5. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ (АННУИТЕТЫ, РЕНТЫ)
Определение 5.1. Последовательность периодических платежей называется потоком платежей, или аннуитетом.
Определение 5.2. Финансовая рента или рента – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временной интервал между ними одинаков.
5.1. Классификация потоков
Потоки платежей бывают регулярные и нерегулярные. Потоки платежей состоят из членов потока и обозначаются символом CF (cash-flow).

Каждый поток характеризуется следующими параметрами:

– членом потока (размер отдельного платежа);

– периодом (временной интервал между двумя последовательными платежами);

– сроком (время от начала первого платежа до конца последнего);

– процентной ставкой.

Потоки могут быть классифицированы следующим образом

– по количеству выплат различают дискретные и непрерывные потоки;

– по количеству начислений процентов в году:

1. 
   с ежегодным начислением;
   
2. 
   с начислением несколько раз в году;
   
3. 
   с непрерывным начислением.
   

Замечание. Момент начисления может не совпадать с моментом выплаты.

– по величине члена:

1. 
   постоянные, т.е. с одинаковыми размерами членов потока;
   
2. 
   переменные;
   

– по вероятности выплат потоки делятся на:

1. 
   верные (выплаты безусловные, например погашение кредита);
   
2. 
   условные (выплата ставится в зависимость от некоторых событий, например страховки);
   

– по количеству членов потока:

1. 
   с конечным членом;
   
2. 
   бесконечные, вечные;
   

– по соотношению начала срока платежа и какого-либо момента времени от начала платежа потоки делятся на немедленные и отсроченные (отложенные), например выплата кредита через 2 года;

по моменту выплат в пределах одного периода:

1. 
   потоки постнумерандо, если платежи осуществляются в конце периода;
   
2. 
   пренумерандо, если платежи осуществляются в начале периода;
   
3. 
   иногда платежи выплачиваются в середине периода.
   

5.2. Наращенная сумма для постоянных потоков (рент) постнумерандо. Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Рента p срочная, m = 1. Рента p срочная, p = m. Рента p срочная, p≠m. Непрерывное начисление процентов
Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится рента в сумме CF рублей. Имеется рента, член которой равен CF, а срок n. На взносы начисляются проценты по ставке r% годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты. На первый член потока проценты начисляются n-1 год, на второй член ренты n-2 года, на последний проценты не начисляются. Тогда к концу первого года, второго и т.д. расчетные суммы составят:
,

,

…

.

Отсюда получили следующий ряд платежей:

.

Или в обратном порядке:

.

Это геометрическая прогрессия со знаменателем геометрической прогрессии q=1+r и первым членом ряда a₁=CF. Число членов прогрессии равно n, тогда по формуле для суммы ряда членов геометрической прогрессии получаем формулу для вычисления наращенной суммы для постоянных потоков рент постнумерандо:

(5.2.1)

и коэффициент наращения вычисляется по формуле .

Пример 1. Для обеспечения будущих расходов создается фонд, средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн денежных единиц. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5 % годовых. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. По формуле (5.2.1) получим

(млн ден. ед.).

Ответ. Величина фонда на конец срока равна 28,9 млн денежных единиц.
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Пусть для годовой ренты проценты начисляются m раз в году. Число членов ренты тогда будет равно m∙n, а члены ренты с начисленными к концу срока процентами составят следующий ряд:

.

Перепишем эту последовательность в обратном порядке. Очевидно, что получим также возрастающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен CF, а , тогда сумма членов этой прогрессии составит:

. (5.2.2)
Пример 2. Рассмотрим пример 1 и предположим, что проценты начисляются не ежегодно, а поквартально.

Решение. Используем формулу (5.2.2) получим:

(млн ден. ед.).

(Рента p=1, а проценты вычисляются поквартально, n=4, поэтому функцию ППП EXCEL БС нельзя использовать)

Ответ. Величина фонда на конец срока равна 29,663 миллиона денежных единиц.
Рассмотрим методы расчета наращенной суммы для вариантов не годовой, а p – срочной ренты постнумерандо, для следующих случаев: , , .
Рента p срочная, m = 1. Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, а проценты начисляются в конце года, то есть m=1. Если годовая сумма платежа равна CF, то каждый раз будет выплачиваться CF/p. Общее число членов ренты будет np. Аналогично предыдущим рассуждениям получим следующую формулу для наращенной суммы:

. (5.2.3)
Пример 3. Рассмотрим пример 1 и предположим, что платежи выплачиваются поквартально, то есть p=4.

Решение. Используем формулу (5.2.3). Тогда CF/p=1 000 000, а

(ден. ед.).

Ответ. Величина фонда на конец срока равна 29 644 913 денежных единиц.
Рента p срочная, p = m. Пусть число выплат p раз в году равно числу начисления процентов m в году, то есть p=m. Для вывода формулы наращенной суммы вновь воспользуемся формулой (5.2.1), в которой проведем замены:

,

тогда получим

(5.2.4)

В этом случае можно применять также формулу (5.2.1), считая, что n – означает число периодов, а r – ставка за период. Если, например, рента выплачивается по полугодиям, то в формуле (5.2.1) под m следует понимать число полугодий, а под r – сложную ставку по полугодиям.

Рента p срочная (p≠m). Пусть рента выплачивается p раз в год, а проценты начисляются m раз в год. Причем эти цифры не совпадают, то есть p≠m. Аналогично предыдущим рассуждениям получим: общее количество членов ренты равно m∙p:

. (5.2.5)
Непрерывное начисление процентов. Рассмотрим случай непрерывного начисления процентов. Переписав в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывно ежегодными процентами:

.

где e – основание натурального логарифма, – сила роста (особый вид процентной ставки) и используя формулы

получим формулу для вычисления суммы членов геометрической прогрессии:

. (5.2.6)

Аналогично для p – срочной ренты получим формулу для вычисления наращенной суммы:

. (5.2.7)
Пример 5. Пусть в условии примера 1 требуется непрерывное начисление процентов, причем сила роста равна 18,5 %.

Решение. Для решения используем формулу (5.2.6):

FV==29,955 (млн ден. ед.).

Ответ. Величина фонда на конец срока равна 29,995 млн денежных единиц.
5.3. Сравнение результатов наращения сумм для различных видов рент
Обозначим через FV(p, m) – наращенную сумму p срочной ренты с начислением процентов m раз в году.

Например, FV(1,1) будет означать наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начислением процента. Тогда для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительности рент и размеров процентных ставок можно получить следующее соотношение:

Эти неравенства используются при выборе условий контрактов, т.к. позволяют заранее получить представление по результатам связанных с конкретными условиями. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями p=2, m=4 дает большее наращение суммы, чем с p=4, m=2.

Пример 1. Для значений FV(p,m) при CF=10, n=10 и процентных ставках r=j==6% получены следующие величины, иллюстрирующие выше приведенную цепочку неравенств.

	m=1	m=2	m=4	m=12	m=
p=1	131,81	132,37	132,65	132,85	132,95
p=4	134,74	135,35	135,67	135,88	135,99

5.4. Современная стоимость для постоянных потоков постнумерандо. Годовая рента постнумерандо. Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Рента p срочная с ежегодным начислением процентов. Рента p срочная p=m. Рента p срочная, pm. Непрерывное начисление процентов
По аналогии с выводом формулы (5.2.1) запишем последовательность формул, позволяющих вычислить величину современных стоимостей за 1,2,3,…n лет.

Величина современной стоимости за первый год будет вычисляться по формуле ,

за второй – ,

и т.д., величина современной стоимости за n год будет вычисляться по формуле

Так как выше перечислены элементы образуют ряд геометрической прогрессии

,

то – знаменатель геометрической прогрессии, а первый член суммы ряда. Тогда, используя формулу для суммы ряда членов геометрической прогрессии получим , а следовательно,

,

(5.4.1)

или

,

где – коэффициент наращения. Формула (5.4.1) предназначена для вычисления современной стоимости постоянных потоков платежей постнумерандо.

Пример 1. Годовая рента характеризуется следующими параметрами Определить текущую стоимость этой ренты.

Решение. (ден. ед.).

Ответ. Текущая стоимость ренты равна 12 368 000 денежных единиц. Если в настоящее время сумму в 12 368 000 разместить под 18,5 % годовых на 5 лет, то каждый год можно будет получать выплату по 4 000 000 денежных единиц.
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Рассмотрим случай годовой рента с начислением процентов m раз в году. Так как проценты начисляются m раз в году, то число членов ренты равно , а члены ренты с начисленными к концу срока процентами составят следующий ряд:

.

Здесь знаменатель геометрической прогрессии , а первый член суммы ряда . Тогда используя формулу суммы ряда членов геометрической прогрессии (см. пункт 5.2) получим

(5.4.2)
Рента p срочная с ежегодным начислением процентов. Рассмотрим случай ренты p срочной с ежегодным начислением процентов. Здесь размер платежа равен , а число членов ренты – . После соответствующих преобразований получим следующую формулу:

. (5.4.3)
Рента p срочная, p=m. Рассмотрим случай p срочной ренты, когда p=m. Т.е. число членов ренты равно числу начисленных процентов. Величина членов ренты здесь составит . Тогда получим

. (5.4.4)

Рента p – срочная, pm. Рассмотрим p-срочная ренту, такую, что число членов ренты не равно числу начисленных процентов, то есть pm. Формула для вычисления ее современной стоимости будет иметь вид:
. (5.4.5)
Непрерывное начисление процентов. Для вычисления современной стоимости ренты с непрерывным начислением процентов используют формулу:

, (5.4.6)

где – процентная ставка.

5.5. Сравнение современных стоимостей для различных видов рент
Для одних и тех же годовых сумм выплат и процентных ставок справедливы следующие неравенства:

.

Например, рента с условиями p=4, m=2 имеет современную стоимость больше, чем рента p=2, m=4.

5.6. Использование функций ППП EXCEL для начисления платежей
Существуют функции ППП EXCEL для расчета наращенной суммы потока платежей. Рассмотрим примеры.

Если выплаты процентов совпадают с периодами начислений, то есть когда p=m, то можно использовать функцию ППП EXCEL БС:

БС(ставка; кпер; выплаты; ;0).
Пример 1. Для условий примера 1 пункта 5.2 используем функцию БС.

Решение. Получим БС(18,5%;5;4000000)=28,9.

Ответ. Величина фонда равна 28,9 миллиона денежных единиц.

(БС используется только тогда, когда количество выплат ренты равно числу начисления процентов)
Если p=m, т.е. выплаты процентов совпадают с периодами начислений, то для расчета современной стоимости платежей можно пользоваться функцией EXCEL ПС:

ПС (ставка; кпер; выплата).

Пример 2. Определить современную стоимость ренты постнумерандо, если величина платежа CF=50 денежных единиц, число лет равно 5, годовая процентная ставка – 12 %. Проценты и выплаты начисляются и производятся 2 раза в год (p=m=2) .

Решение. PV=50, ПС=(0,12:2;5∙2;-50)=368,4 (ден. ед.).

Ответ. Современная стоимость ренты равна 368,4 денежной единицы.
С помощью ППП EXCEL можно рассчитать срок ренты, используя функцию КПЕР, а также размер процентной ставки, используя функцию СТАВКА.

Пример 3. Предположим, что компании X потребуется 100 000 денежных единиц через 2 года. Компания готова вложить 5 000 денежных единиц сразу и по 2500 денежных единиц каждый последующий месяц. Каким должен быть процент на инвестированные средства, чтобы получить необходимую сумму в конце второго года?

Решение. В этой задаче сумма 100 000 денежных единиц (аргумент бс функции СТАВКА) формируется за счет приведения к будущему моменту начального вклада размером 5 000 денежных единиц и фиксированных ежемесячных выплат. Поэтому среди аргументов функции СТАВКА следует указать оба аргумента: выплата = –2 500, нз = –5 000. Общее число периодов начисления процентов определяем исходя из таблицы 2: кпер = 2∙12. Подставив эти числа, получаем

СТАВКА(24, -2 500, -5 000, 100 000) = 3,28%.

Годовая процентная ставка составит 3,28%∙12 = 39,36%.

Ответ. Процент на вложенные средства должен быть не меньше этой величины.

Для определения величины выплат за 1 период для простых рент с постоянной процентной ставкой существует функция ППП EXCEL ПЛТ:

ПЛТ(ставка; кпер; нз [бс]; [тип 0 или 1]).
5.7. Упражнения
Упражнение 1. Пусть в примере 1 пункта 5.2 выплаты членов ренты и начисление процентов производится одновременно, поквартально. Рассчитать будущую стоимость по формулам и с помощью функции БС.

Упражнение 2. Рассчитать наращенную сумму для задания из примера

1 пункта 5.2 при условии, что выплаты членов ренты производятся поквартально, т.е. p=4, а проценты начисляются ежемесячно, т.е. m=12.

Упражнение 3. Организация создает накопительный фонд средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 8 лет. Размер разового платежа 3 млн денежных единиц. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 16 % годовых. Определить величину фонда на конец срока.

Упражнение 4. Организация создает резервный фонд ежегодно перечисляя по 8 млн денежных единиц в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течении 15 лет. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 11,5 % годовых один раз в квартал. Определить величину фонда на конец срока.

Упражнение 5. В условиях упражнения 4 платежи выплачиваются поквартально p=4 (то есть используют р срочную ренту со значением m=1). Найдите величину фонда на конец срока.

Упражнение 6. Организация на протяжении 5 лет 1 раз в квартал перечисляла по 1,5 млн денежных единиц в собственный стабилизационный фонд. Проценты по накопившейся сумме начислялись ежемесячно в размере 19 % годовых. Определите величину фонда на конец срока.

Упражнение 7. Определите текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей размером 150 тыс. денежных единиц в течение 10 лет, если процентная ставка составляет 14,2 % годовых.

Упражнение 8. Определите текущую стоимость обычных ежемесячных платежей размером 17 тыс. денежных единиц в течение 5 лет при начислении 12% годовых.

Упражнение 9. Определите текущую стоимость обычных ежеквартальных платежей размером 64 тыс. денежных единиц в течение 2 лет, если ставка процента 18,5 % годовых.