятностью 0,2. Найдите ожидаемое число пассажиров автобуса.

182. При выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7. Ему разрешается стрелять до трех промахов. Найдите ожидаемое число израсходованных патронов?

183. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что стрелок израсходует ровно 8 патронов.

184. Пусть – число решек, а – число орлов при 6 бросаниях монеты. Найдите .

185. Каково математическое ожидание числа бросков монеты, пока последовательно не выпадет ОР (орел–решка)?

186. Игральную кость подбрасывают шесть раз. Случайная величина () равна 0, если цифра не выпала ни разу и 1, если цифра выпала хоть раз. Составьте распределение для величины и найдите . В ответ запишите полученное значение .

187. На новогодней елке погасла гирлянда, состоящая из 15 лампочек: перегорела одна из лампочек. Для отыскания перегоревшей проверяются по очереди все лампочки.

Найдите математическое ожидание числа лампочек, которые придется проверить?

188. Игральную кость подбрасывают шесть раз. Найдите ожидание числа различных выпавших цифр.

189. 10 девочек и 11 мальчиков построились в одну шеренгу на уроке физкультуры в случайном порядке. Найдите ожидание числа девочек, стоящих левее всех мальчиков?

190. Вероятность неверного соединения в сотовой сети 0,0023. С помощью подходящей аппроксимации нужно оценить вероятность того, что на 100 тыс. звонков приходится не более 240 ошибочных соединений.

Какая аппроксимация биномиального распределения лучше должна подойти для оценки вероятности в этой задаче?

1. 
   Пуассона.
   
2. 
   Нормальная по локальной теореме Муавра?
   
3. 
   Нормальная по интегральной теореме Муавра–Лапласа?
   

194. Отец Федор играет в шестьдесят шесть (старая карточная игра) с царицей Тамарой. Вероятность выигрыша царицы в одной партии 0,53. Следует оценить вероятность того, что в 100 тыс. партий царица выиграет не менее 52800 раз.

Какая аппроксимация биномиального распределения должна лучше подойти для оценки вероятности в этой задаче?

1. 
   Пуассона.
   
2. 
   Нормальная по локальной теореме Муавра?
   
3. 
   Нормальная по интегральной теореме Муавра–Лапласа?
   

200. В условиях задачи 2 найдите ожидаемый выигрыш Сильвера и Аткинса, если в одной кучке 70 дублонов. В ответ запишите ожидание выигрыша Сильвера в золотых дублонах.

201. На сколько равных кучек следовало бы разделить найденное сокровище, чтобы дележ стал справедливым?

202. Правила дележа дублонов изменились. Теперь Сильвер бросает две кости и забирает столько кучек, сколько выпало в сумме. На сколько равных частей теперь следует разделить найденный клад, чтобы дележ оказался справедливой игрой?

203. Вероятность того, что в стране Оз выдастся теплый денек, равна . Найдите стандартное отклонение случайной величины "Число теплых деньков в стране Оз в течение года".

204. Пусть трудность задачи – вероятность того, что учащийся ее не решит. Составитель контрольного теста размышляет, какие задачки включить в тест. Возможны две стратегии составления теста:

1. Все задачи средние по трудности ();

2. Половина задач простых с и половина – сложных с .

Найдите математическое ожидание случайной величины «Процент решенных задач теста» для первой стратегии. В ответе укажите число процентов.

205. В условиях предыдущей задачи найдите математическое ожидание случайной величины «Процент решенных задач теста» для второй стратегии.

206. В условиях задачи 7 найдите стандартное отклонение случайной величины «Процент решенных задач теста» для первой стратегии, если тест состоит из 16 задач.

207. В условиях задачи 7 найдите стандартное отклонение случайной величины «Процент решенных задач теста» для второй стратегии, если тест состоит из 16 задач.

208. Какую из двух стратегий составления теста следует выбрать, если составитель хочет получить как можно меньшую ожидаемую ошибку при оценке подготовки среднего ученика с помощью этого теста?

1. 
   Первую – все задачи средней трудности.
   
2. 
   Вторую – половина задач легких, половина сложных.
   
3. 
   Безразлично.