Доклад

Теория малых колебаний

Работу выполнила

ученица 11 «Б» класса

ГОУ ЦО № 1862

Приказчикова Мария Ивановна

Научный руководитель:

Асратян Константин Кристианович

2007

- 2 -

I. Физика как наука. Универсальные процессы и явления

Физика изучает наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, законы её движения.

Физическая наука наших дней насчитывает около двух десятков крупных направлений. Экспериментальные и теоретические методы физики всё чаще применяются в таких далёких от физики сферах, как экономика, социология, экология, психология.

Ярким примером универсальных явлений природы является удивительный мир колебаний.

Леонид Исаакович Мандельштам в своих лекциях по оптике, теории относительности и квантовой механике сказал: “Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики. Это положение можно пояснить следующим примером. Каждая из областей физики – оптика, механика, акустика – говорит на своем “национальном” языке. Но есть “интернациональный” язык, и это язык теории колебаний. Она вырабатывает свои специфические понятия, свои методы, свой универсальный язык”.

Первым, кто понял, что уравнения, выведенные для маятника, описывают не только механические колебания, был Рэлей. В свою книгу “Теория звука” он ввел раздел об электрических колебаниях применительно к колебательному контуру.

В химии существует периодическая химическая реакция. Наиболее известный пример – знаменитая реакция Белоусова-Жаботинского – реакция окисления малоновой кислоты. Раствор периодически меняет цвет.

Мы рассмотрим применение теории малых колебаний в механике (колебания пружинного и математического маятников), в электродинамике (колебательный контур), в экологии – модель «хищник-жертва», предложенную Вито Вольтерра. Качественно рассмотрим модель «квантового осциллятора». В заключении кратко расскажу о применении колебаний.

- 3 –

II. КОЛЕБАНИЯ

1. Основные понятия

Введем основные понятия.

Колебаниями, или колебательными движениями, называют движения или изменения состояния, точно или приблизительно повторяющиеся во времени.

Колебания, характеризующиеся изменением только механических величин, называются механическими колебаниями.

Минимальный промежуток времени Т, через который движение тела полностью повторяется, называется периодом колебаний, т.е Т – время одного полного колебания.

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

υ = .

Частота колебаний υ – число колебаний, совершаемых телом за 1 секунду.

υ = ,

где N – общее число колебаний тела;

t – время всех колебаний тела.

Единица измерения частоты колебаний 1Гц = 1/с

Частота колебаний измеряется также в циклах в секунду. Циклическая частота колебаний ω – число полных колебаний, происходящих за 2π секунд. Единица циклической частоты – радиан в секунду (рад/с).

Циклическая частота ω связана с частотой υ и периодом колебаний Т соотношениями:

ω = 2π υ = .

- 4 -

2. Свободные колебания

Положение, в котором векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю, называется положением равновесия. Минимум потенциальной энергии есть положение устойчивого равновесия, все тела стремятся к нему (точки А и С рис.1). Неустойчивые положения тела отвечают максимумам потенциальной энергии (точка В рис.1).

Рис.1.Различные типы равновесия

Свободными (или собственными) колебаниями называют колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил, после того как система была выведена из положения равновесия.

Для возникновения свободных механических колебаний в системе должны выполняться два условия:

1.При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, и, следовательно, равнодействующая всех сил должна быть отлична от нуля и направлена к положению равновесия.

- 5 -

2.Силы трения в системе должны быть достаточно малы. (При большом трении в системе колебания могут вообще не возникнуть или быстро затухнуть.)

3. Гармонические колебания

Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону косинуса или синуса, называются гармоническими колебаниями.

Уравнение гармонического колебания:

х = А∙соs (ωt + φ₀) или х = А∙sin (ωt + φ₀), (1)

где х – смещение тела от положения равновесия в данный момент

времени;

А – амплитуда колебаний;

ωt + φ₀ = φ – фаза колебаний;

φ₀ – начальная фаза колебаний;

ω – круговая или циклическая частота.

Рис.2. Графики гармонических колебаний:

1 – по закону косинуса; 2 – по закону синуса.

- 6 -

Амплитуда колебаний – это наибольшее по модулю смещение колеблющегося тела от положения равновесия.

Величину, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями.

4. Колебания пружинного маятника

Рассмотрим движение груза массой m, подвешенного на стальной пружине, один конец которой закреплен, - пружинного маятника (рис.3). В положении равновесия сила тяжести , действующая на него, уравновешивается силой упругости растянутой пружины (рис.3а).

Рис. 3. Пружинный маятник:

а – в положении равновесия; б,в – при движении к положению

равновесия

Если тело вывести из положения равновесия, сместив его вниз по вертикали, то маятник начнет совершать свободные колебания (рис.3 б,в).

- 7 -

В соответствии с законом сохранения механической энергии в замкнутой системе, полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = W_к + W_п = const (2)

При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения энергии упруго деформированного тела:

W_п = (3)

в его кинетическую энергию:

W_к = , (4)

где m – масса колеблющегося тела;

- жесткость пружины;

х – абсолютное значение смещения маятника из положения

равновесия;

v – скорость маятника.

Подставляя значения W_п (3) и W_к (4) в формулу для полной энергии (2), имеем:

W = + = const

Продифференцируем это уравнение по времени:

= m∙v∙v^/ + к∙х∙х^/ = 0

Т.к. х^/ = v; v^/ = , то получаем:

m∙ + к∙х = 0 или + ∙х = 0

Обозначив ω_о² = , мы получили уравнение движения колеблющегося тела:

+ ω_о²∙х = 0

- 8 -

Собственная циклическая частота свободных колебаний равна:

ω_о =

5. Математический маятник

Математическим называется тело небольших размеров, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием сил тяжести .

Рис. 4. Математический маятник

а – в положении равновесия; б – при движении к положению

равновесия

На шарик М в положении равновесия (рис. 4а) действуют две силы: сила тяжести = m∙ и сила натяжения нити , уравновешивающие друг друга.

- 9 -

При отклонении маятника от положения равновесия на малый угол φ сила тяжести и сила натяжения нити направлены под углом друг к другу, и поэтому они не уравновешиваются (рис. 4б). Математический маятник начинает совершать свободные колебания.

Потенциальная энергия математического маятника при отклонении его от положения равновесия в поле тяготения увеличивается, т.к. центр тяжести маятника поднимается на высоту h от положения равновесия и, следовательно, увеличивается расстояние до точки равновесия, где W_п = 0.

При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, его кинетическая энергия увеличивается за счет изменения запаса потенциальной энергии маятника в результате уменьшения расстояния до точки равновесия.

Как было сказано раньше, в соответствии с законом сохранения механической энергии в замкнутой системе, полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = W_к + W_п = const (5)

При гармонических колебаниях математического маятника происходит превращение кинетической энергии маятника в потенциальную.

Кинетическая энергия маятника равна:

W_к = ,

где m – масса колеблющегося тела;

v – скорость маятника.

Маятник перемещается по дуге

= х =l∙φ,

где l – длина маятника

Продифференцировав перемещение по времени, находим скорость движения маятника, т.е.

v = (х)^/ = l∙

- 10 -

Тогда

W_к = = (6)

Потенциальная энергия маятника равна:

W_п = m∙g∙h

Т.к.

h = l – ОС = l - l∙cos φ = l∙(1 - cos φ),

получаем:

W_п = m∙g∙l∙(1 - cos φ)

Математический маятник совершает малые колебания φ « 1,

следовательно можно принять, что cos φ = 1 -

Тогда

W_п = m∙g∙l∙ (7)

Подставляя значения W_к (6) и W_п (7) в формулу для полной энергии W (5), имеем:

W = + m∙g∙l∙ = const

Продифференцируем это уравнение по времени.

= m∙l²∙ + m∙g∙l∙φ∙ = 0

Т.к. ≠ 0, получаем:

m∙l²∙ + m∙g∙l∙φ = 0 или + ∙φ = 0

Уравнение движения математического маятника:

+ ω_о²∙х = 0,

где ω_о² = или ω_о = - собственная циклическая частота

- 11 -

6. Электромагнитные колебания

Электромагнитными колебаниями называют состояние электромагнитного поля, при котором электрическое и магнитное поля изменяются во времени по гармоническому закону.

Колебательным контуром называется замкнутая электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора емкости С и электрического сопротивления R. В простейшем идеализированном случае электрическим сопротивлением пренебрегают (R→ 0).

Свободными электромагнитными колебаниями называются периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (электрического заряда q, силы тока I, разности потенциалов U), происходящие без потребления энергии от внешних источников.

В колебательном контуре свободные электромагнитные колебания возникают после того, как конденсатору сообщается заряд, выводящий систему из положения равновесия.

Рассмотрим подробно явление разрядки конденсатора (рис.5).

Рис. 5.Электрическая схема

- 12 -

Если в начальный момент t = 0 конденсатор присоединить на некоторое время к батарее (переключатель П находится в положении 1 рис.5), то он заряжается, получая заряд q_m. Между обкладками конденсатора возникает

разность потенциалов U_m, принимающая максимальное значение. При этом конденсатору сообщается энергия:

W_Е =

Ток в контуре при этом отсутствует (рис.6а). Переведем переключатель в положение 2 (рис.5). Конденсатор при этом начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Вследствие явления самоиндукции ток в колебательном контуре будет увеличиваться постепенно, и его сила достигнет максимального значения I_m в момент времени, равный первой четверти периода колебаний t = . Конденсатор при этом полностью разрядится (q = 0), и, следовательно, разность потенциалов на его обкладках обратиться в нуль (рис.6б).

За следующую четверть периода колебаний ток в цепи, сохраняя свое направление, уменьшается и в момент времени t = обращается в нуль.

Мгновенному прекращению тока препятствует также явление самоиндукции. Катушка в этом случае действует как ЭДС самоиндукции. При этом обкладки конденсатора заряжаются до первоначального значения напряжения между ними, но знак заряда на обкладках оказывается противоположным первоначальному. В итоге происходит перезарядка конденсатора (рис.6в).

Затем вновь происходит разряд конденсатора через катушку, и процессы повторяются в обратном направлении (рис.6г, д).

- 13 -

Рис.6. Электромагнитные колебания в контуре

Следовательно, для каждого состояния контура можно записать:

а) q = q_m, U = U_m, I = 0, W_Е =

б) q = 0, U = 0, I = I_m, W_М =

в) q = q_m, U = U_m, I = 0, W_Е =

г) q = 0, U = 0, I = I_m, W_М =

д) q = q_m, U = U_m, I = 0, W_Е =

Таким образом, при разрядке конденсатора через катушку индуктивности в колебательном контуре возникают свободные электромагнитные колебания.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных катушек индуктивности L и конденсатора емкости С, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Если активное сопротивление R контура мало (R→ 0) и им можно пренебречь, то полная электромагнитная энергия контура не меняется с течением времени.

- 14 -

Полная энергия колебательной системы равна:

W = W_Е + W_М = const (8)

Энергия электрического поля:

W_Е = , (9)

где q – заряд конденсатора;

С – емкость конденсатора.

Энергия магнитного поля:

W_М = ,

где L – индуктивность катушки;

i – сила тока.

Т.к. i = , то можно записать энергию магнитного поля в виде:

W_М = (10)

Подставляя значения W_Е (9) и W_М (10) в формулу W (8) имеем:

W = + = const

Продифференцируем это уравнение по времени

= + = 0

Т.к. ≠ 0, получаем:

+ = 0 или

+ = 0 или

+ ω_о² q = 0

- 15 -

Обозначив ω_о = , мы получили уравнение описывающее процессы в колебательном контуре, аналогично уравнению, описывающему механические колебания тела, скрепленного с пружиной, или математического маятника.
7. Линейные колебания в популяционной модели «хищник – жертва» - «экологический маятник»

Слово «экология» впервые появилось в двухтомном труде Э.Геккеля «Всеобщая морфология», который вышел из печати в 1866 году. Автор определил экологию как «общую науку об отношениях организмов с окружающей средой» и трактовал её очень широко – как любое учение о процессах и движениях в живой природе.

Внутри экологии выделилась математическая экология – наука, которая занимается математическим описанием отношений растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Первой удачной моделью этой науки была модель «хищник-жертва», предложенная итальянским математиком Вито Вольтерра в книге «Математическая теория борьбы за существование» (1931г).

Пусть на замкнутом ареале живут два вида – хищники и вегетарианцы – жертвы. Жертвы (их число N₁(t)) питаются растительной пищей, имеющейся в избытке. Хищники (их число N₂(t)) питаются только жертвами.

Если жертвы живут на ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет увеличиваться:

= α₁∙N_1,

где α₁ – постоянный положительный коэффициент прироста.

Если бы на ареале жили одни хищники, то из-за отсутствия пищи они бы вымерли:

- 16 -

= - α₂∙N_1,

где α₂ - постоянный положительный коэффициент вымирания.

Естественно допустить, что при совместном проживании видов численность хищников будет увеличиваться тем быстрее, чем больше их частота встреч с жертвами. Эта частота встреч пропорциональна N₁∙N₂.

Таким образом, для описания численности двух существующих видов приходим к системе дифференциальных уравнений.

1-ое уравнение - изменение числа жертв:

= α₁∙N_1, - β₁∙N₁∙N₂, (11)

где β₁ – положительный коэффициент, характеризующий гибель жертв из-за встречи с хищниками.

2-ое уравнение - изменение числа хищников:

= - α₂∙N_2, + β₂∙N₁∙N₂, (12)

где β₂ – положительный коэффициент, характеризующий размножение хищников.

При равновесном состоянии системы, т.е при = = 0, численность видов имеет равновесные значения N₁⁰ и N₂⁰.

Из уравнения (11) имеем:

N₂⁰ = (13)

Из уравнения (12) имеем:

N₁⁰ = (14)

Будем считать, что изменение числа хищников и жертв малые, т.е. значительно меньше их равновесных значений:

N₁ = N₁⁰ + n₁(t) и N₂ = N₂⁰ + n₂(t),

причём n₁ « N₁⁰ и n₂ « N₂⁰

- 17 -

Тогда

= и =

После линеаризации уравнения (11), получаем:

= = α₁∙( N₁⁰+ n₁) – β₁∙(N₁⁰ + n₁)∙( N₂⁰ + n₂) =

= α₁∙N₁⁰ + α₁∙n₁ – β₁∙( N₁⁰∙N₂⁰ + n₁∙N₂⁰ + n₂∙N₁⁰)

Подставим в полученное уравнение равновесные значения (13) и (14)

= α₁∙ + α₁∙n₁ – β₁∙∙ - β₁∙n₁∙ - n₂∙β₁∙ = - ∙n₂

= - ∙n₂ (15)
После линеаризации уравнения (12), получаем:

= = - α₂∙(N₂⁰+ n₂) + β₂∙(N₁⁰ + n₁)∙( N₂⁰ + n₂) =

= - α₂∙N₂⁰ – α₂∙n₂ + β₂∙( N₁⁰∙N₂⁰ + n₁∙N₂⁰ + n₂∙N₁⁰)

Подставим в полученное уравнение равновесные значения (13) и (14)

= - α₂∙ - α₂∙n₂ + β₂∙∙ + β₂∙n₁∙ + β₂∙n₂∙ = ∙n₁

= ∙n₁ (16)
Продифференцируем ещё раз уравнения (15) и (16) и подставим соответственно значения для и .

= - ∙ = - ∙∙n₁ = - α₁∙α₂∙n₁

= ∙ = - ∙∙n₂ = - α₁∙α₂∙n₂
- 18 -

Окончательно получаем:

+ α₁∙α₂∙n₁ = 0 или + ω₀²∙n₁ = 0

+ α₁∙α₂∙n₂ = 0 или + ω₀²∙n₂ = 0,

где ω₀² = α₁∙α₂

Таким образом, численность хищников и жертв в модели «экологического маятника» изменяется колебательным образом с периодом Т = 2∙π∙.

Модель «экологического маятника» подтверждается экспериментально исследованиями многих ученых. Например, русский ученый Г.Ф.Гаузе изучал, как изменяется в пробирках численность двух видов инфузорий, связанных отношениями хищник-жертва. Жертвой был один из видов инфузорий-туфелек, питающийся бактериями, а хищником – инфузория-дидиниум, поедающая туфелек.

Обобщая приведенные выше примеры, можно сказать, что все полученные нами уравнения имеют вид:

+ ω₀²∙ξ = 0,

где ξ – обобщенная координата рассматриваемого нами процесса;

ω₀ – циклическая частота, зависящая от параметров

рассматриваемого процесса.

Это основное уравнение теории малых колебаний.

Все эти уравнения имеют решение в виде:

ξ (t) = А∙соs (ωt + φ₀) или

ξ (t)= А∙sin (ωt + φ₀)

в зависимости от начальных условий, т.е. являются гармоническими.

- 19 -

8.Квантовый осциллятор

В заключении рассмотрим качественную модель колебания атома, образующего кристаллическую решетку, как линейную систему атомов, связанных пружинами с жесткостью k. Специфика такой модели в том, что при колебаниях атома в среде возникает волна, аналогичная волне, возникающей в колеблющейся струне с закрепленными концами. Такая волна называется стоячей волной, и она не выходит за пределы некого интервала от «-r₀» до «+r₀», где r₀ – условно точки закрепления струны.

Уравнение стоячей волны имеет вид:

у(х,t) = 2∙А∙cos ∙cos ω₀t

Рис.7. График уравнения стоячей волны
Узлы стоячей волны (точки на графике рис.7) определяются из условия:

cos = 0 или х_n = ± ,

где n – 0, 1, 2… номера узлов в интервале 2r₀

Тогда, число узлов на всем интервале:

2r₀ = ±

- 20 -

Длина волны подчиняется условию де Бройля:

= , (17)

где h – постоянная Планка;

m – масса атома;

v – скорость волны

Тогда получим выражение для скорости волны:

v = (18)

Полная энергия колебания равна:

W = W_к + W_п = + (19)

Подставляя выражение для скорости v (18) в формулу (19), получим зависимость полной энергии от интервала r₀:

W = + (20)

Устойчивое состояние соответствует условию:

= 0

Тогда находим:

(r₀²)_min = (21)

и минимальное значение энергии равно:

W_п = = ћ∙ω₀∙, (22)

где ω₀² = - собственная частота колебаний атома, т.е. атом колеблется «порождая» квазичастицы с энергией ћ ω₀ (ћ = ).

- 21 -

Таким образом процесс взаимодействия атомов кристаллической решетки можно описать, как и в случае взаимодействия между нуклонами ядра, обменом квазичастицами с энергией ћ ω₀, которые называются фононами.

Примечательно, что невозбужденный атом (n = 0), колеблется с минимальной энергией W_min = ћ∙ω₀∙ и эта энергия не равна нулю.

Обобщая приведенные выше примеры, можно сказать, что все полученные нами уравнения имеют вид:

+ ω₀²∙ξ = 0,

где ξ – обобщенная координата рассматриваемого нами процесса;

ω₀ – циклическая частота, зависящая от параметров

рассматриваемого процесса.

Это основное уравнение теории малых колебаний.

Все эти уравнения имеют решение в виде:

ξ (t) = А∙соs (ωt + φ₀) или

ξ (t)= А∙sin (ωt + φ₀)

в зависимости от начальных условий, т.е. являются гармоническими.
Теперь немного о применении колебаний.

Период колебаний математического маятника первым рассчитал голландский физик Христиан Гюйгенс. Он же в 1657 году сконструировал первые маятниковые часы для измерения времени. Меняя длину маятника, можно изменять ход часов. Если часы идут вперед, то приведенную длину маятника нужно увеличить, увеличивая тем самым период колебаний. Если часы отстают – длину маятника уменьшают, уменьшая период колебаний.

Экспериментально доказано, что качающийся маятник сохраняет плоскость, в которой происходят его колебания. Французский физик Жан-Бернар-Леон Фуко в 1851 году экспериментально доказал вращение Земли вокруг оси с помощью 67-метрового маятника, подвешенного к вершине купола парижского Пантеона. Подобный маятник до недавнего времени можно было увидеть в Петербурге в Исаакиевском соборе.

Большое практическое значение в природе и технике имеет явление резонанса. На резонансе основана работа радиоприемников, телевизоров.

Колебания окружают нас со всех сторон, от них не спрятаться и не убежать, это универсальные процессы Природы.