14.1 Интервал
Рассмотрим два события
в системе отсчета 
и в системе отсчета 
. При переходе от системы к системе координаты событий преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца:
. (14.1)
Интервалом между событиями 1 и 2 называется величина
. (14.2)
Одним из следствий преобразований Лоренца является то, что они не изменяют интервал между событиями, т.е.
. (14.3)
Интервал есть инвариант преобразований Лоренца, и является аналогом квадрата расстояния между двумя точками пространства в обычной геометрии.
Интервалы
(14.4)
называются времениподобными. Интервалы
(14.5)
называются пространственноподобными. Если
, (14.6)
интервал называется светоподобным (изотропным).
Если два события разделены времениподобным интервалом, то они могут находиться в причинно-следственной связи друг с другом. Например, могут происходить с одной и той же движущейся частицей. Для событий, разделенных таким интервалом, можно выбрать ИСО, в которой они являются одноместными.
Если два события разделены пространственноподобным интервалом, то они не могут находиться в причинно-следственной связи друг с другом. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, нельзя выбрать ИСО, в которой они являются одноместными.
Свойство инвариантности интервала (14.2) связывает воедино пространственные и временную координаты событий. Они связаны друг с другом соотношением (14.2), которое является инвариантом преобразований Лоренца. В нерелятивистском случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, и пространство и время не связаны друг с другом (в нерелятивистском случае интервал распадается на два инварианта – пространственный (длина) и временной (промежуток времени)).
14.2 4-е векторы
В согласии с первым постулатом СТО форма физического закона не должна меняться при переходе от одной ИСО к другой, т.е. форма закона должна быть релятивистски-ковариантной. Для записи законов механики в такой форме следует ввести в рассмотрение 4-е векторы и связанный с ними математический аппарат.
4-е радиус-вектором называется величина
, (14.7)
где 
- мнимая единица. Компоненты 4-е радиус-вектора преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца:
. (14.8)
В матричной форме записи:
, (14.9)
где
(14.10)
- матрица преобразования, и 
.
Скалярное произведение вводится по обычному правилу:
. (14.11)
Квадрат 4-е радиус вектора равен интервалу события со знаком минус:
. (14.12)
Компоненты 4-е радиус-вектора рассматривают как координаты события в 4-х мерном пространстве-времени (пространство Минковского). Координаты 4-х мерного пространства являются ортогональными, а формула (14.12) является аналогом теоремы Пифагора в обычной геометрии.
Введем понятие 4-е тензора ранга 
. 4-е тензором ранга называется совокупность 
чисел (компонент тензора), которые преобразуются по определенным правилам в согласии с преобразованиями (14.8).
4-е тензор нулевого ранга называется скаляром. Скаляр не меняется при изменении системы отсчета. Его примером является интервал.
4-е тензор первого ранга есть 4-е вектор. Его компоненты преобразуются по формулам (14.8). Пример 4-е вектора – 4-е радиус-вектор. Квадрат 4-е вектора является скаляром, скалярное произведение двух 4-е векторов есть скаляр.
Тензор второго ранга содержит 16 компонент. Его примером является тензор электромагнитного поля, который будет рассмотрен в электродинамике. Отметим, что компоненты тензора второго ранга преобразуются по закону
. (14.13)
Принцип относительности (первый постулат СТО) можно сформулировать теперь в следующей форме: физические законы должны содержать слагаемые, которые преобразуются при изменении системы отсчета однотипным образом, т.е. должны быть тензорами одного и того же ранга. Форма физического закона при этом не меняется. В частности, закон может иметь вид:
,
где 
- скаляры, или
,
где 
- компоненты 4-е векторов 
и 
.
14.3 4-е скорость и 4-е ускорение
Скорость частицы определяется как производная по времени от радиус-вектора частицы. Введем 4-е вектор скорости как производную от 4-е радиус-вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор данного инварианта должен быть определен из условия, чтобы три первые компоненты 4-е скорости при малых скоростях 
переходили в компоненты обычной скорости. Для этого следует определить 4-е скорость как производную 4-е радиус-вектора по собственному времени:
, (14.14)
где 
. Используя определение (14.7), найдем:
. (14.15)
Квадрат 4-е скорости:
. (14.16)
Аналогично вводим 4-е ускорение:
. (14.17)
Вычислим 
. В силу формулы (14.16), находим:
, (14.18)
т.е. 4-е скорость и 4-е ускорение ортогональны.