2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Электромагнитное поле можно рассматривать как особую форму материи, представляющую собой взаимосвязанные электрическое и магнитное поля. Электромагнитное поле осуществляет взаимодействие между зарядами и образует с ними единую систему. В разных случаях электромагнитное поле проявляет себя по-разному. Если оно воздействует на неподвижные электрические заряды, то проявляется одна его сторона - электрическое поле. Если электромагнитное поле воздействует на движущиеся заряды, то проявляются обе его стороны - и электрическое, и магнитное поля. Если электромагнитное поле создано движущимися зарядами, то неподвижный наблюдатель обнаружит и электрическое, и магнитное поля, а наблюдатель, движущийся с зарядами, обнаружит только электрическое поле.

Электромагнитное поле представляет собой сложный физический объект. Электрические заряды и токи создают вокруг себя связан­ное с ними электромагнитное поле, поэтому в целом электромагнитное поле вместе с зарядами образует единую материальную систему, характеризующуюся следующими физическими величинами:

1. Электрические заряды Q.

2. Электрические токи J .

3. Векторы поля:

вектор напряженности электрического поля ;

вектор напряженности магнитного поля ;

вектор электрической индукции ;

вектор магнитной индукции .

Все эти шесть величин распределены в общем случае в пространстве и зависят от времени и, таким образом, являются функциями трех координат и времени . Они связаны между собой определенными соотношениями, которые описывают законы электромагнитного поля.

2.1. Характеристики электромагнитного поля

2.1.1. Электрические заряды

Наименьшим элементарным электрическим зарядом является электрон. Его заряд отрицателен и имеет величину q = -1,610^-19 Кл. Кроме электрона существуют положительно заряженные частицы, такие как протоны и позитроны. В макроскопической теории электро­магнитного поля не рассматриваются отдельные электроны, а изуча­ется их совокупность как непрерывное распределение заряженных частиц. При таком подходе будем считать, что даже в элементарно малом объеме dV имеется достаточно много элементарных частиц и что поэтому справедлив макроскопический подход.

Электрически заряженным телом или объемом V называется тело или объем, обладающий избытком отрицательных или положительных частиц.

Реальные электрические заряды всегда занимают некоторый объем , поэтому, строго говоря, заряды имеют объемное распределение. Однако практически мы часто встречаемся с распределением зарядов в очень тонком слое, например, на поверхности проводника ; или с зарядами, распределенными вдоль тонкой нити или линии ; или с зарядами, сосредоточенными в очень малом объеме.

В этих случаях распределение зарядов идеализируется и возникают понятия поверхностного, линейного и точечного распределения зарядов.

При объемном распределении зарядов считают, что заряды распределены в некотором объеме V (рис. 2.1 а). Примером объемного распределения зарядов может служить пучок электронов в электронно-лучевой трубке, пространственный заряд в вакуумной лампе, ионосфера.

a б в

Рис. 2.1. Виды распределения зарядов:

а – объемное; б - поверхностное; в – линейное
В случае поверхностного распределения зарядов идеализированно считают, что заряды сосредоточены в бесконечно тонком слое на поверхности S (рис.2.1 б). Примером такого распределения может служить распределение зарядов на поверхности проводника.

При линейном распределении зарядов считают, что заряды распределены вдоль бесконечно тонкой нити. Примером такого распределе­ния является тонкая заряженная нить (рис. 2.1 в).

Распределения зарядов по объему или по поверхности характеризуются соответственно объемной или поверхностной плотностью зарядов (табл.2.1). Линейное распределение зарядов характеризуется линейной плотностью зарядов .
Таблица 2.1

Виды распределения зарядов

Виды распределения зарядов	Плотность зарядов	Размерность	Полный заряд
Объемное распределение зарядов			Cосредоточенный в объеме V
Поверхностное распределение зарядов			Cосредоточен­ный на поверх­ности S
Линейное распределение зарядов			Полный заряд нити

При точечном распределении зарядов считают, что заряды конечной величины сосредоточены в математических точках нулевого объема, нулевой поверхности и нулевой длины.

Полный заряд системы точечных зарядов равен их сумме:

где N - число точечных зарядов.
2.1.2. Электрические токи

Электрическим током называются любые движущиеся заряды. В теории электрических цепей в качестве количественной характеристики электрического тока обычно используется понятие силы тока.

Сила тока – это количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за единицу времени:

.

Если ток меняется во времени, то в этом случае сила тока - это предел отношения количества электричества , протекшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени , к этому промежутку при стремлении его к нулю:

(2.4)
В общем случае, когда токи текут не по тонким проводам, приведенное определение силы тока становится недостаточным и используют понятия элемента электрического тока и плотности тока. Произведение величины элемента заряда dQ на скорость его движения называется элементом тока (или электрическим импульсом) :
. (2.5)
Векторы элементов тока позволяют охарактеризовать поле токов и по величине, и по направлению в каждой отдельной точке. В общем случае токи протекают по некоторому объему. Однако, идеали­зируя, так же как и в случае зарядов, можно выделить кроме объемного поверхностное и линейное распределения токов.
При объемном распределении дается более общее определение силы тока: это количество электричества, протекающее за единицу времени через некоторую поверхность S.
В случае поверхностного распределения токов считают, что, если ток течёт в очень тонком поверхностном слое проводника, как это бывает на СВЧ, то идеализированно можно считать толщину этого слоя бесконечно малой.
Линейный ток практически имеет место в очень тонких проводниках, когда идеализированно можно считать, что ток течет по беско­нечно тонкой нити.

Для характеристики распределения тока по объему и поверхности вводятся понятия объемной и поверхностной плотности тока (табл.2.2). Линейный ток характеризуется линейной плотностью тока .

Таблица 2.2

Виды распределения токов

Виды распределения тока	Плотность тока	Размерность
Объемная плотность тока	(2.6)
Поверхностная плотность тока	(2.7)
Линейная плотность тока	(2.8)	A

2.1.3. Собственные векторы электромагнитного поля и

электромагнитные параметры cреды

Электрическое поле представляет собой особый вид материи, отличный от вещества и проявляющийся в виде механической силы, с которой поле действует на внесенный в него неподвижный электрический заряд. Количественная характеристика электрического поля определяется законом Кулона. Этот закон устанавливает силу взаимодействия между точечными зарядами, находящимися в однородной среде:


где – сила, действующая со стороны заряда dq₁ на заряд dq₂ ;
dq₁ и dq₂ – элементарные точечные заряды;

– единичный вектор (радиус-вектор), направленный от первого заряда ко второму;

r – расстояние между зарядами;

– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.

Величину можно представить в следующем виде:

,
здесь – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, а – относительная, диэлектрическая проницаемость среды.

В системе СИ

,
где с – скорость света в вакууме.
Относительная диэлектрическая проницаемость среды
.
Это безразмерный коэффициент, зависящий от среды и показывающий, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме. Выделим из закона Кулона множитель, зависящий от величины первого заряда, расстояния до него и среды:
.

Вектор называется вектором напряженности электрического поля. В нашем случае мы пишем , так как поле создано эле­ментарным зарядом. Это поле действует на второй заряд с силой

,

откуда следует, что

. (2.9)
Таким образом, напряженность электрического поля равна силе, с которой действует это поле на единичный положительный точечный заряд.

Из последней формулы для напряженности поля элементарного заряда видно, что в каждой точке пространства вектор поля элементарного заряда направлен вдоль радиуса, проведенного в данную точку от заряда, а по величине он обратно пропорционален квадрату расстояния.

Для графического изображения поля используют силовые линии, касательные в каждой точке к вектору (рис.2.2). Густота силовых линий пропорциональна величине напряженности поля. Силовые линии электрического поля начинаются на заряде, который является источником силовых линий. Эти линии претерпевают разрыв в тех точках, где есть заряды. Линии расходятся от положительного заряда (исток) и сходятся к отрицательному (сток).

Риc. 2.2. Поля элементарных зарядов

Магнитное поле - представляет собой особый вид материи, отличный от вещества и проявляющийся в виде механической силы, с которой поле действует на внесённый в него электрический ток или постоянный магнит. Оно является векторным. Сходство в воздействии магнитного поля на электрический ток и постоянный магнит вызвано тем, что постоянный магнит представляет собой систему молекулярных токов, текущих в намагниченной среде.

Количественная характеристика магнитного поля описывается законом Ампера. Этот закон определяет силу взаимодействия между элементами тока, находящимися в однородной среде,

,
где - сила, действующая со стороны элемента тока на элемент тока ;

- абсолютная магнитная проницаемость среды;

- абсолютная магнитная проницаемость вакуума.

В системе СИ

.

Относительная магнитная проницаемость среды определяется выражением

.
Это безразмерный коэффициент, зависящий от среды. Он показывает, во сколько раз сила взаимодействия между токами в данной среде больше, чем в вакууме.

Выделим из закона Ампера множитель, определяющий поле, созда­ваемое первым элементом тока, и зависящий от величины элемента тока, расстояния и среды:

. (2.10)
Полученное выражение носит название формулы Био-Савара. Вектор называется вектором магнитной индукции. В нашем случае мы пишем , так как поле создано элементом тока. Это поле действует на второй элемент тока с силой

,

отсюда

. (2.11)
Из последнего выражения видно, что вектор перпендикулярен всюду плоскости, проведенной через направление тока и радиус-вектор , т.е. что вектор направлен по касательной к окружностям, осью которых является линия, проведенная через направление элемента тока. Направление вектора определяется правилом винта (рис.2.3). Силовые линии магнитного поля замкнутые. Истоков, в отличие от электрического поля, нет.

Рис. 2.3. Поле элемента тока

Для определения полей, созданных системой произвольно рас­пределенных зарядов или токов, используется принцип наложения (суперпозиции). Согласно этому принципу поле системы элементарных зарядов или токов равно векторной сумме элементарных полей каждого зaрядa или тока:

В этих формулах dq и – заряды или элементы тока, заключенные в элементарно малом объеме, поверхности или длине. Ввиду малости объема эти заряды можно считать точечными. Величины r и в процессе интегрирования являются переменными, а интегрирование выполняется по всему пространству, где есть заряды или токи, создающие поле. Принцип наложения применим только к векторам поля и непригоден для непосредственного определения энергии суммарного поля.

Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля зависят от параметров среды и . Это объясняется тем, что в среде под действием внешнего поля возникают заряды или токи, соответствующие определенной ориентации частиц. Эти заряды или токи называются связанными, потому что они не могут быть отделены от среды. Под связанными понимаются электрические заряды, входящие в состав вещества и удерживающиеся в определенных положениях внутримолекулярными силами. Такие заряды «связаны» с веществом, неотделимы от него. Эти заряды или токи создают собственное поле, которое складывается с внешним полем. Поэтому суммарное поле в среде отли­чается от поля в вакууме.

Для анализа и расчетов удобно ввести такие векторы поля, которые бы не зависели от параметров среды . С этой целью вводятся :

1) вектор индукции электрического поля

; (2.12)

2) вектор напряженности магнитного поля

. (2.13)

Из формулы (2.9) получим выражение для индукции поля элементар­ного заряда

.
Из формулы (2.11) следует выражение для напряженности магнитного поля

Из приведенных выражений следует, что векторы и не зависят от свойств среды и определяются только свободными зарядами и токами. Свободными называют заряды, которые под воздействием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами.

Векторы и определяются и свободными, и связанными заря­дами и токами, поэтому совокупность всех четырех векторов поля (,,,) позволяет учитывать собственное поле среды.

Обычно вещество само по себе не создает наблюдаемого поля (одно из хорошо известных исключений – постоянные магниты). Это объясняется уравновешенностью внутренних процессов в веществе на макроскопическом уровне. В частности, нейтрализованы положительные и отрицательные заряды. Однако под действием внешнего (постороннего) поля на эти заряды взаимная компенсация их полей в той или иной степени нарушается. Можно утверждать, что во внешнем электрическом поле происходит некоторая деформация, а также переориентация атомов и молекул, заряды которых продолжают оставаться связанными в прежней структуре вещества. В результате отклонений зарядов, однако, появляется нескомпенсированное внутреннее поле, которое, налагаясь на внешнее, заметно изменяет его. Это называется поляризацией среды. Аналогичный процесс, связанный с магнитным полем, называется намагничиванием.

Пусть некоторое электромагнитное поле в вакууме характеризуется напряженностями ,. При этом


Здесь добавлены нижние индексы, чтобы подчеркнуть, что имеются в виду индукции в вакууме.

Если то же поле , существует в некоторой среде, то индукции будут иными:

Приращения и будем называть поляризованностью (электрической поляризацией) и соответственно намагниченностью (магнитной поляризацией). Процессы поляризации и намагничивания среды выступают как независимые, т.е. первый связан только с электрическим полем, а второй с магнитным:


Этим соотношениям можно придать простую форму:

где безразмерные коэффициенты – это так называемые электрическая и магнитная восприимчивости среды. Они выражают «меру отклика» среды на прилагаемое внешнее поле. Восприимчивости связаны простыми соотношениями с относительными проницаемостями:

Из последних соотношений следует, что относительная магнитная (диэлектрическая) проницаемость вещества равна сумме относительной магнитной (диэлектрической) проницаемости вакуума и магнитной (электрической) восприимчивости вещества.
В зависимости от величины среды различают следующим образом:

1. Вакуум. Намагниченность отсутствует , и, следовательно, и .

2. Диамагнитные вещества, . Эти вещества под воздействием внешнего магнитного поля намагничиваются в направлении, обратном этому полю. Его молекулы приобретают магнитные свойства только под влиянием внешнего магнитного поля. К таким веществам относятся: водород, ртуть, висмут, вода, медь, серебро, углерод. Диамагнитный эффект мал, наиболее сильно он выражен у висмута, для которого  = 0,99983.

3. Парамагнитные вещества, и . Эти вещества под воздействием внешнего магнитного поля намагничиваются в направлении поля. Молекулы парамагнитного вещества обладают магнитными моментами и под влиянием внешнего поля ориентируются определенным образом. К парамагнитным веществам относятся: алюминий, платина, кислород.

4. Ферромагнитные вещества. Эти вещества входят в группу парамагнитных, но характерны большой магнитной проницаемостью и нелинейной зависимостью от . Свойства ферромагнитных веществ объясняются наличием между соседними атомами кроме магнитных сил взаимодействия еще и немагнитных (обменных) сил, которые значительно больше, чем магнитные. Обменные силы зависят от направления магнитных моментов атомов. К ферромагнитным веществам относятся: железо, кобальт, никель и их сплавы.

Кроме электрической и магнитной проницаемости, вещество характеризуется проводимостью. Проводимость среды определяет электрический ток в среде. Как было показано ранее, объемная плотность тока определяется объемной плотностью заряда и скоростью его движения

.
Причины, определяющие скорость движения зарядов, могут иметь различную физическую природу, могут быть электрическими (например, поле) и неэлектрическими (например, в случае механического перемещения заряда).

Наиболее общим является понятие тока переноса , т.е. тока движения зарядов, независимо от причины, вызвавшей это движение.

Наиболее важным является частный случай тока переноса - ток проводимости. Это ток, возникающий под действием электрического поля в проводниках, где всегда имеются свободные заряды, находящиеся в хаотическом тепловом движении. Под действием электрического поля возникает упорядоченное движение свободных зарядов, образующее ток проводимости. Скорость движения этих зарядов пропорциональна силе, действующей на заряды, а этой силой является напряженность электрического поля: и, следовательно, объемная плотность тока проводимости также пропорциональна напряжен­ности электрического поля
,
где коэффициент пропорциональности  называется удельной объемной проводимостью вещества.

Полученное соотношение между током проводимости и напряженностью поля называется законом Ома в дифференциальной форме. Следствием из него является известный закон Ома в интегральной форме

,

где U – напряжение;

R – сопротивление цепи.

Ток проводимости в металлах следует закону Ома, однако, этот закон справедлив не для всех сред.

Протекание тока по проводнику происходит под действием электрического поля, которое затрачивает на это движение энергию. Поэтому ток, вызванный кулоновскими силами, должен затухать аналогично току в цепи конденсатора, нагрузкой которого является сопротивление. Отсюда следует, что для поддержания тока необходимо существование сил неэлектростатического происхождения, действующих на электрические заряды.

Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды, называются сторонними силами. Эти силы могут быть самого разнообразного происхождения:

механического (перенос заряда рукой);

химического (в аккумуляторах и гальванических элементах);

теплового (в термопарах);

за счет ядерных сил (при радиоактивном распаде);

электромагнитного;

внешние электрические поля, не созданные данной системой зарядов.

Электрическое поле сторонних сил называют сторонним электри­ческим полем. Напряженность поля сторонних сил определяется следующим соотношением, аналогичным соотношению (2.9)

,

где – сторонняя сила;

dq – элементарный заряд.
В тех точках среды, где имеются сторонние поля, напряженность суммарного поля определяется суммой поля распределенных зарядов и стороннего поля. В этом случае плотность тока определяется соотношением
, (2.14)
представляющим собой дифференциальную форму обобщенного закона Ома.

В это выражение введено понятие объемной плотности стороннего тока, вызванного сторонними силами.

Полученные три уравнения, учитывающие параметры среды:




(2.15)

называются материальными уравнениями.

В зависимости от свойств параметровразличают виды сред, которые приведены в табл.2.3.

Таблица 2.3

Виды сред

Вид среды	Характеристика среды	Примечание
1. Линейная	Среда, параметры которой не зависят от векторов поля. В этой среде уравнения (2.15) являются линейными.	Линейная зависимость практически имеет место в случае слабых полей.
2. Нелинейная	Среда, параметры которой зависят от величины напря-женности поля, т.е.	Чаще всего нелинейность сред проявляется при сильных полях.
3. Однородная	Среда, параметры которой не зависят от координат.
4. Неоднородная	Среда, параметры которой меняются от точки к точке и могут быть представлены как функции пространственных координат.
5. Кусочно– –однородная	Среда, состоящая из нескольких однородных областей, параметры которых отличаются друг от друга и на границе раздела меняются скачками.
6. Изотропная	Среда, свойства которой одинаковы для полей с любым направлением векторов поля.	Связаны между собой только одноименные проекции участвующиx векторов. Например, если ,то
7. Анизотропная	Среда, проявляющая разные свойства в зависимости от направления векторов поля.	Каждая проекция одного вектора зависит от всех трех проекций другого вектора. *)

*)

Например, в анизотропной намагниченной среде:

Часть коэффициентов может быть равна нулю. Совокупность действий, производимых над проекциями вектора для получения вектора , условно обозначается оператором

который называется тензором магнитной проницаемости, а коэффициенты при проекциях векторов полей называются его компонентами. Это тензор второго ранга. Аналогично описываются анизотроптные свойства диэлектриков и проводников. После введения тензоров уравнения (2.15) можно записать в следующем виде:

2.2. Система уравнений электродинамики (уравнений Максвелла)

Система уравнений электродинамики описывает наиболее общие законы электромагнитного поля. Эти законы связывают между собой электрические и магнитные поля, а также поля с зарядами и токами. Система уравнений электродинамики полностью исчерпывает свойства электромагнитного поля в пределах классической макроскопической теории. Она является исходной при решении задач радиотехники, связанных с электромагнитными полями и волнами, и при решении статистических задач.

2.2.1. Система уравнений электродинамики в общем виде
Рассмотрим законы электродинамики в наиболее общем виде, справедливом для полей, зависящих от времени по любому закону.
1. Первое уравнение электродинамики: закон полного тока.

Закон полного тока в дифференциальной форме:

(2.16)

Согласно этому закону, вихрь вектора напряженности магнитного поля в каждой точке равен объемной плотности полного тока в этой точке. Объемная плотность полного тока равна сумме объемной плотности тока переноса и тока смещения:

где

Закон показывает, что причиной возникновения магнитного поля является в равной степени и ток переноса, и ток смещения, а также устанавливает количественную связь между током и магнитным полем. Ток смещения называется током, потому что его действие такое же, как тока переноса. Физически ток смещения обнаруживается потому, что переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля.

Для получения закона полного тока в интегральной форме проинтегрируем уравнение (2.16) по произвольной поверхности S :

Используя теорему Стокса (1.12) о связи между интегралами по контуру и по поверхности

получим, что интеграл по поверхности в левой части можно заменить через интеграл по замкнутому контуру
(2.17)

Мы получили закон полного тока (первое уравнение электродинамики) в интегральной форме. Согласно этому закону, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, протекающему сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

Полный ток через поверхность S представляет собой сумму тока переноса через эту поверхность и тока смещения

где


Остановимся еще раз на физическом смысле первого уравнения электродинамики, который заключается в том, что не только токи переноса, но и токи смещения (на рис. 2.4 вертикальный вектор J_п ) вызывают магнитное действие, порождают вихревое магнитное поле, устанавливают зависимость между изменением во времени вектора напряженности электрического поля и изменением в пространстве вектора магнитного поля (рис.2.4).

Рис.2.4. К первому уравнению электродинамики