Фигуры равновесия с полярным кольцом

© 2011 г. Б.П. Кондратьев

Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, С. Петербург
Удмуртский Государственный Университет, г. Ижевск

1. 
   Введение
   

О галактиках с полярными кольцами заговорили сравнительно недавно (см., например, В.П. Решетников, 2005], хотя необычная кинематика некоторых объектов (например, веретенообразной галактики NGC 2685) привлекала внимание астрономов ещё в эпоху проникновения в мир галактик (К. Ф.Огородников 1958, Б.А. В-В 1978). С развитием техники наблюдений класс галактик с полярными кольцами пополнился яркими примерами. Однако до сих пор такие звездные системы относят к любопытным курьёзам и ограничиваются исследованием их строения и кинематики. Для более полного понимания галактик с полярными кольцами необходимо изучать, конечно, их динамику. С точки зрения теории фигур равновесия задача о галактиках с полярными кольцами представляет большой интерес и на этом пути открываются новые перспективы.

Ранее мы уже рассматривали (Кондратьев и Трубицына, 2009) влияние внешних колец на фигуру равновесия, экватор которой совпадает с плоскостью внешнего кольца . Внешний потенциал в этом случае состоит из одной зональной гармоники

, (1)

где радиус кольца, его плотность. Однако до сих пор не изучен другой, более сложный случай гравитационного влияния кольца на фигуру, когда плоскость кольца перпендикулярна её экватору.

В данной работе мы изучаем именно такую модель. На первом этапе задача заключается в выяснении общих динамических и кинематических свойств фигуры, подверженной влиянию полярного кольца. Для преодоления больших технических трудностей целесообразным является метод приливных возмущений от кольца на галактику. Обратным влиянием галактики на кольцо мы пренебрегаем.

2. Постановка задачи

Тонкое круглое гравитирующее кольцо (обруч) радиусомс одномерной однородной плотностью ориентировано так, что его ось симметрии направлена по оси декартовых координат. Разложение потенциала кольца в ряд по степеням декартовых координат пробной точки с сохранением квадратичных членов (приливное приближение) дает

(2)

Первый член в (2) есть величина постоянная, второй член является главным

(3)

Внутри кольца расположена фигура вращающейся гравитирующей жидкости (или галактика из звезд). Эта фигура может разными способами быть ориентирована относительно внешнего кольца. В данной работе мы изучаем наиболее сложный вариант задачи, когда экваториальная плоскость фигуры равновесия перпендикулярна плоскости кольца.

Пусть в невозмущенном состоянии (без кольца) фигура равновесия представлена однородным сфероидом Маклорена с граничной поверхностью

(4)

Этот сфероид вращается с угловой скоростью вокруг оси , и во вращающейся системе отсчета описывается уравнениями [5]:

(5)

Здесь однородная плотность, давление в жидкости, внутренний потенциал сфероида целесообразно представить в интегральном виде

         (6)

Из уравнений (5) следует интеграл для давления

(7)

На самой поверхности давление равно нулю, и в любой внутренней точке формула (7) задает уровенные поверхности. Уровенной будет и граничная поверхность сфероида.

Для невозмущенного сфероида Маклорена должны выполняться пропорциональности

(8)

откуда квадрат его угловой скорости

(9)

Целью работы является изучение влияния внешнего кольца на сфероид Маклорена, поэтому заметим, что потенциал кольца (3) можно представить суммой зональной и секторной гармоник (сравните с потенциалом (1)!)

(10)

Такое подразделение обосновано разной динамической ролью этих гармоник: зональная уменьшают сжатие исследуемой фигуры, а секторная гармоника делает фигуру нестационарной (создаёт малые пульсации). Обе гармоники деформируют поверхность исходной фигуры и создают в ней внутреннее поле скоростей. Вращение и нестационарность делают весьма непростым учет взаимодействия эллипсоида с внешним кольцом. Данная задача о вынужденных колебаниях фигуры оказывается сложнее классической задачи о тороидальных колебаниях сфероида Маклорена, изученных ранее Чандрасекхаром (Чандрасекхар, 1973). Переходим к её анализу.

3. Уравнения гидродинамики

Внутреннее поле скоростей фигуры обозначим через . Гидродинамические уравнения во вращающейся с угловой скоростью системе координат имеют вид

(11)

где внутренний потенциал фигуры, а потенциал внешнего кольца.

Уравнение неразрывности выражает сохранение объема

(12)

4. Линеаризация уравнений

Угловая скорость принята соответствующей равновесному сфероиду Маклорена без участия приливных сил. Поэтому вышеприведенные уравнения (11) должны удовлетворяться при и . В возмущенном состоянии поверхность фигуры равновесия (4) принимает вид эллипсоида

(13)

( малы).

Проверим сохранение объёма. В общем виде объем эллипсоида

(14)

пропорционален произведению площади эллипса

(15)

на полутолщину всей фигуры . Сама площадь эллипса равна следовательно, объем пропорционален

(16)

В нашем случае, сравнивая (14) и (13), согласно (16) имеем

(17)

Оставляя здесь малые величины первого порядка, сохранение объема сфероида при малой квадратичной деформации

        

представим в виде уравнения для коэффициентов

(18)

При возмущении от кольца внутри фигуры появляются компоненты внутреннего поля скоростей , которые вместе с потенциалом кольца также считаем малыми. Поэтому в левых частях уравнений гидродинамики (11) пренебрегаем квадратами скоростей и все инерционные члены типа опускаем. Собственный гравитационный потенциал возмущенной фигуры в общем виде равен

(19)

где дано в (6).

Вводим также поправку в давление

(20)

В итоге, после процедуры линеаризации уравнения гидродинамики (11) примут вид

(21)

5. Внутреннее поле скоростей и граничные условия для него

Ищем решение системы уравнений (21) в виде линейного поля скоростей

(22)

Уравнение неразрывности требует

(23)

По условиям задачи, в возмущенной фигуре сохраняется симметрия относительно экваториальной плоскости. То же условие симметрии применяем и к полю скоростей: зеркальное отражение в плоскости не должно менять этого поля и уравнения

(24)

должны совпадать с исходными (22). Требуем поэтому

(25)

Таким образом, с учетом (23), из (24) имеем поле скоростей в виде            (26)

Коэффициенты малы и являются неизвестными функциями времени.

Наличие третьей компоненты скорости делает колебания рассматриваемой фигуры более сложными, нежели классические тороидальные колебания сфероида Маклорена.

Чтобы внутренние течения не нарушали граничную поверхность массы , должно выполняться условие (Кондратьев, 2003)

           (27)

Подставляя сюда уравнение границы (13), с учетом компонент (26) получим

(28)

(точка сверху- производная по времени). Делая здесь перегруппировку и приравнивая нулю коэффициенты при с точностью до членов первого порядка малости получим соотношения

(29)

Четыре уравнения (29) связывают коэффициенты поля скоростей с производными от коэффициентов деформации поверхности. Заметим, что в (29) независимыми являются только три уравнения. Действительно, складывая там первое и второе и приравнивая сумму четвертому, после интегрирования получим уже известное условие (18) сохранения объема фигуры.

6. Вариация потенциала фигуры

6.1 Случай

В частном случае в (13), сфероид при возмущении превращается в трехосный эллипсоид с той же ориентацией полуосей, квадраты которых суть

(30)

С требуемой точностью полуоси этого эллипсоида равны

         (31)

Далее, внутренний потенциал всякого трехосного эллипсоида равен

(32)

куда в данном случае подставляем квадраты полуосей из (30). При этом:

(33)

и новый (полный) потенциал будет равен

(34)

Приращение потенциала в данном случае

    (35)

6.2. Случай

В случае, когда в (13) возмущение поверхности фигуры содержит только член с , новое уравнение поверхности

(36)

переписываем в системе координат, повернутой на :

          (37)
Поэтому в новой системе координат фактически применяется предыдущая формула для из (35) с т.е.

(38)

6.3. Общий случай возмущения поверхности

В общем случае, когда в (13) отличны от нуля все коэффициенты, с учетом (35) и (38) возмущение потенциала будет иметь вид

     (39)

7. Поверхностный слой

Малую деформацию поверхности сфероида (13) можно представить как наложение на поверхность (4) слоя малой толщины , которая может иметь как отрицательные, так и положительные значения. Изменение толщины слоя происходит по закону

                                                                    (40)

где направляющие косинусы нормали к сфероиду

(41)

В линеаризованных уравнениях зависимость величин от времени берется в виде и дифференцирование по времени можно заменить умножением

          (42)

Частоту вынужденных колебаний , исходя из физических соображений, берем равной

(43)

Тогда относительную толщину слоя (40) запишем в виде

. (44)

Важно заметить, что граничное условие (28) можно записать и через Действительно, прямое дифференцирование по времени уравнения возмущенной поверхности (13) с учетом (44) даёт:

(45)

Соотношение (45) понадобится при выводе граничного условия для давления.

8. Граничное условие для давления

Вариация давления на поверхности фигуры должна удовлетворять требованию

                                            (46)

Производная по нормали

(47)

так что с учетом уравнений (5)

        . (48)

Входящие в правую часть (48) комбинации величин для сфероида Маклорена (разд. 2) равны:

(49)

Поэтому

  (50)

(дано в (41)). Граничное условие (46) для давления примет вид

(51)

Но в согласии с (20), граничное условие для давления (51) можно записать также как

    (52)

И здесь важно подчеркнуть, что давление на поверхности возмущенной фигуры должно оставаться равным , поэтому граничное условие (52) должно быть пропорционально поверхности невозмущенного сфероида (4). Это условие даёт нам ещё три уравнения

        (53)

которые позволят из четырех неизвестных оставить далее только одно

9. Система уравнений для неизвестных функций времени
С учетом известного, уравнения (21) дают:

(54)

Но на самом деле в (54) не три, а пять независимых уравнений: разделяя первые два уравнения на множители при и , и заменяя все производные по образцу (42), находим:

(55)

Последние два уравнения следуют из (53). Кроме того, мы имеем ещё четыре независимых уравнения (одно из (18) и три из (29)):

(56)

Для краткости в (55) введены тензорные символы

           (57)

Итак, в (55) и (56) дана замкнутая система из 11 линейных алгебраических уравнений для 11 неизвестных

(58)

Три уравнения из (55) содержат постоянные члены, так что система уравнений не является однородной.

Таким образом, в принципиальном отношении задача решена.

Для нестационарности внутренней фигуры существенна только секториальная гармоника от кольца, с которой

- координаты по отношению к неподвижной точке. Удобно ввести комплексные параметры, тогда рассматривается как вещественная часть некоторого комплексного выражения

Гидродинамические уравнения дают

При разложении и выделении коэффициентов получим

Исключаем давление перекрестным дифференцированием

Пытаемся заменить три уравнения на одно

или

    

Далее

или

Наконец, последнее, третье уравнение

Результат интегрирования

При этом

Параметры связаны со скоростями. Дифференцирование возмущенного уравнения поверхности дает

или

Подставляем в выражение

Литература

В. П. Решетников. Эти странные галактики с полярными кольцами. Природа, №3,2005
К. Ф. Огородников. Динамик4а звездных систем М.: Физматгиз, 1958

Б.А.Воронцов-Вельяминов. Внегалактическая астроном. М.: Наука, 1978

Кондратьев и Трубицына

Чандрасекхар Эллипсоидальные фигуры равновесия М.:Мир,1973

Б.П.Кондратьев. Теория потенциала и фигуры равновесия. М.-Ижевск, 2003