ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

(Контрольная работа № 1 «Элементы алгебры и геометрии»)
В задачах 36-40 исследовать данную систему уравнений на совместимость и решать ее, если она совместна.
37.

Решение:

Исследуем данную систему уравнений на совместимость. Для этого найдем определитель:

Найдем вспомогательный определитель:

Так как определитель системы равен нулю, а один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не совместима.

Ответ: решений нет.
В задачах 51-55 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность.
51. А (4;-1), В (2;), R=.

Решение:

1) Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Поставим в это уравнение координаты точек А и В и решим получившуюся систему уравнений:

Имеем каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки А и В:

2) Большая полуось эллипса равна: , малая полуось эллипса равна . Найдем параметр с эллипса:

Фокусы эллипса имеют координаты:

и

Вычислим эксцентриситет эллипса:

3) Составим уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R=:

Объединим уравнение окружности и уравнение эллипса в систему и, решив эту систему, найдем координаты точек пересечения эллипса с окружностью:

Система не имеет решений, следовательно, эллипс и окружность не пересекаются.

4) Построим эллипс и окружность:

В задачах 61-80 даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

66. А (-4;2;-1), В (0;6;-3), С (-2;13;-11), D (-4;4;0).

Решение:

1) Запишем векторы АВ, АС и АД в системе орт и найдем модули этих векторов:

2) Косинус угла между векторами АВ и АС вычислим по формуле:

3) Проекцию вектора АД на вектор АВ найдем по формуле:

4) Площадь грани АВС вычислим по формуле:

Найдем векторное произведение векторов АВ и АС:

Вычислим площадь грани АВС:

5) Объем пирамиды АВСД вычислим по формуле:

Найдем смешанное произведение векторов АВ, АС и АД:

Вычислим объем пирамиды АВСД:

В задачах 91-100 даны координаты точек А, В, С и М.

Найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хОz, уОz; 4) расстояние от точки М плоскости Q.

100. А (3;4;-1), В (2;-4;2), С (5;6;0), М (11;-3;-12).

Решение:

1) Уравнение плоскости составим, исходя из условия, что произведение трех любых векторов, лежащих в одной плоскости, равно нулю. Пусть точка К(х;у;z) принадлежит искомой плоскости. Запишем координаты векторов АВ, АС и АК:

Найдем смешанное произведение этих векторов и, приравняв его к нулю, найдем уравнение плоскости Q:

2) Так как прямая МН перпендикулярна плоскости Q, то ее направляющий вектор равен вектору нормали плоскости, т.е.

Зная координаты направляющего вектора и точки на прямой, запишем каноническое уравнение прямой:

3) Чтобы найти точку пересечения прямой МН с плоскостью Q, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим получившиеся выражения в уравнение плоскости Q:

Найдем координаты точки Н:

Найдем координаты точек пересечения прямой с координатными плоскостями.

Прямая пересекает плоскость ХОУ в точке, у которой координата z=0, т.е.

Найдем координаты х и у этой точки:

Имеем: точка Р(-1;3;0) – точка пересечения прямой с плоскостью ХОУ

Аналогично найдем точки пересечения прямой с плоскостями XOZ и ZOY.

Для точки пересечения прямой с XOZ координата у=0, т.е.:

Имеем:

Точка Т(5;0;-6) – точка пересечения с плоскостью XOZ.

Для точки пересечения прямой с YOZ координата x=0, т.е.:

Имеем:

Точка R(0;2.5;-1) – точка пересечения с плоскостью YOZ.

4) Вычислим расстояние от точки М до плоскости Q:




ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

(Контрольная работа № 2 «Производная и дифференциал»)

В задачах 101-120 найти указанные пределы.

111. а)

б)

в)

г)

В задачах 131-140 функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3) сделать чертеж.
132.

Исследуем функцию на разрыв в точках х=-2 и х=1. Для этого найдем односторонние пределы и значение функции в этих точках.

х=-2

Функция существует в точке х=-2 и значение функции в этой точке совпадает со значениями односторонних пределов при х стремящемся к -2, следовательно, точка х=-2 не является точкой разрыва.

х=1

Односторонние пределы функции при х стремящемся к 1 существуют, но они не равны, следовательно, точка х=1 является точкой разрыва первого рода, скачок функции в этой точке равен 3-1=2

Сделаем чертеж:

В задачах 141-160 найти производные , пользуясь формулами дифференцирования.

153. а)

<sub>Прологарифмируем данную функцию:



Найдем производную:</sub>

б)

в)

г)

д)

_{Прологарифмируем данную функцию:}

Найдем производную:

В задачах 191-200 найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
195. sin27⁰.

Введем функцию y=sin x. Чтобы найти приближенное значение функции воспользуемся формулой:

,

где х=27^о, х₀=30^о

В задачах 221-240 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.

237.

1) Область определения функции.

Переменная х может принимать любое значение, т.е.

2) Непрерывность и точки разрыва.

Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

3) Четность.

Функция ни четная, ни нечетная

4) Экстремумы.

Чтобы исследовать функцию на наличие экстремумов, найдем ее производную:

5) Выпуклость. Точки перегиба.

Чтобы исследовать функцию на наличие точек перегиба, найдем ее вторую производную:





- точка перегиба

6) Асимптоты.

Точек разрыва нет, следовательно, вертикальных асимптот нет

Исследуем функцию на наличие горизонтальных асимптот. Найдем предел:

у=0 – горизонтальная асимптота.

Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот. Найдем предел:

Наклонных асимптот нет.

7) График.



279. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R=3, вращается вокруг основания. Найти высоту треугольника h, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем.

Если равнобедренный треугольник вращается вокруг своего основания, то тело получится такое:

То есть это будут 2 прямых круговых конуса с основанием радиусом h и высотой, равной половине основания треугольника.

По теореме синусов синус угла при основании равен:

,

где а – длина равных сторон треугольника.

Так же синус угла при основании равен:

Таким образом:

По теореме Пифагора:

где b – длина основания треугольника

То есть:

Объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника вокруг своего основания, равен:

Найдем производную функции V(h):

Эта функция имеет максимум при h=5, т.е. наибольший объем тела вращения достигается при высоте треугольника, равной 5

В задачах 301-320 найти неопределенные интегралы.

311. а)

б)

в)
В задачах 321-340 вычислить определенные интегралы.
332.
В задачах 351-360 найти: 1) точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближенное значение интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знака; 3) относительную погрешность в процентах.
353.

1) Найдем точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

2) Найдем приближенное значение интеграла, применив формулу трапеций.

Для удобства сделаем чертеж:

По формуле трапеций интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, т.е.

В нашем случае таких трапеций 8.

Площадь прямоугольной трапеции вычисляется по формуле:

Шаг h (который равен высоте трапеции) в нашем случае равен

Найдем площади трапеций:

Найдем интеграл:

Вычислим погрешность:


374. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностями .

Площадь фигуры получим как разность между площадями окружностей и , т.е.

В задачах 381-400 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

395.

Интеграл расходится.