Урок 54
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ

Цели: учить применять полученные знания при решении задач; способствовать развитию навыка решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 667 рассмотреть решение на доске.

II. Решение задач (устно).

	Найти: ВЕ и α. После решения задачи обратить внимание: угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон. α = (AB + CD).
	2) SN = 4; SP = 9; SK = 3. Найти: SR, SQ, α. После решения задачи обратить внимание: угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

α = (PQ – NK).

	3) АС : АВ : СВ = 3 : 7 : 8. Найти: 1, 2, 3.
	4) Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции АВСD (АD и ВС – основания) и касается стороны АВ в точке В. Докажите, что ВD = . Решение 1) Так как ВС || АD, то 1 = 2.

2) 3 = BED, 4 = BED, 3 = 4.

3) АВD ВСD (по двум углам).

; BD² = BC ∙ AD;

ВD = .

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О, АОВ = 80°, АС : ВС = = 2 : 3. Найдите углы треугольника АВС.

2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке K, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка K делит хорду СD, если СD > АВ на 3 см?

Вариант II

1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О (см. рис. к задаче 1 I варианта), АВС = 80°, ВС : АВ = 3 : 2. Найдите углы треугольника АОВ.

2. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN?

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно в точках K, M, N, KМ : MN : NK = 6 : 5 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

2. Хорды АВ, СD, EF окружности с центром О попарно пересекаются в точках K, М, N, причем каждая хорда делится этими точками на равные части. Найдите периметр треугольника KMN, если АВ = 12 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1–14, с. 187; №№ 665, 669.

№ 669.

Решение

Дано:

Построить: отрезок ХY = .

Построение. 1) отложим на произвольной прямой l отрезки EF = АВ и FG = СD. 2) разделим отрезок EG пополам и получим точку H. 3) проведем окружность с центром в точке Н и радиусом ЕН.

4) Из точки F восстановим перпендикуляр m к прямой l и пусть K – любая из точек пересечения m с окружностью.

5) FK – искомый отрезок.

Для желающих.

Через точку пересечения окружности с биссектрисой описанного угла проведена хорда, параллельная одной стороне угла. Докажите, что эта хорда равна другой стороне вписанного угла.

Решение

1) Так как DЕ || АВ и ВD – биссектриса угла АВС, то 1 = 2 = 3. 2) 4 = 5 как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВD. 3) ВСD = DЕВ (по стороне и двум углам). 4) DЕ = ВС.