Лабораторная работа № 11
Основы кристаллооптики.

Интерференция поляризованного света.
Цель работы: изучение распространения электромагнитных волн

в анизотропных средах; наблюдение интерференции

поляризованного света и измерение оптической

анизотропии кристалла кварца.

Введение.

Для анизотропного диэлектрика становится неверной простая зависимость D = εE, которой пользуются при описании любой изотропной среды.

В случае прохождения электромагнитной волны через анизотропную среду связь между D и Е задается более сложным соотношением

Эти уравнения можно переписать в более компактной форме

Девять величин являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости, следовательно, вектор D равен произведению этого тензора на вектор Е.

Решения уравнений Максвелла в этом случае показывают, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным, т.е. ε_kl = ε_lk.

Для любого кристалла можно найти три главных направления и связать их с координатными осями x, y, z. В этом случае тензор диэлектрической проницаемости примет диагональный вид и связь D и Е упростится

В выбранных таким образом координатах x, y, z выполняется соотношение

Это есть уравнение некого эллипсоида. Его называют эллипсоидом Френеля. Используя равенство ε = n², уравнение можно записать в виде

Полученное уравнение есть уравнение поверхности, называемой оптической индикатрисой. В общем случае это трехосный эллипсоид.

z
p n_z

0 n_y

n_z y
x

Рис. 1

Оптическая индикатриса обладает следующим важным свойством. Если из её центра провести прямую 0Р вдоль распространения волнового фронта, то центральное сечение, перпендикулярное этому направлению будет эллипсом, длины полуосей которого являются показателями преломления волн, распространяющихся в направлении 0Р.

Пусть в общем случае n_x ≠ n_y ≠ n_z. В кристаллофизике их принято обозначать n_g, n_m, n_p, где n_g - наибольший, а n_p - наименьший показатель преломления. В этом случае в индикатрисе найдутся два симметричных направления, в которых сечения будут круговыми. Эти направления будут лежать в плоскости n_g, n_p. В этих направлениях n = const. и кристалл будет вести себя как изотропная среда. Эти направления называют оптическими осями. А такие кристаллы называют двуосными. К ним относятся кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической сингоний.

Если n_m = n_p = n_o, a n_g = n_e, то трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения. Показатель преломления n_o называют обыкновенным, n_e - необыкновенным. У эллипсоида вращения, индикатрисы такого кристалла только одно круговое сечение, поэтому их называют одноосными.

Если n_e > n_o, то кристалл называют оптически положительным. Если n_e < n_o, то такой кристалл называют оптически отрицательным. У оптически положительного кристалла индикатриса вытянута вдоль оптической оси, а у отрицательного сплюснута.

Для более четкого понимания прохождения света через кристаллы вводят еще ряд поверхностей, которые описывают оптические свойства кристаллов. Если в качестве главных полуосей использовать отрезки, равные V_x , V_y , V_z , то получается поверхность, описываемая в декартовой системе координат уравнением


Её называют эллипсоидом Френеля.

Проанализируем несколько случаев прохождения света через одноосный

z
E_z n_e E^'_z
n_o x

y

Рис. 2
кристалл. Пусть вектор Е в падающей волне направлен вдоль оси Z, тогда для падающей волны, распространяющейся вдоль оси Х (рис. 2)
.

Внутри кристалла, если его оптическая ось параллельна оси Z, будет распространятся волна

, где V^'_x = c/n_e.
Совершенно аналогичные рассуждения нас приведут к случаю, если Е || Y, т.е. после выхода из кристалла свет имеет плоскую поляризацию параллельную соответствующей оси.

Пусть теперь вектор Е в падающем луче лежит в плоскости YZ и составляет угол α с осью Z (рис. 3).

z

E_z n_e E^'_z

E

α x

n_o

E_y y E^'_y

Рис. 3

Разложим Е на составляющий E_z и E_y, тогда в кристалле будут распространяться две волны со взаимно перпендикулярными колебаниями векторов Е. Они будут иметь разные скорости

В зависимости от толщины кристалла между E^'_z и E^'_y возникнет разность фаз δ и следовательно на выходе в общем случае получится эллиптически поляризованная волна.

Рассмотрим более общий случай, когда естественный свет падает на границу раздела двух сред под произвольным углом и произвольной ориентацией вектора Е (рис. 4). Сориентируем оси системы координат, главные оси кристалла и световую волну так, что n_e || Z, n_o || X, тогда рассматриваемый случай будет плоским.
E_z z

n_e

E_y φ
x

n_o

y

φ₁ φ₂

Рис. 4

Заменив естественную волну двумя плоскими волнами Е_z и Е_y, получим

.
Так как n_e ≠ n_o, то φ_{1 ≠} φ₂, следовательно в кристалле будут распространяться две разные волны со взаимно перпендикулярными векторами Е в различных направлениях. Впервые это явление открыл Эразм Бартолини, а объяснил его с волновых позиций Гюйгенс. Оно было названо двойным лучепреломлением.

Двойное лучепреломление наглядно иллюстрируют построения Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред (воздух - кристалл) падает плоская волна. Если кристалл одноосный и оптически положительный, а оптическая ось параллельна границе раздела сред, то распространение света в кристалле можно изобразить поверхностями Френеля. Они описываются концом вектора скорости обыкновенной и необыкновенной волн.

Воздух

0
V_e

V_o

Кристалл n_o n_e
Рис. 5
В нашем случае распространение обыкновенной волны описывается сферой, а необыкновенной эллипсоидом вращения с полуосями V_o и V_e. На рис. 5 представлены построения Гюйгенса, которые показывают, что в кристалле будут распространяться две волны "обыкновенная n_o" и "необыкновенная n_е" по разным направлениям.

Световые волны, проходя через кристаллы, проявляют интерференцию. Эти явления очень красочны и информативны. По интерференционной окраске кристаллов можно судить об осности кристаллов, ориентации оптических осей, анизотропии показателя преломления.

Кристаллы наблюдают в поляризованном ортоскопическом и коноскопическом свете.

Рассмотрим прохождение поляризованного света через одноосный оптически положительный кристалл. Световые волны падают на поверхность кристалла перпендикулярно его поверхности и оптической оси. Вектор напряженности электрического поля Е световой волны составляет угол α с оптической осью (рис. 6). Плоскополяризованная волна в кристалле разлагается на две волны одинаковой частоты обыкновенную Е_о и

Оптическая ось

z
Е Е_е
α

Е_о x

Рис. 6

необыкновенную Е_е.

Пройдя через толщу кристалла, эти волны приобретут разность хода или разность фаз . Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с разными амплитудами и разными фазами дадут нам новую волну с той же частотой. Координата вектора Е по осям х и z будет изменяться по закону

или

Чтобы получить траекторию результирующего колебания, следует из этих уравнений исключить время t. Представим Х в следующем виде

или

Возведем последнее выражение в квадрат, а уравнение Z = E_e cosωt умножив

обе части на sin φ и также возведя в квадрат, сложим с предыдущим.

и окончательно получим:

.

Это уравнение эллипса. Форма эллипса зависит от его полуосей и величин α и φ.

Таким образом, после прохождения линейнополяризованного света через кристаллическую пластинку, получаем световую волну, конец вектора Е которой, описывает кривую с эллиптическим торцевым профилем. Такой свет называют эллиптически поляризованным.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. 
   Толщина кристаллической пластинки такова, что
   

В таком случае Уравнение эллипса примет вид:

Это уравнение эллипса ориентированного относительно главных осей. Величины Е_о и Е_е зависят от угла ориентации плоскости поляризации падающей волны относительно оптической оси кристалла "α". В частности, если α = 45^о, то Е_о = Е_е, и тогда эллипс обращается в круг

.

При таком типе поляризации конец вектора Е описывает окружность. Такую поляризацию именуют циркулярной поляризацией.

2. 
   Пусть теперь толщина кристаллической пластинки такова, что разность хода двух волн составляет
   

В этом случае , а уравнение эллипса преобразуется к виду:

.

Это есть прямая, но повернутая на угол α относительно оптической оси кристалла, симметрично плоскости поляризации падающей волны.

Выходящая из такого кристалла световая волна имеет плоскую поляризацию.

3. 
   И, наконец, пусть кристаллическая пластинка имеет толщину кратную одной длине волны.
   

.

Уравнение эллипса примет вид: . Это есть прямая, которая имеет ориентацию вектора Е такой же, как и в падающей плоскополяризованной волне. Выходящий из кристалла свет плоскополяризован.

Если на пути луча, вышедшего из кристалла, поставить поляризатор, то он вырежет волны одной поляризации. Световые волны, имеющие колебания в одной плоскости, могут интерферировать. Явление интерференции поляризованного света широко применяется при исследовании анизотропных сред. Поэтому рассмотрим этот случай интерференции подробно.

На пути параллельного пучка естественного света поставим поляризатор, который пропускает плоскополяризованную волну. Этот свет падает на кристалл так, что оптическая ось кристалла составляет угол α с плоскостью поляризации поляризатора. Из кристалла выходят две волны со взаимной перпендикулярной ориентацией плоскости поляризации и, накопившейся в кристалле, разностью хода. На их пути помещаем второй поляризатор, выполняющий функцию анализатора. Ψ - угол между плоскостью поляризации поляризатора и анализатора. Анализатор пропускает только те составляющие колебаний электрического поля световой волны, которые параллельны плоскости поляризации анализатора. После анализатора две прошедшие волны интерферируют, так как они когерентны, ибо порождены одной, падающей на кристалл, волной. На рисунке 6 графически представлен процесс прохождения света через систему поляризатор - кристалл - анализатор (вид вдоль светового луча).

О.о.

Ψ Р

А

Е_е Е

Е_Ае α

Е_о

Е_Ао

Рис. 6

Обозначим обыкновенную и необыкновенную волны, вышедшие из кристалла как

тогда световые волны, вышедшие из анализатора, примут вид

Покидая кристаллическую пластинку, необыкновенная и обыкновенная волны будут различаться по фазе

.

Процесс интерференция описывается соотношением

.

Учитывая, что I = E² и проведя соответствующие подстановки, получим следующее выражение

. 1

Рассмотрим ряд частных случаев.

1. 
   Кристалл в системе отсутствует, т.е. δ = 0. В этом случае формула 1 примет вид
   

, а это есть выражение закона Малюса.

При изменении угла Ψ от нуля до 360^о свет два раза погасает при скрещенной ориентации плоскостей поляризации поляризатора и анализатора и два раза проходит при параллельной их ориентации.

2. Система с кристаллом и поляризаторы (николи) параллельны Ψ = 0. Формула 1 примет вид

.

При α = 0, π/2, π, … максимальное пропускание света. При α = π/4, 3/4π, … интенсивность и окраска прошедшего света зависит от разности фаз δ.

3.  Анализатор и поляризатор (николи) скрещены. Наиболее информативное состояние системы Ψ = 90^о.
.

В зависимости от δ возможно наблюдение максимумов и минимумов интерференции поляризованного света для соответствующих длин волн. Это проявляется в так называемой интерференционной окраске кристаллов. При α = 0, π/2, π, … отсутствует либо обыкновенная волна, либо необыкновенная волна, а это приводит к обнулению δ и к погасанию проходящего через систему света.

Наилучшим условием наблюдения интерференции поляризованного света является диагональное положение оптической оси кристалла при скрещенных николях. В таблице 1 приведены интерференционные цвета кристаллических пластинок в функции разности хода Δ = d(n_e - n_o).
Таблица 1

Порядок цвета	Разность хода в мμ	Цвет при скрещенных николях	Цвет при параллельных николях
1	0 100 260 300 450 500 550	черный серый белый желтый бурый оранжевый красный 1	белый светло-желтый красный фиолетовый голубой голубой светло-зеленый
2	575 590 700 800 850 910 950 1100	фиолетовый индиго голубой зеленый желто-зеленый желтый оранжевый красный 2	желто-зеленый желтый оранжевый красный фиолетовый индиго голубой зеленый
3	1130 1150 1330 1430 1500 1530 1650	фиолетовый индиго аквамариновый желто-зеленый мясо-красный красный 3 светло-фиолетовый	желто-зеленый желтый красный фиолетовый аквамариновый зеленый светло-желто-зеленый
4	1710 2000 2050	светло-зеленый светло-серый розовый	розовый светло-серый светло-красный

Если через систему поляризатор - кристалл (в диагональном положении) - анализатор (в скрещенном положении) пропустить белый свет, а затем разложить его в спектр, то на фоне сплошного спектра будут наблюдаться темные полосы - канавчатый спектр. Для этих длин волн, середин темных полос, выполняется условие минимумов интерференции d(n_e - n_o) = (2k+1)λ/2. Если измерить длины волн λ_k, соответствующие темным полосам, и построить график k (1/λ_k), то тангенс угла наклона линии графика даст величину оптической разности хода Δnd. Зная толщину кристалла d, легко найти удельное двойное лучепреломление.

Описание экспериментальной установки.

Работа проводится при помощи монохроматора УМ-2, на рельс Р которого устанавливается поочередно ртутная лампа Рл для градуировки монохроматора и система Ин для наблюдения интерференции. Блок схема экспериментальной установки приведена на рис. 7. В первой части работы свет от ртутной лампы Рл линзой Л фокусируется на входную щель монохроматора М. Далее свет разлагается призмой монохроматора в спектр и объективом зрительной трубы входная щель фокусируется в фокальную плоскость окуляра О. Спектр ртутной лампы наблюдается через окуляр.

М Л Рл

Р
В

Ин

Б


О Л А К П Л Лн
Рис. 7
При работе с монохроматором сначала следует навести на резкость окуляр, добившись четкого изображения указателя. Затем вращают винт В перемещения объектива коллиматора с тем, чтобы добиться четкости изображения спектральной линии в плоскости указателя.

Следующим этапом экспериментальной работы является процесс градуировки шкалы барабана Б, на котором нанесена шкала в градусной мере. Поэтому необходима градуировочная кривая для перевода градусной меры в длины волн. Это осуществляется следующим образом. При помощи барабана указатель совмещается с определенной линией спектра. Затем считываются показания барабана и данные по этой паре значений (длина волны - показания барабана) заносятся в таблицу 2. Длины волн спектральных линий для ртутной лампы приведены в той же таблице.

Таблица 2.

№ п/п	Наименование линии спектра	Длина волны в нм.	Показания барабана
1	Оранжевая	612,3
2	Желтая двойная	579,0 577,0
3	Зеленая 1	564,0
4	Зеленая 2	491,6
5	Синяя	435,8
6	Фиолетовая	410,8

Рекомендуется градуировочную кривую построить на компьютере и аппроксимировать ее полиномом.

Вторая часть работы проводится на системе Ин (рис. 7), которая устанавливается вместо ртутной лампы на рельсе монохроматора. Свет от лампы накаливания Лн проходит через поляризатор П, кристалл К, анализатор А и линзу, которая фокусирует свет от лампы на щель монохроматора. Необходимым условием получения отчетливой интерференционной картины (канавчатого спектра) является скрещенное положение поляризатора и анализатора и диагональное положение оптической оси кристалла. В поле зрения окуляра наблюдается канавчатый спектр, т.е. на фоне сплошного спектра погашена часть длин волн, для которых выполняется условия минимумов интерференции.
Измерения и обработка результатов.
Задание 1. Градуировка монохроматора по спектру ртути.

1. 
   Познакомится с устройством монохроматора по заводской инструкции. Включить ртутную лампу, прогреть около 10 минут и сфокусировать линзой дугу лампы на входную щель монохроматора.
   
2. 
   Наблюдая в окуляре спектр ртути, навести барабаном указатель на оранжевую линию спектра. Считать показания барабана в градусной мере и занести в соответствующую ячейку таблицы 2. Провести аналогичные измерения для остальных спектральных линий. Используя графический редактор Advanced Grapher 1.6, построить график зависимости длины волны от показаний барабана и аппроксимировать полученную кривую степенным полиномом.
   

Задание 2. Наблюдение канавчатого спектра и измерение

его параметров.

1. 
   Заменить ртутную лампу лампой накаливания и системой поляризатор - кристалл - анализатор. Перемещением линзы Л, сфокусировать нить накала лампы на щель монохроматора. В окуляре монохроматора наблюдать канавчатый спектр.
   
2. 
   Измерить положение 10 темных линий на сплошном спектре излучения лампы. Результаты измерений записать в таблицу 3.
   
3. 
   Используя градуировочный график, перевести показания барабана в соответствующие длины волн.
   

Таблица 3.

Номер полосы K	Показания барабана	Длина волны (нм)	1/λk (мм –1)	d (мм)	Δn=tgα/d
1 2 … 10

4. 
   Используя ту же компьютерную программу построить график k (1/λ_k), аппроксимировать его прямой и определить производную. По результатам компьютерной обработки рассчитать удельную анизотропию показателя преломления кристалла кварца и сравнить её с табличными данными.
   

Список рекомендуемой литературы:

1. 
   Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976.
   
2. 
   Гершензон Е.М., Малова Н.Н. Лабораторный практикум по общей физике. М.: Просвещение, 1985.
   
3. 
   Шубников А.В. Основы оптической кристаллографии. М.: Изд. АН СССР, 1958.
   
4. 
   Стойбер Р., Морзе С. Определение кристаллов под микроскопом. М.: Мир. 1974.