Лекция электродинамика теории относительности

ЛЕКЦИЯ 6. Электродинамика теории относительности.
6.1. Преобразование координат событий в СТО. 4-е тензоры

Элементарным событием называется явление с нулевой пространственной протяженностью и нулевой длительностью. Каждое событие характеризуется тремя пространственными и одной временной координатой. В СТО элементарному событию сопоставляется 4- радиус-вектор . При переходе от одной ИСО к другой координаты 4-е вектора преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца: .

Пусть одна из систем движется относительно другой с постоянной скоростью вдоль оси . В данном случае координаты события преобразуются в согласии с частными преобразованиями Лоренца:

, (6.1)

или

. (6.2)

Из данных преобразований следует, что квадрат 4- радиус-вектора является инвариантом относительно данных преобразований, т.е.

. (6.3)

Введем следующие определения.

4-е тензор нулевого ранга по определению содержит в себе одну компоненту, которая не меняется при преобразованиях Лоренцах:

т.е. является инвариантом преобразований Лоренца. Тензор нулевого ранга называется скаляром. Примеры: электрический заряд, масса частицы.

4-е тензор первого ранга по определению содержит 4-е компоненты, которые преобразуются согласно преобразованиям Лоренца (6.2). Тензор первого ранга называется 4-е вектором. Примеры 4-е векторов: 4-е радиус-вектор

4-е скорость

4-е импульс

.

4-е тензор второго ранга содержит 16 компонент. Его компоненты

преобразуются как последовательное преобразование соответствующих компонент 4-е вектора:

. (6.4)

В дальнейшем мы будем иметь дело только с антисимметричным тензором электромагнитного поля. Его компоненты удовлетворяют условию

. (6.5)

Таким образом, 4-е диагональные элемента тензора равны нулю, а остальные компоненты попарно связаны соотношением (6.5). Антисимметричный тензор имеет шесть независимых компонент. Рассмотрим их преобразование.

Так из закона преобразований (6.4) следует, что компонента преобразуется по закону преобразования компоненты 4-е радиус-вектора:

,

т.е.

. (6.6)

Компонента

. (6.7)

Это следует из того, что согласно формулам (6.2) первые две компоненты 4-е радиус-вектора не меняются. Преобразование компоненты определяется формулой (6.6). Преобразование компонент получаются аналогичным образом:

. (6.8)

Рассмотрим преобразование компоненты :

Учтем, что :

Поскольку , окончательно получаем:

. (6.9)

Формулы (6.6)-(6.9) полностью определяют закон преобразования всех компонент антисимметричного тензора.

4.2. Дифференциальные операции в тензорном поле

Пусть каждой точке 4-х мерного пространства ставится в соответствие тензор . Тогда говорят, что в 4-х мерном пространстве задано тензорное поле. Частными случаями тензорного поля являются скалярное поле , векторное поле и тензорное поле второго ранга . По аналогии с дифференциальными операциями градиента, дивергенции и ротора в обычном трехмерном пространстве можно ввести дифференциальные операции в 4-х мерном пространстве. В трехмерном пространстве все данные операции могут быть выражены через оператор