Лекция 6
Непрерывные стационарные системы
Рассмотрим сначала простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
(6.1)
Решением его будет функция
(6.2)
в чём нетрудно убедиться, продифференцировав это выражение по времени
Решение векторно-матричного уравнения
(6.3)
запишем формально в такой же форме
(6.4)
где 
- экспоненциальная функция матричного аргумента. Таким образом, в случае стационарной системы переходную матрицу можно записать в виде 
В теории матриц доказано, что матричную экспоненту можно представить в виде степенного полинома от матрицы дифференциального уравнения G: 
где 
функции, содержащие члены вида 
собственные числа матрицы G, а степени j зависят от кратности корней характеристического уравнения
Параметр т – степень так называемого минимального многочлена 
, который определяется следующим образом: 
где 
- наибольший общий делитель всех миноров матрицы 
. Миноры матрицы 
образуют присоединённую матрицу В, причём 
Поскольку d() – наибольший общий делитель присоединённой матрицы, её можно записать так B()=d()C(). Очевидно, что,
где п – степень характеристического многочлена, равная размерности вектора состояния.
Не углубляясь в теорию матриц( её можно найти в специальной литературе), отметим лишь то, что матричная экспонента может быть представлена линейной комбинацией степеней матрицы G.
Умножим левую часть и правую часть формулы (6.4) на 
получим
.
Не нарушая общности, примем за начало отсчёта времени точку 
тогда
(6.5)
Мы получили интегральное уравнение для функции управления, если задан вектор состояния (фазовая траектория). Поскольку целью управления является достижение заданных значений вектора состояния в момент 
то правую часть интегрального уравнения можно считать известной лишь для начального и конечного момента. Таким образом, проблема управляемости свелась к проблеме существования решения интегрального уравнения (6.5).
Введём обозначение для вектора, образующего правую часть уравнения (6.5)
.
Выразим матричную экспоненту через степени матрицы G:
,
получим
.
Поскольку 
скалярная функция, её можно перенести на конец подынтегрального выражения
. (6.6)
Распишем приведённую подробнее:
Каждое из слагаемых приведённой формулы является п-мерным вектором. Введём матрицы-столбцы и W следующим образом
и перепишем уравнение (6.6) в виде 
(6.7)
Напомним, что u – вектор, размерности l , F – матрица, размера (nxl), поэтому - блочная ( коагулированная) матрица (тх1). С учётом размерности вектора u,
получим размерность матрицы равную (mlx1). Блочная матрица W имеет размерность (1хт), а с учётом размерности элементов - 
Распишем полученное матричное уравнение по строкам. Поскольку
где 
то
(6.7)
Пусть 
. Введём вектор-столбец коэффициентов приведённой системы уравнений 
и п-мерный вектор, образующий правую часть в системе (6.7):
тогда систему уравнений (6.7) можно записать так 
, причём 
Таким образом, вектор 
представлен в виде линейной комбинации составляющих другого, q- мерного вектора 
. Для того, чтобы таким образом представить любой п- мерный вектор, достаточно иметь п независимых векторов 
А это означает, что ранг матрицы
равен п . Итак условие управляемости для линейных стационарных систем:
(6.8)
Заметим, что при скалярном управлении (l=1) управляемость возможна лишь при т=п. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 1
Является ли управляемой система 
? В данном случае имеем
Матрица управляемости имеет вид 
. Ранг этой матрицы меньше двух (он равен единице), поэтому данная система неуправляема.
Пример 2
Каким условиям должны подчиняться постоянные а, b, с, чтобы динамическая система была управляемой, если
? Имеем 
Вывод: ранг матрицы управляемости равен 2, но поскольку управление скалярное, для управляемости необходимо чтобы степень минимального многочлена тоже была равна двум. Проверим это.
Определим характеристический многочлен: det(E-G)=
. Определим присоединённую матрицу:
.
Наибольший общий делитель этой матрицы равен 1, поэтому минимальный многочлен выглядит так: 
Следовательно, степень минимального многочлена равна двум. Система управляема.
Определим управление u(t) для частного случая, когда a=b=0, c=1. Тогда, как нетрудно проверить, система остаётся управляемой. Дифференциальные уравнения для этой системы упрощаются:
Определим управление, переводящее систему из начального состояния 
в состояние 
Очевидно, что
Нетрудно видеть, что задача не имеет однозначного решения. Если принять,
например,u(t) = const.,получим
Таким образом, мы получили два уравнения, однозначно определяющие управление u и время управления 
: 
Предлагаем самостоятельно показать, существует ли линейное (двухпараметрическое) управление для перевода вектора состояния из начального в состояние 
для произвольного момента времени .
Пример 3
Определить, обладает ли свойством управляемости система, подчиняющаяся матричному дифференциальному уравнению 
где матрицы G и F имеют вид
Решение:
Определим минимальный многочлен
Присоединённая матрица имеет вид
Общий делитель присоединённой матрицы есть двучлен (+2), поэтому минимальный многочлен имеет вид
Таким образом, степень минимального многочлена равна 2 . Имеем матрицу управляемости: 
то есть
Ранг этой матрицы равен трём. Так что система управляема. Однако, в случае, когда хотя бы один из независимых сигналов управления равен нулю, система неуправляема.
Управляемость стационарных линейных систем
Вектор состояния дискретной системы, удовлетворяющей уравнению
определяется формулой
где переходная матрица определяется степенью матрицы А : 
не нарушая общности, примем k0 =0. Тогда в "момент" k=k1 ,будем иметь
Для определения u(j) мы имеем систему алгебраических уравнений. Существование решения этой системы и определяет ее управляемость. 
Заменим параметр j на s следующим образом: j=k1-s-1. Теперь
Согласно теореме Гамтильтона-Кэли, любую степень матрицы можно выразить в виде линейной комбинации степеней вплоть до степени минимального полинома минус единица, то есть 
где
скалярная функция. Следовательно
Пусть 
Тогда 
Для существования решения относительно вектора 
необходимо, чтобы матрица
W=(B, AB, A2B, …,Am-1B)
имела ранг, равный размерности вектора состояния. Таким образом, критерии управляемости непрерывной и дискретной систем совпадают.