ВСЕРОСИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа по дисциплине: « Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант 10

Выполнила: студентка IIII курса (вечер)

Кашолина Мария Семёновна

Факультет: финансово-кредитный

Специальность: финансы и кредит

Личный номер: 07ФФД11820
Проверила: доц. Князева И.В.

Калуга 2009

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Введем следующие обозначения:

х₁ – количество первого напитка («Лимонад»)

х₂ – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х₁ (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х₂ (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х_1,х₂) = 0,1 х₁ + 0,3 х₂.

Ограничения задачи имеют вид: 0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ 16;

х_1,2 0.

Построим прямые, соответствующие ограничениям задачи: первая прямая имеет вид 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24, решением ее служат точки (1200;0)

и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

рис. 1 Область допустимых решений

На рисунке 1 серым цветом обозначена область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся в направлении вектора-градиента.

Решая систему уравнений

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16.

Находим, что х₁ = 800, х₂ = 200.

max f(х_1,х₂) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х₁ = 800, х₂ = 200). Если задачу решать на min, то f(min)= ∞, т.е. не имеет конечного оптимума, т.к. область допустимых значений не ограничена снизу.

Задача 2.

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд Сырье 1 Сырье 2 Оборудование	3 20 10 0	6 15 15 3	4 20 20 5	2000 15000 7400 1500
Цена изделия	6	10	9

Требуется:

1. 
   Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
   
2. 
   Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
   
3. 
   Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
   
4. 
   На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
   

• 
  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
  
• 
  определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;
  
• 
  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.
  

Решение

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем условные обозначения:

х₁ – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

х₂ – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

х₃ – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

Целевая функция имеет вид:

max f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃

Ограничения задачи имеют вид:

3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃2000

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃15000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃7400

3 х₂ +5 х₃1500

х_1,2,30

Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)

рис. 2 Поиск оптимального плана

рис.3 Поиск оптимального плана

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из
15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис.4)

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$F$2	ЦФ	0	4110
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$2	значение х1	520	520
	$C$2	значение х2	0	0
	$D$2	значение х3	110	110
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$E$8	Труд Левая часть	2000	$E$8<=$G$8	связанное	0
	$E$9	Сырье 1 Левая часть	12600	$E$9<=$G$9	не связан.	2400
	$E$11	Сырье 3 Левая часть	550	$E$11<=$G$11	не связан.	950
	$E$10	Сырье 2 Левая часть	7400	$E$10<=$G$10	связанное	0

рис. 4. Содержание отчета по результатам

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х₁, х ₂, х ₃, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

()* = (520;0;110)

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y₁ – двойственная оценка ресурса «Труд»

y₂ – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y₃ – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y₄ – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y_4.

Необходимо найти такие «цены» на типы ресурсов (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6;

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄10;

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄9.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

= 0, тогда

y₁(3 х₁+ 6 х₂+4 х₃ – 2000) = 0;

y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 15000) = 0;

y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 7400) = 0;

y₄(3 х₂ + 5 х₃ – 1500) = 0.

()* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора в полученное выражение

y₁(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;

y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;

y₄(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.

Отсюда получим

y₁(2 000- 2 000) = 0;

y₂ (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

y₃ (7400-7400) = 0;

y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если >0, то

В нашей задаче х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х₁(3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ – 6) = 0;

х₂(6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ -10) = 0;

х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ –9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у₁ + 20*у₂+10у₃-6=0

у₂ = 0

4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

у₄ = 0,

получим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности

g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$2	значение х1	520	0	6	0,75	0,416666667
	$C$2	значение х2	0	-1,25	10	1,25	1E+30
	$D$2	значение х3	110	0	9	1,666666667	1
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$E$8	Труд Левая часть	2000	1,5	2000	220	380
	$E$9	Сырье 1 Левая часть	12600	0	15000	1E+30	2400
	$E$11	Сырье 3 Левая часть	550	0	1500	1E+30	950
	$E$10	Сырье 2 Левая часть	7400	0,15	7400	1266,666667	733,3333333

рис. 5. Отчет по устойчивости

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора : ()* = (1,5;0;0,15;0)

3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃6 3*1,5 + 20*0+10*0,156 6=6;

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄10 6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*010 11,25>10;

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄9 4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*09 9=9.

Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно
и в отчете по устойчивости (рис. 5), значение х₂ (нормир. стоимость)
равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• 
  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:
  

20002000 74007400

1260015000 5501500

Запасы по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно.

• 
  Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.
  

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется:

f() =

=24 =24*1,5=36

f(x)^*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)
Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y₁ = 1,5 3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃2000 + 24

у₂=0 20 х₁ + 15 х₂ +20 х₃ ≤15000

y₃ = 0,15 10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃7400

y₄ = 0 0 х₁ + 3 х₂ + 5 х₃1500

Решим систему уравнений:

3 х₁ + 4 х₃ = 2024

10 х₁ + 20 х₃ = 7400,
откуда х₁ = 544,

х₃ = .

Таким образом, новый оптимальный план () = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.

• 
  Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.
  

8 y₁ + 4 y₂ + 20 y₃ + 6 y₄=11

подставим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

12+3=11

15=11, т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 2 выберите числовые значения для таблицы 3.

Таблица 2

Вариант	Для первой строки				Для второй строки				Для третьей строки
10	0,1	0,1	0,2	160	0,1	0,2	0,3	180	0,1	0,2	0,3	170

Таблица 3

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аi j			Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	1А 1Б 1В	2А 2Б 2В	3А 3Б 3В	4А 4Б 4В

следующая страница>