( Трисекция угла )
Е. И. Терёшкин. Россия. г. Пенза
Возьмем прямой угол BAD (чертеж 1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной 
. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е. 
.
Чертеж 1.
Далее проведем общую биссектрису углов MCB и NCD. Продолжим линии AB и AD до пересечения с данной биссектрисой. В местах пересечения поставим точки Е и F. АЕ=АМ=AN=AF=2. Из точки А, радиусом АЕ проводим дугу EF, она проходит через точки М и N. Проводим хорды ЕМ и NF. ЕМ=МN=NF.
Теперь, исходя из полученных данных, попробуем разделить прямой угол другим способом. Проведем две прямые, пересекающиеся под прямым углом. В месте пересечения поставим точку С (чертеж 1). Проведем биссектрисы всех четырех прямых углов. Из точки С произвольным радиусом опишем окружность. В местах пересечения окружности с линиями, образующими прямой угол, идущими вверх ставим точки М и N. На горизонтальную биссектрису от точки М влево и от точки N вправо откладываем расстояние МN и ставим точки Е и F. Соединяем точку М с точкой Е, а точку N с точкой F. Из точки Е параллельно МС проводим линию до пересечения с вертикальной биссектрисой прямого угла и ставим точку А. Проводим линию АF, она параллельна линии СN. В месте пересечения линии АЕ с продолжением линии СN ставим точку В. В месте пересечения линии АF с продолжением линии СМ ставим точку D. Из точки N радиусом NF описываем окружность. Продолжаем линию МN до пересечения с окружностью и ставим точку К. Продолжим линию ВN. Из точки F через точку К проводим линию до пересечения с продолжением линии ВN и ставим точку L. Проведем хорду МF. Угол МFК - прямой , потому что он вписанный и опирается на диаметр. Из точки N параллельно FL проводим линию. Эта линия попадает в точку А, потому что полученная фигура АNLF – параллелограмм (NL||АF, а АN||FL). Линия NF является диагональю параллелограмма. Она делит его на два равных треугольника NLF и АNF. Проведем линию МА. 
из построения.
Треугольник МNF – равнобедренный, значит линия РN делит его на два равных треугольника РМN и РNF. Из этого следует, что 
.
Рассмотрим треугольники АМN и NLF. AN=FL; MN=NF; 
, т.к. 
- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AN и FL и секущей NF. Значит треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
А из этого следует, что 
и 
.
Теперь применим этот способ к другим углам. Чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 2) и острыми (чертеж 3). В местах пересечения ставим точки С. Из точек С любым радиусом описываем окружность.
Чертеж 2
Чертеж 3
В местах пересечения сторон верхнего тупого угла (чертеж 2) и острого (чертеж 3 с дугой окружности ставим точки М и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (чертеж 2) и острых (чертеж 3). В обоих чертежах от линии СN вправо откладываем 
и проводим линию. Под мы проводим линии потому, что в случае с прямым углом линия СF относительно линии СN находится под . Из точек N радиусом MN проводим окружности. В местах пересечения окружностей с линиями, проведенными под к линиям СN ставим точки 
. Из точек параллельно линиям CN проводим линии до пересечения с биссектрисами нижнего тупого угла (чертеж 2) и острого угла (чертеж 3).
В местах пересечения ставим точки 
. Из точек , радиусами 
проводим дуги вправо до пересечения с окружностями радиусом MN и ставим точки Е. Из точек Е параллельно линиям СN проводим линии до пересечения с биссектрисами нижнего тупого угла (чертеж 2) и острого угла (чертеж 3). В местах пересечения ставим точки А. Расстояние 
и 
для каждого угла свое. Оно определяется построением. В местах пересечения линий АЕ и продолжений линий МС ставим точки D. Из точек А параллельно МС проводим линии. В местах пересечения линий параллельных МС с продолжениями СN ставим точки В. 
в обоих чертежах. Проводим хорды MN и NЕ, они равны из построения. Проводим хорды МЕ. Продолжим линии MN до пересечения с окружностями и ставим точки 
. Из точек Е через точки К проводим линии до пересечения с продолжениями линий ВN и ставим точки L. Угол МЕК – прямой, т.к. он вписанный и опирается на диаметр. Из точек N параллельно ЕL проводим линии. Эти линии попадают в точки А, т.к. полученные фигуры АNLЕ – параллелограммы (NL||АЕ, а АN||ЕL). Линии NЕ являются диагоналями параллелограммов. Эти линии делят параллелограммы на два равных треугольника NLЕ и АNЕ.
Проведем линии МА. 
из построения. Треугольники МNЕ – равнобедренные. Значит линии NР делят их на два равных треугольника МNР и РNЕ. Из этого следует, что 
.
Рассмотрим треугольники АМN и NLЕ в обоих чертежах. АN=ЕL; МN= NЕ; 
, т.к. 
- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АN и ЕL и секущей NЕ. Значит треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что 
.
Если угол меньше 
, то окружность радиусом MN не касается линии, проведенной под к линии СN. Поэтому угол надо увеличивать в 2,4,8... и т.д. раз, чтобы получился угол больше или равен , а затем разделить его на три равновеликие части. Полученные в результате деления части разделить на 2,4,8... и т.д. частей.
Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Но его можно разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3, это и будет 1/3 делимого угла.