Исследование математических моделей начинается с записи формальной модели на языке определенной области математики: алгебры, геометрии и так далее

Исследование математических моделей

Исследование математических моделей начинается с записи формальной модели на языке определенной области математики: алгебры, геометрии и так далее.

Приближенное решение уравнений

На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы. Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические, числовые и др.). Такие методы ещё называют «численными методами». Они позволяют получать решения с определённой степенью точности.

Графический метод. Построение графиков функций может использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Для не имеющего точного алгебраического решения уравнения вида f(x) = 0, где f(x) — некоторая непрерывная функция, корень (или корни) этого уравнения является точкой (или точками) пересечения графика функции с осью ОХ.
Один из численных методов носит название «МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ»
МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Качественная модель метода

С помощью метода половинного деления всегда можно получить приближённые значения максимума и ли минимума функции или корень уравнения вида f(x)=0 на отрезке [A;B]. Корень вычисляется с любой точностью при условии, что функция f(x) непрерывна на этом отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков.

Ф
Пусть уравнение вида f(x) =0имеет на отрезке [A;B] единственный корень, причём функция f(x) непрерывна и на её концах принимает значения разных знаков.

Разделим отрезок [A;B] пополам точкой С: С=
ормальная модель.

y

f(x)=0

В

А В

А С В С¹¹ С¹ В

С¹¹¹ х

Если f(С), то
1) либо f(x) меняет знак на отрезке [A;С]

2) либо f(x) меняет знак на отрезке [С;В]

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Если на каком-то этапе получен отрезок [A;B], содержащий корень, то приняв х = , получим погрешность (ошибку): d =

Компьютерная модель

Разработаем на языке Visual Basic, а затем проверим её в электронной таблице Microsoft Excel, компьютерную модель, позволяющую определять площадь круга методом Монте-Карло.

ЗАДАЧА Уравнение

имеет единственный корень на отрезке [1,3;1,5]. Найти этот корень с точностью Е (которую необходимо задавать с клавиатуры).

ПРИМЕР ПРОГРАММЫ

Метод половинного деления:

Private Sub cmd1_Click()

'график

'Задание масштаба

PicGraph.Scale (-1.5, 2)-(1.5, -2)

'Ось Х

PicGraph.Line (-1.5, 0)-(1.5, 0)

For i = -1.5 To 1.5 Step 0.5

PicGraph.PSet (i, 0) : PicGraph.Print i

Next i

'Ось Y

PicGraph.Line (0, 2)-(0, -2)

For i = -2 To 2

PicGraph.PSet (0, i) : PicGraph.Print i

Next i

'Построение графика

For X = -2 To 2 Step 0.01

PicGraph.PSet (X, X ^ 3 - Cos(X))

Next X

End Sub
Private Sub Cmd2_Click()

A = Val(TxtA.Text) : B = Val(TxtB.Text) : E = Val(TxtE.Text)

C = (A + B) / 2

If (A ^ 3 - Cos(A)) * (C ^ 3 - Cos(C)) < 0 Then

B = C

Else

A = C

End If

Loop While Abs((B - A)) / 2 > E

TxtX.Text = (A + B) / 2

End Sub

Пример программы в архиве Пример01.rar

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

позволяет вычислять с определённой степенью точности площадь сложной фигуры.

Для простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) существуют формулы вычисления их площадей. Надо лишь в известные формулы подставить исходные данные. Но как быть, если фигура имеет сложную форму?

Итак, дана фигура сложной формы, вычислить её площадь.

Поместим данную фигуру в квадрат. Будем случайным образом «бросать» точки в этот квадрат. Естественно предполагать, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки.

Представь себе квадратный дворик и в нём детскую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади.

Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближённо равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: .

Таким образом, зная площадь прямоугольника и подсчитав количество точек, можно определить площадь фигуры:
N_общ – общее количество точек

N_F – количество точек, попавших внутрь фигуры

S_общ– площадь квадрата S_N – площадь фигуры

ЗАДАЧА: Вычислить площадь круга с центром в точке (0; 0) и радиусом R.
Вероятностные модели базируются на использовании больших серий испытаний со случайными параметрами, причем точность полученных результатов зависит от количества проведенных опытов. Воспользуемся методом Монте-Карло для приближенного вычисления площадей геометрических фигур.
Качественная модель метода Монте-Карло.

Сначала построим качественную вероятностную модель данного метода:

• поместим геометрическую фигуру полностью внутрь квадрата;

• будем случайным образом «бросать» точку в этот квадрат, то есть с помощью генератора случайных чисел задавать точкам координаты внутри квадрата;

• будем считать, что отношение числа точек, попавших внутрь фигуры, к общему числу точек в квадрате приблизительно равно отношению площади фигуры к площади квадрата, причем это отношение тем точнее, чем больше количество точек.

Формальная модель.

Построим формальную модель для вычисления площади круга радиуса R, центр которого совпадает с началом координат.

Круг вписан в квадрат со стороной 2R, площадь которого вычисляется как 4R² .

Пусть N — количество точек, которые случайным образом генерируются внутри квадрата. Случайный выбор координат точек, которые попадают внутрь квадрата (N точек), должен производиться так, чтобы

координаты точек х и у удовлетворяли условиям: -R < х < R и -R < у < R.

Пусть М — количество точек, попавших внутрь круга, то есть их координаты удовлетворяют условию: х² + у² < R².

Тогда площадь круга можно вычислить по формуле; S = 4R² • M/N.
Компьютерная модель. Разработаем на языке Visual Basic компьютерную модель, позволяющую определять площадь круга методом Монте-Карло.

ПРОГРАММЫ:
Метод Монте-Карло для окружности

txtS.Text = 4 * R ^ 2 * M / N

'Ось X

pic1.Line (-(R + 1), 0)-(R + 1, 0)

For I = -(R + 1) To R + 1

pic1.PSet (I, 0)

pic1.Print I

Next I

'Ось Y

pic1.Line (0, -(R + 1))-(0, R + 1)

For I = -(R + 1) To R + 1

pic1.PSet (0, I)

pic1.Print I

Next I

End Sub
im X, Y As Double, I, N, M, R As Long, S As Double

Private Sub cmd1_Click()

M = 0

pic1.Cls

R = Val(txtR)

N = Val(txtN)

pic1.Scale (-(R + 1), R + 1)-(R + 1, -(R + 1))

pic1.Line (-R, R)-(R, -R), , B

pic1.Circle (0, 0), R

'Генерация точек

For I = 1 To N

X = 2 * R * Rnd – R

Y = 2 * R * Rnd – R

pic1.PSet (X, Y)

If X ^ 2 + Y ^ 2 <= R^2 Then M = M + 1

Next I

ЗАДАНИЕ: Определить методом Монте-Карло площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (-1,0); (0,1); (1,0)
ПРОГРАММЫ:
Метод Монте-Карло для треугольника
Dim dblX, dblY As Double, I, N, M, a As Long, s As Double

Private Sub Command1_Click()

M = 0

Pic1.Cls

a = Val(Text1)

N = Val(Text2)

'оси координат

Pic1.Scale (-(a + 1), a + 1)-(a + 1, -(a + 1))

Pic1.Line (-a, a)-(a, 0), , B

Pic1.Line (-a, 0)-(0, a)

Pic1.Line (0, a)-(a, 0)

Pic1.Line (-(a + 1), 0)-(a + 1, 0)

For I = -(a + 1) To a + 1

Pic1.PSet (I, 0)

Pic1.Print I

Next I

Pic1.Line (0, -(a + 1))-(0, a + 1)

For I = -(a + 1) To a + 1

Pic1.PSet (0, I)

Pic1.Print I

Next I
'ввод данных и расчёт

For I = 1 To N

dblX = 2 * a * Rnd - a

dblY = a * Rnd

Pic1.PSet (dblX, dblY)

If dblY <= 1 - Abs(x) Then M = M + 1

Next I

Text3.Text = 3 * a * (M / N)

End Sub

Примеры программ в архиве Приложение5.rar