Вопросы к главе III

1. 
   Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии автокорреляционных связей в ряду ошибки _t?
   
2. 
   Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии гетероскедастичности ошибок?
   
3. 
   Каковы последствия автокорреляции и гетероскедастичности ошибок?
   
4. 
   В чем суть обобщенного МНК (ОМНК)?
   
5. 
   Как определяется ковариационная матрица ОМНК-оценок параметров?
   
6. 
   Каковы предпосылки обобщенного метода максимального правдоподобия?
   
7. 
   В чем суть двухшагового МНК Дарбина?
   
8. 
   В чем суть взвешенного МНК?
   
9. 
   В чем суть метода инструментальных переменных?
   

2. Упражнения к главе III

Задание 3.1

Для обобщенной линейной регрессионной модели

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)
имеется T=10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

х_t8101216202024283036y_t6,86,97,37,48,68,08,88,09,910,3

Требуется:

1. Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется “чисто” гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют

0,04; если 5,0 х_t 15,0;

0,16; если 15,0 х_t 25,0;

1,00, если 25,0 х_t 40,0.

2. Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.

3. Определить для описанной в п.1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.

4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.

Задание 3.2

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии. Дисперсии ошибок _t (t=1,...,T) обозначим _t².

Tребуется:

1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии ₀ и ₁ рассчитываются следующим образом:

2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.

3. Показать, что в частном случае “чистой” гомоскедастичности вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.
Задание 3.3

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т),
дисперсия ошибки которой .

Требуется:

1. Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Т, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.

2. Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии ₀ и ₁.

3. Определить оценку параметра ² для данной модели.
Задание 3.4

Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т),
а также 10 пар наблюдений переменных (х_t, y_t), которые представлены в табл. 3.2

Таблица 3.2

х_t2,02,411,08,05,66,24,59,88,63,8y_t4,05,24,54,24,88,07,212,68,54,2

Требуется:

1. Определить линию регрессии с помощью гетероскедастичной модели из задания 3.3.

2. Определить линию регрессии на основе классической модели.

3. Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.
Задание 3.5

Рассмотрим частный случай гетероскедастичной модели однофакторной регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т),
для которого выполняется условие (t=1,...,Т). Имеются следующие фактические данные:

х_t12345y_t12234

Требуется:

1. Определить вектор оценок параметров регрессии a с помощью классического МНК.

2. Определить вектор оценок параметров регрессии a_A с помощью обобщенного МНК.

3. Определить потерю эффективности, которая возникает из-за применения классического МНК вместо обобщенного.

4. Определить оценку ковариационной матрицы вектора оценок и сравните ее с Соv(a).

Задание 3.6

Рассмотрим “чисто” гетероскедастичную однофакторную регрессионную модель

с_t =₀+ ₁ y_t +_t (t=1,...,Т),
где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелированы, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 единиц в 2 раза больше, чем при доходе до 50 единиц. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:
у_t3035354550607090160с_t3030353540507080120

Требуется:

1. Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

2. Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

3. Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.
Задание 3.7

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

где y_jt – потребление; х_jt⁽¹⁾ – заработная плата; х_jt⁽²⁾ – дивиденды домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии ₁ и ₂ должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении y_jt, а есть только совокупное потребление всех k_t домохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели .

2. Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известная с точностью до ².

3. Определить оценки параметров ₁ и ₂.
Задание 3.8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

где y_jt – потребление домохозяйства j в период t; x_t – индекс цен в период t; w_jt – число членов и z_jt – доход домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии ₁ , ₂, ₃ и ₄ должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели  на основе всех имеющихся данных.

2. Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3. Определить вектор оценок параметров .

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)
имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

х_t5,58,520,124,517,022,019,016,05,013,4y_t4,510,018,520,018,525,08,513,07,415,6х_t3,06,122,220,18,012,014,019,518,015,1y_t5,55,218,518,08,09,812,014,815,212,0

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Требуется:

1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т₁=5, для Т₂=10 и для Т₃=15 наблюдений при уровне значимости =0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2. Для уровня значимости =0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.
Задание 3.10

Имеется обобщенная регрессионная модель

с_t =₀+ ₁ y_t +_t (t=1,...,Т),
где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 единиц и с доходом от 50 до 100 единиц.

Требуется с учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости =0,05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Задание 3.10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

y_t =₀+ ₁ х_1t +...+_n х_nt + _t (t=1,...,Т),
для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр  известен. Для оценивания параметров ₀, ₁,..., _n предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть t–1-e уравнение, умноженное на , t=1,...,Т, т. е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется:

1. Определить матрицу преобразований T_, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

2. Определить “оптимальные” оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

3. Определить “оптимальные” оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Задание 3.11

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)
имеется T=12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

х_t5,02,51,86,89,03,86,59,01,03,57,110y_t5,04,83,18,28,65,56,511,12,14,58,911,8

Для ошибки уравнения _t выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями =–0,4 и _² =1.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения ₀ и ₁ с помощью обобщенного МНК.

2. Оценить параметры уравнения ₀ и ₁ с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.10.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с “оптимальными” оценками из п. 1.

Задание 3.12

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)
имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

х_t0,100,150,200,250,300,350,400,450,50y_t0,0190,0190,0270,0510,0930,1360,1710,1980,267х_t0,550,600,650,700,750,800,850,900,95y_t0,3140,3650,3960,4820,5690,6270,7109,8350,913

Для ошибки уравнения _t выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка.

Требуется:

1. Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.

2. Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра авторегрессии первый вектор оценок параметров ₀ и ₁.

3. Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку r и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.

4. Определить следующую оценку r и сравнить оценки r, r и r друг с другом.
Задание 3.13

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)
имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5 (см. задание 3.12).

Требуется:

1. Проверить при уровне значимости =0,10 гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка у ошибок _t.

2. Проверить при уровне значимости =0,05 гипотезу о наличие негативной автокорреляции ошибок линейного регрессионного уравнения с тремя экзогенными переменными, если для 20 наблюдений получены следующие остатки: 0,8; –1,2; 0,0; –0,6; 1,1; 0,9; 0,2; 0,4; –0,6; 0,1; –0,7; 1,4; 1,0; 1,5; –0,8; 0,2; –1,4; 0,3; 0,8; –1.

* Т. е. ошибка обладает нулевым математическим ожиданием M[_t]=0, ее дисперсия постоянна на всех участках рассматриваемого периода времени, а разновременные значения _t и _t–j, j=1,2,…; независимы.

* В этом случае значения факторов будут обозначаться как х_{i, t–1}, х_{i, t–2},...

*^* ( ) означает операцию транспонирования.

* Определение значений оценок параметров эконометрической модели осуществляется на основе исходной информации, выражаемой вектором у и матрицей Х, сформированных из наблюдаемых значений зависимой и независимых переменных.

* Вероятность р_* в данном случае определяет границы области принятия гипотезы, р_* – вероятность того, что при _*( k) гипотеза оказывается верной, т. е. 1– р_* – вероятность ошибки.

* Как было отмечено выше принятие решения о “целесообразности” удаления незначимого фактора основывается на анализе и ряда других критериев.

* Для некоторых классов эконометрических моделей (например, моделей временных рядов, моделей финансовой эконометрики) при выявлении соответствия модели и процесса основную роль играет также степень совпадения теоретических свойств модели со свойствами описываемого ею процесса (см. главы VI и VII).

* Следует, однако, отметить, что данные показатели корректно рассчитываются лишь в случае ошибки, в ряду которой отсутствуют автокорреляционные связи. Если же такие связи имеют место, то, вообще говоря, их расчетные значения, определяемые по приведенным ниже формулам, содержат ошибку, величина которой зависит от силы этой связи.

* В таком случае в качестве “меры точности аппроксимации” следовало бы использовать выражение , где – значение ковариации ошибок _t и _t+i .

* При этом увеличение объема выборки не должно нарушать ее однородность в том смысле, что закономерности рассматриваемых процессов являются теми же, как на “меньшей” выборке, так и на “большей”.

* Напомним, что асимптотическая несмещенность оценок является достаточным условием их состоятельности.

* Напомним, что первый выборочный коэффициент автокорреляции ошибки рассчитывается по следующей формуле:

*G²=[E_T–Х(ХХ)^–1Х]²=E_T–2Х(ХХ)^–1Х+Х(ХХ)^–1ХХ(ХХ)^–1Х=E_T–Х(ХХ)^–1Х=G.

* Это делается путем подстановки данного выражения в (2.99) и непосредственного перемножения матриц с учетом правила их транспонирования.

* Дисперсия переменной y_t в точке t может рассматривать как характеристика, построенная на множестве выборочных оценок математических ожиданий M[y_t ] при соответствующих вариантах оценок их параметров, т.е. как

,

где R – количество возможных вариантов оценок параметров и M_r[y_t]= – выборочное математическое ожидание переменной y_t в r-м варианте. Аналогичным образом могут быть проинтерпретированы и определены и ковариации значений y_t и y_t+j , t=1, 2,...Т; j= 1, 2,...,T–1

* Доказательство справедливости выражения (2.119) приведено в разделе 2.3.

*^* Состоятельность в данном случае характеризует определенное свойство функции правдоподобия, связанное с увеличением ряда наблюдений переменных модели при условии однородности выборки. Оно состоит в том, что с ростом Т максимальное значение этой функции (т. е. в точке оптимума) все более значительно превосходит ее значения в точках с другими неоптимальными значениями ее параметров.

* Напомним, что положительно определенная матрица невырождена, имеет положительный определитель и положительные главные миноры. Положительная определенность матрицы  вытекает из ее симметричности.