ЛЕКЦИЯ 1

ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ПРИ МЕЖЗОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДАХ.

(во многом это пока свободной переложение нескольких параграфов учебника А.И.Ансельма «Введение в теорию полупроводников»)

1. 
   Вопросы, которые планируется рассмотреть в курсе «Оптика полупроводников».
   
2. 
   Взаимодействие электромагнитного излучение с электронами твердого тела.
   

2.1. Оператор взаимодействия электрона с электромагнитным полем.

2. 
   Фундаментальная полоса поглощения - оптические переходы между состояниями валентной зоны и зоны проводимости. Матричный элемент перехода и плотность состояний в одоэлектронном приближении.
   
2. 
   Форма края фундаментальной полосы поглощения в случае прямых разрешенных и запрещенных оптических переходов (объемный материал, квантовые ямы, проволоки и точки).
   
3. 
   Проблемы одноэлектронного приближения.
   

1. Вопросы, которые планируется рассмотреть в курсе «Оптика полупроводников».

Оптика полупроводников посвящена исследованию и описанию взаимодействия света с полупроводниковыми кристаллами и структурами. В этот круг попадают поглощение, отражение и преломление света в полупроводниковых кристаллах и структурах, рассеяние света, люминесценция и лазерная генерация, нелинейные явления, изучать которые можно долгие годы. Практически все эти явления используются в современных полупроводниковых приборах.

Наш курс носит вводный, обзорный характер. Мы остановимся лишь на наиболее общих явлениях, и постараемся проследить, как в Оптических экспериментах проявляются физические процессы идущие в полупроводниковом кристалле, как общие правила и законы рассмотренные ранее в курсах Общей и Теоретической физики находят конкретные приложения в физике полупроводников и еще уже в оптике полупроводников.

Воспользовавшись тем, что между преломлением и поглощением в классической оптике существует определенная связь мы для начала будем рассматривать только поглощение света в полупроводниковом кристалле.

Затем рассмотрим рассеяние света, несколько примеров из нелинейной оптики полупроводников и закончим основными характеристиками люминесценции полупроводникового кристалла

.

2. Поглощение света в полупроводниковом кристалле.

1. 
   Поглощение света в полупроводнике может быть связано с различными процессами. Поглощение происходит в широком диапазоне частот включающей предельно низкочастотное поглощения свободными носителями заряда, поглощение колебаниями кристаллической решетки и наконец поглощение в инфракрасном, видимом или ультрафиолетовом диапазонах, связанное с переходами между электронными состояниями в различных энергетических зонах. Наконец это поглощение рентгеновского излучения возбуждающее электроны с глубоких, практически локализованных на отдельных атомах оболочек.
   

Н


аши изыскания будут связаны с областью частот, соответствующих низкочастотному краю фундаментальной полосы поглощения. Эта полоса в спектре поглощения обусловлена оптическими переходами между состояниями валентной зоны и зоны проводимости. Для начала будем считать, что валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости пуста. Тогда энергия фотона, вызывающего межзонные переходы не может быть меньше ширины запрещенной зоны

Движение электрона в периодическом потенциале кристалла да еще и во внешнем поле электромагнитной волны удобно описывать Гамильтонианом

(1.1)

где , e и m - оператор импульса, заряд и масса электрона, - вектор потенциал электромагнитной волны , -скорость света, - периодический потенциал кристаллической решетки. Это выражение полезно запомнить на всю жизнь. Если интенсивность света не слишком велика то члены, содержащие вектор потенциал можно рассматривать как малые поправки. Действительно

(1.2)

где -частота электромагнитной волны, а -плотность светового потока.

Для оценки величины Z Ансельм предлагает взять интенсивность в 1вт/см^-2 что примерно в десять раз больше потока солнечного излучения на границе атмосферы. И сравнительно легко может быть получено сейчас в лаборатории. Пусть частота света по порядку величины составляет , что соответствует энергии фотона в 0.6eV. Этим значениям параметров соответствует характерное значение импульса . В тоже время характерный импульс, соответствующий движению электрона в атомном потенциале, то есть импульс электрона с энергий порядка 1 eV примерно в миллион раз больше . Даже для предельно малых энергий соответсвующих температуре жидкого геллия характерное значение импульса электрона в тысячи раз больше , что оправдывает анализ взаимодействия электрона со световым излучением в рамках теории возмущений. Хотя конечно сейчас имеются уже источники столь мощного светового излучения, для которого теория возмущений неприменима. В общем далее при расчете поглощения света в полупроводнике мы будем описывать взаимодействие электрона и световой волны опреатором возмущения

(1.3)

3. Связь между амплитудой вектор-потенциала световой волны и плотностью фотонов

Пусть электромагнитное поле описывается идеальной монохроматической плоской волной

(1.4)

Электрическое поле равно

(1.5)

причем, как мы уже знаем электрическое поле световой волны поперечно, т.е. . Вещественный вектор –потенциал представляет собой сумму

(1.6)

Соответственно вещественное значение напряженности электрического поля равно

(1.7)

а для магнитного поля

(1.8)

При этом плотность энергии в поле такой волны дается формулой

(1.9)

С другой стороны плотность энергии равна , где - число фотонов в единице объема.

Отсюда

(1.10)

Эта формула очень полезна и идею ее вывода или ее саму следует запомнить, так она позволяет легко связать классические характеристики электромагнитного поля и квантовую характеристику – число фотонов.

4.Матричный элемент взаимодействия Блоховского электрона с электромагнитной волной.

И так , предполагаяв будущем воспользоваться «золотым правилом» квантовой механики, позволяющем написать вероятность перехода между некоторым состоянием электрона в валентной зоне и состояниями сплошного спектра зоны проводимости:

(1.11)

Попробуем рассчитать или точнее получить некоторые достаточно общие формулы для матричного элемента возмущения

(1.12)

Дело в том, что мы не знаем точного вида волновых функций электрона в состояниях валентной зоны и зоны проводимости. Наша задача обойти эту проблему и найти ответ не зная волновых функций. На удивление для разных конкретных ситуаций по этому пути можно пройти очень далеко. Стартовать будем с общей формулы, следующей из теоремы Блоха. В периодическом потенциале кристаллической решетки волновую функцию электрона можно представить в виде:

(1.13)

Здесь - периодическая функция с периодом совпадающим с периодом кристаллической решетки n – тип зоны (валентная, зона проводимости или какая-то иная зона), волновой вектор электрона, со-ответствующий его квазиимпульсу , N – число элементарных ячеек в кристалла. Каждая зона Бриллюэна имеет свой закон дисперсии .

Матричный элемент оптического перехода между состояниями валентной зоны и зоны проводимости имеет вид

(1.16)

Здесь мы воспользовались периодичностью Блоховских амплитуд и перешли от интегрирования по объему всего кристалла к интегрированию по объему элементарной ячейки и суммированию соответствующей трехмерной геометрической прогрессии по всем элементарным ячейкам кристалла. Такое суммирование, с учетом периодических граничных условий на поверхности дает

(1.17)

То есть переход происходит с выполнением ЗАКОНА СОКРАНЕНИЯ КВАЗИИМПУЛЬСА . Дополнительное облегчение возникает из-за того что длина волны поглощаемого света велика по сравнению постоянной решетки. Благодаря этому разность мала и при взятии интеграла по объему одной элементарной ячейки ей можно пренебречь. Тогда Блоховские амплитуды в конечном и начальном состояниях практически ортогональны друг к другу и

(1.18)

То есть после долгих и утомительных рассуждений мы убедились, что матричный элемент перехода прямо пропорционален матричному элементу оператора импульса, вычисленному на Блоховских амплитудах состояний валентной зоны и зоны проводимости . Интересно отметить, что , как Вы наверное помните, этот же матричный элемент в рамках модели Кейна определяет массу электрона и легкой дырки. Зная эти массы можно оценить и матричный элемент оптического перехода.

Теперь, когда матричный элемент перехода худо бедно определен, можно продвинуться дальше в вычислениях коэффициента поглощения или что тоже само (с точностью до коэффициента) вероятности оптического перехода.

(1.19)

В

GaAs
этой формуле мы от суммирования по безразмерным индексам квантовых состояний в (1.11) перешли к интегрированию по волновому вектору начального (или конечного) состояний. Число этих состояний прямо пропорционально объему кристалла. Кроме того имеется еще и суммирование по спиновым состояниям. Обычно в учебниках о нем не вспоминают, но без него не объяснить такие удивительные явления, как Оптическая ориентация и выстраивание импульсов электронов. Пока мы об этом на короткое время забудем но уже завтра вспомним.

Вероятность оптического перехода легко связать с коэффициентом поглощения. Для этого заметим, что W равно числу фотонов, поглощаемых в объеме кристалла в единицу времени. Плотность потока фотонов в плоской световой волне равна . и -скорость света в вакууме и коэффициент преломления среды. Тогда с учетом (1.10) коэффициент поглощения

(1.20)

Теперь обратимся к конкретным полупроводникам. Вот например Арсенид галлия, у которого дно зоны проводимости и вершина валентной зоны расположены в центре зоны Бриллюэна. (Имеется правда обна неприятность – валентная зона состоит из двух подзон каждая из которых двукрантно вырождена по спину. В центре зоны Бриллюэна все эти подзоны собираются и получается четырехкратновырожденное состояние. Но об этих ужасах будем говорить позже, а пока будем считать что дно зоны проводимости и вершина валентной зоны по спину не вырождены.) Или, скажем, PbSe и PbS у которых дно зоны проводимости и вершина валентной зоны лежат в боковой долине на пересечениях границы зоны Биллюэна с осями <111>.

В окрестности экстремума зоны закон дисперсии описывается законом. Правда в зависимости от симметрии масса такой квазичастицы может оказаться анизотропной

(1.21)

Интересно, а почему это собственные оси тензоров эффективной массы в валентной зоне и зоне проводимости одинаковы?

Используя (1.21) находим

(1.22)

где , . Поскольку мы интересуемся областью вблизи экстремума зон, то не только закон дисперсии, но и матричные элементы оператора импульса можно разложить в ряд по

(1.23)

Если оптические переходы между валентной зоной и зоной проводимости называют разрешенными. Для таких переходов мы пренебрежем зависимостью матричного элемента от квазиимпульса. Тогда интеграл (1.20) сводиться просто к расчету плотности состояний уровней между которыми происходят оптические переходы.

(1.24)

И так в рассмотренной простейшей модели коэффициент поглощения равен нулю, если энергия поглощаемого фотона меньше ширины запрещенной зоны и прямо пропорционален , если энергия фотона превышает .

Неопределенным остался вид тензора . Если знать матричные элементы оператора импульса и просуммировать по всем долинам, определяющим край фундаментальной полосы поглощения, то этот тензор можно было бы и рассчитать, но его общий вид определяется просто симметрией рассматриваемого кристалла. Так, например, для кристаллов кубической симметрии тензор второго ранга вырождается в скаляр: .

Обсудим теперь, что измениться в наших расчетах в случае кристалла с запрещенными оптическими переходами. В этом случае квадрат матричного элемента оптического перехода

Таким образом, вместо (1.24) мы теперь имеем

ЗАДАЧИ НА ДОМ:

1. 
   Докажите, что любой тензор второго ранга, характеризующий свойства кристалла кубической симметрии вырождается в скаляр.
   
2. 
   Определите характер зависимости величины коэффициента поглощения от энергии фотона для квантовых ям, проволок и квантовых точек (двумерного, одномерного и нуль-мерного состояний).
   
3. 
   Проведите подробный вывод коэффициента поглощения для кристалла с запрещенными оптическими переходами. Чему в этом случае равен коэффициент С.
   
4. 
   Интересно, можно ли высказать какие-либо соображения о соотношении эффективных мас в зоне проводимости о валентной зоны для двух полупроводников, имеющих
   

а) близкие значения ширины запрещенной зоны, но, в одном случае разрешенные, а в другом запрещенные оптические переходы

б) Примерно одинаковые матричные элементы оптического перехода но существено разные ширины запрещенной зоны?

Спектральная зависимость коэффициента поглощения для кристлла GaAs в области фундамментальной полосы погощения