15. ПереМЕНнОе ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Переменное электромагнитное поле характеризуется изменяющимися во времени точечными и интегральными характеристиками. В этом едином поле для удобства анализа выделяются две стороны – электрическое поле и магнитное поле, которые взаимно связаны и взаимно обусловлены.

Теория электромагнитного поля оперирует полными токами, включающими в себя три вида тока: 1) ток проводимости; 2) ток смещения; 3) ток переноса.

Плотность полного тока =  + +  ,

где  = _пр – плотность тока проводимости (движущихся свободных заря-дов),  – удельная проводимость проводящей среды, – напряжённость электрического поля;

= _см – плотность тока смещения, – вектор электрического сме-щения (электростатической индукции); напомним, что = ₀ + , – вектор поляризации вещества, определяющий поле смещённых связанных зарядов вещества; таким образом, в плотности тока смещения выделяют два слагаемых _см = _см + _см, где _см = ₀ , что указывает на наличие тока смещения и в пустоте, а _см = ; в свою очередь, = ₀ , поэтому _см = ₀ ;

 = _пер – плотность тока переноса,  – объёмная плотность переноси-мых свободных зарядов; – вектор скорости переноса.

Полный ток i = , как и ток проводимости, обладает свойством непрерывности, то есть для полного тока выполняется как интегральное соотношение = 0, известное под названием первого закона Кирхгофа, так и дифференциальное div = 0.

Заслугой Д. Максвелла является то, что он ввёл в теорию электромагнитных явлений ток смещения и предположил, что последний создаёт в окружающем пространстве магнитное поле так же, как и ток проводимости, что впоследствии было неоднократно подтверждено экспериментами (в частности, радио, телевидение и др.). Д. Максвелл также сформулировал основные уравнения поля.

15.1. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДЛЯ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН. тЕОРЕМА УМОВА-ПОЙНТИНГА.

В систему уравнений входят 4 уравнения, записанные либо в интегральной, либо в дифференциальной формах.

1) Первое уравнение Максвелла – закон полного тока в обобщённой форме:

= i; rot = =  + при отсутствии тока переноса.

2) Второе уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции в обобщённой форме:

= - ; rot = - = -₀ .

3) Третье уравнение Максвелла представляет собой теорему Гаусса и постулат Максвелла для вектора электрического смещения:

= q, div = .

4) Четвёртое уравнение Максвелла выражает принцип непрерывности магнитного потока

= 0, div = 0.

Эти уравнения дополняются уравнениями связи между характеристиками поля

=  + +  , = ₀ + = ₀ , = ₀( + ) = ₀ .

Совокупность всех приведенных выше уравнений представляет полную систему уравнений для переменного электромагнитного поля при любой зависимости от времени характеристик поля.

При решении конкретных задач к приведенным уравнениям необходимо добавить соотношения между характеристиками поля на границе раздела двух разных сред. Эти соотношения (граничные условия) формулируются на основании интегральных уравнений Максвелла и выполняются в любой момент времени:

E_1t = E_2t, D_1n = D_2n – для диэлектриков;

E_1t = E_2t, _1n = _2n – для проводящих сред;

H_1t = H_2t, B_1n = B_2n – для магнитной составляющей поля.

Энергетические соотношения в переменном электромагнитном поле определяются теоремой Умова-Пойнтинга:

-div =  E² + , где =[  ] – вектор Пойнтинга.

В интегральной форме теорема Умова-Пойнтинга для однородной изотропной среды имеет вид:

- = + .
Задача 15.1. Обкладки плоского конденсатора разделены несовер-шенным диэлектриком с удельной проводимостью  = 5·10 ^–5 См/м, относи-тельной диэлектрической проницаемостью  = 4. Конденсатор подключен к источнику синусоидального напряжения u = 3000sint В. Расстояние между обкладками конденсатора d = 1 см.

Считая, что  и  не зависят от частоты, а линейные размеры обкладок значительно превышают расстояние d, вычислить амплитуды плотностей тока проводимости _mпр и тока смещения _mсм для следующих частот: 1) f₁ = 0; 2) f₂ = 50 Гц; 3) f₃ = 400 Гц; 4) f₄ = 400 кГц.

Записать для этих четырёх случаев мгновенное значение тока i₀, приходящееся на 1 м² поверхности обкладок конденсатора, а также их комплексные амплитуды.

Ответ:

f, Гц_mпр, А/м²_mсм, А/м²i₀, А/м²I_m0, А01501515501533,35·10 ^-415sint + 33,35·10 ^-4соst15 0,01340015267·10 ^-415sint + 267·10 ^-4соst15 0,1400·10³1526,715sint + 26,7соst30,62  60,67

Задача 15.2. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков и расположены на расстоянии d = 1 см друг от друга, разделены несовер-шенным диэлектриком с удельной проводимостью  = 5·10 ^–5 См/м, относи-тельной диэлектрической проницаемостью  = 4, магнитной проницаемостью  = 1. Считая, что параметры диэлектрика не зависят от частоты, найти выражения для мгновенных значений напряжённости и магнитной индукции в точках, лежащих между обкладками конденсатора на расстоянии r от оси симметрии, пренебрегая краевым эффектом. Радиус диска а = 6 см. К конденсатору приложено напряжение u = 3000sint В.

Задачу решить для двух значений частоты 1) f₁ = 0; 2) f₂ = 400 кГц.

Решение

Для решения задачи выберем ци-линдрическую систему координат, ось z которой совпадает с осью симмет-рии конденсатора, а начало координат находится на внутренней поверхности одной из обкладок (рис. 15.1).

Напряжённость электрического поля однослойного плоского конденсатора в соответствии с выбранной полярностью приложенного напряжения имеет только одну проекцию = Е, а Е_r = 0, Е_ = 0, причём

Е = = sint = 3·10⁵sint В/м.

Плотность полного тока

=  + (₀ ) = (Е_msint + ₀Е_mcost)

имеет также только одну проекцию.

При этом плотность тока проводимости не зависит от частоты, её амплитуда

_прm = Е_m = 5·10 ^-5·3·10⁵ = 15 А/м²,

а амплитуда тока смещения пропорциональна частоте

_смm = ₀Е_m = 2f·4·8,85·10 ^-12·3·10⁵ = 667f·10 ^-7 А/м².

Для частоты f₁ = 0 (постоянный ток)

_см = 0,  = _пр = 15 А/м²,

для частоты f₂ = 400 кГц _смm = 667·4·10⁵·10 ^-7 = 26,68 А/м²,

 = 15sint + 26,68cost = 30,61sin(t + 60,66є) А/м².

По рассчитанному току напряжённость магнитного поля рассчитывает-ся с помощью первого уравнения Максвелла (по закону полного тока).

Далее возможны два варианта решения.

1) с использованием первого уравнения Максвелла в интегральной форме = i.

Выбрав контур в виде окружности радиуса r в пределах r(0 … а) для левой части уравнения получаем

= = Н = 2 rН.

Полный ток, связанный с контуром циркуляции, i = r ², таким образом,

Н = = Ѕr.

При постоянном токе (f₁ = 0) Н = Ѕ·15r = 7,5r А/м²,

B = ₀Н = 1·4 ·10 ^-7·7,5r = 94,2·10 ^-7·r Тл, где r[м].

При частоте f₂ = 4·10⁵ Гц синусоидального тока

Н = Ѕ·30,61r·sin(t + 60,66є) = 15,3·r·sin(t + 60,66є) А/м²,

B = ₀Н = 192·10 ^-7·r·sin(t + 60,66є) Тл.

2) вариант расчёта напряжённости магнитного поля с помощью первого уравнения Максвелла в дифференциальной форме rot = .

Раскрываем rot в цилиндрических координатах:

rot = =

= + + .

В соответствии с уравнением rot =  в выражении для rot должны отсутствовать первые два слагаемых и тогда

= .

По правилу правоходового винта Н_r = 0 и Н = Н_, поэтому далее получаем

= ,

после интегрирования rН = Ѕ r ² + C и Н = Ѕ r + .

Постоянная интегрирования C = 0, так как при r = 0 полный ток i = 0 и Н = 0.

Таким образом, по второму варианту решения

Н = Н_ = Ѕ r, что совпадает с ранее полученным результатом.
Задача 15.3. Цилиндрический конденсатор имеет два слоя несовер-шенной изоляции. Радиус внутреннего цилиндра r₀ = 1 см, радиус поверхнос-ти раздела двух диэлектриков r₁ = 2 см, внутренний радиус внешнего цилиндра r₂ = 2,5 см. Длина конденсатора l = 20 см. Относительная диэлект-рическая проницаемость внутреннего слоя ₁ = 5, его удельная проводимость ₁ = 8,66·10 ^-5 Cм/м, для внешнего слоя ₂ = 3, ₂ = 3·10 ^-5 Cм/м.

Конденсатор подключен к источнику синусоидального тока

i = I_msint = 0,628sint A, частота которого f = 18·10⁴ Гц.

Пренебрегая краевым эффектом, найти мгновенные значения радиаль-ных составляющих вектора напряжённости электрического поля для точек, лежащих между обкладками конденсатора на расстоянии r от оси цилиндра.

Определить мгновенное значение напряжения между обкладками конденсатора.

Решение

Рассмотрим два варианта решения задачи.

Вариант 1.

Используя теорию стационарных полей, рассчитаем проводимости и ёмкости каждого слоя несовершенного диэлектрика и построим схему замещения конденсатора в виде электрической цепи (рис. 15.2).

g₁ = = = 15,69·10 ^-5 Cм,

C₁ = = = 80,18·10 ^-12 Ф,

g₂ = = = 16,87·10 ^-5 Cм,

C₂ = = = 148,7·10 ^-12 Ф,

ёмкостные проводимости для заданной частоты

C₁ = 18·10⁴·2 ·80,18·10 ^-12 = 9,064·10 ^-5 Cм,

C₂ = 18·10⁴·2 ·148,7·10 ^-12 = 16,81·10 ^-5 Cм.

При части напряжения u₁ (рис. 15.2) токи параллельных ветвей

i_r1 = U_1msin(t + ₁)·g₁, i_C1 = C₁ = C₁U_1mcos(t + ₁),

а ток общей ветви i = i_r1 + i_C1 задан i = I_msint. Тогда

I_msint = U_1m[g₁sin(t + ₁) + C₁cos(t + ₁)].

Перейдём к символическому методу:

комплексная амплитуда общего тока I_m = I_m,

комплексная амплитуда напряжения U_1m = U_1m ,

комплексная проводимость параллельных ветвей

Y₁ = g₁ + jC₁ = (15,69 + j9,064)·10 ^-5 = 18,12·e ^j30є·10 ^-5 Cм.

Тогда U_1m = = = 3466e ^–j30є B.

Для второго разветвления получаем аналогично

U_2m = = = 2637e ^–j44,9є B.

Напряжение сети

U_m = U_1m + U_2m = 3466e ^–j30є + 2637e ^–j44,9є = 6053e ^–j36,5є B,

мгновенное значение напряжения сети

u(t) = Im(U_me ^jt) = 6053sin(t – 36,5є) B.

Вариант 2.

Ток общей части цепи рассматриваем как ток источника тока, растекающийся с жилы на оболочку в радиальном направлении цилиндрического кабеля, причём = i, а радиальная составляющая плотности полного тока  = = = sint A/м², причём r[м].

Комплексная амплитуда полного тока _m = = _m при _i = 0.

Плотность полного тока =  + ₀ .

При синусоидальной напряжённости поля

E = E_msin(t +_E) = Im(E_me ^jt), где E_m = E_m ,

 =  E_msin(t +_E) + ₀E_mсоs(t +_E) = Im(E_m( + j₀)e ^jt).

Рассчитаем закон изменения комплексных амплитуд радиальных составляющих напряжённостей электрического поля участков (рис. 15.2):

E_1m = = = e ^–j30є В/м,

E_2m = = = e ^–j45є В/м.

Комплексная амплитуда напряжения на первом слое диэлектрика

U_1m = = 5·10³e ^–j30єln = 5·10³e ^–j30єln2 = 3466e ^–j30є В,

на втором слое U_2m = = 11,79·10³e ^–j45єln = 2631e ^–j45є В.

Комплексная амплитуда напряжения между обкладками двухслойного цилиндрического конденсатора U_m = U_1m + U_2m = 6053e ^–j36,5є В,

мгновенное значение этого напряжения

u(t) = Im(U_me ^jt) = 6053sin(t – 36,5є) B,

что совпадает с ответом по 1 варианту расчёта.

Задача 15.4. Кольцо радиусом r₀ = 40 см выполнено из тонкой изолированной проволоки и короткими проводниками (длиной которых можно пренебречь) подсоединено к зажимам вольтметра электромагнитной системы (рис. 15.3). Кольцо помещено в равномерное магнитное поле, индукция которого

= ·0,1sin100t Тл.

Определить мгновенное значение rоt и найти показание вольтметра.

Решение

В соответствии со вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме

rоt = - = - ·0,1·100 ·соs100t = - ·31,4соs100t В/м.

Для расчёта индуктированной в контуре ЭДС возможны два пути

1) е = - = - (В· r₀²) = - ·0,4²·10 ·соs100t = -15,8соs100t В.

2) е = по контуру кольца.

Для этого по ранее рассчитанной функции rоt сначала требуется определить функцию . Раскрываем rоt в цилиндрических координатах:

rot = =

= + + .

Выше было получено, что вектор rоt имеет только осевую проекцию, поэтому в развёрнутом выражении для rоt отсутствуют первые два слагаемых, а так как вектор имеет только осевую составляющую, то Е_r = 0, Е_z = 0, а = и rot = .

Подставляем выше полученное выражение для rоt

-31,4соs100t = ,

после интегрирования по переменной координате r получаем

+ C = rE, откуда E = -15,7rсоs100t + В/м.

Из условий в нуле (r → 0) следует, что постоянная интегрирования C = 0 (на оси контура нет условий, при которых E → ). Таким образом, на образующей цилиндра с учётом того, что dl = r₀d получаем

е = = -15,7соs100t = -15,7r₀²2 ·соs100t = -15,8соs100t В.

Вольтметр электромагнитной системы измеряет действующее значение индуктированной в контуре ЭДС, его показание U_V = = 11,2 B.

Задача 15.5. По уединённому медному проводу радиусом а = 0,5 см протекает постоянный ток I = 500 А. Удельная проводимость меди  = = 5,7·10 ⁷ Cм/м. Длина провода l = 50 м.

Найти поток мощности, входящий внутрь провода, и с его помощью определить сопротивление провода R. Сравнить полученное значение с сопротивлением, подсчитанным по формуле R = .

Ответ: Р = 2794 Вт, R = 0,0112 Ом.
следующая страница>