Салыстырмалық теориясының элементтері

Лекцияның жоспары:

1. Галилей түрлендірулері

2. Эйнштейн постулаттары

3. Лоренц түрлендірулері

4. Лоренцше түрлендірудің кейбір салдарлары

5. Жылдамдықтарды қосу теоремасы

6.Материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңы

7. Масса және энергияның өзара байланыс заңы

1. Галилей түрлендірулері

Егер санақ жүйелері бір-бірімен салыстырғанда түзу сызықтың бойымен бірқалыпты қозғалса және олардың біреуінде Ньютонның динамика заңдары орындалатын болса, онда бұл жүйелер инерциалдық санық жүйелері болып табылады. Барлық инерциалдық санақ жүйелерінде классикалық динамика заңдары бірдей формада болады, салыстырмалы принципінің негізі осында (Галилейдің салыстырмалы принципі). Дәлелдеу үшін 2 санақ жүйесін қарастырайық: қозғалмайтын инерциалдық жүйе К (координаттары х,у,z) және К жүйесіне қатысты түзу сызықтың бойымен бірқалыпты () жылдамдықпен қозғалатын жүйесі. Бастапқы мезетте екі жүйенің координаталарының бастары дәлме-дәл келіп тұрған болсын. Кез-келген уақыт мезетіндегі бұл жүйелердің бір-біріне қатысты орналасуы суретте көрсетілгендей болсын. Жылдамдық ОО-дің бойымен бағытталсын, О-дан О-не жүргізілген радиус-вектор . Екі жүйедегі нүктесінің координаталарының өзара байланыстын табамыз. 1-суреттен

1-сурет.
Бұл теңдеуді координаталар осіне проекциялары арқылы жазуға болады.

(1)

бұл теңдеулерді Галилей түрлендірулері деп атайды.

Дененің бір инерциалдық санақ жүйесіндегі координаталары мен ол жүйемен салыстырғанда бір қалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы екінші инерциалдық жүйедегі координаталарын байланыстыратын қатынастарды Галилей түрлендірулері деп атайды.

Егер жүйесі К жүйесіне қатысты осі бойымен жылдамдықпен қозғалатын болса (бастапқы уақыт мезетінде координаталар осі беттессін), онда координаталарды Галилейше түрлендіру мына түрде жазылады: (2)

Классикалық механикада уақыт санақ жүйелерінің салыстырмалы қозғалысына тәуелсіз, сондықтан жоғарыдағы түрлендіруге тағы да бір теңдеу қосуға болады:

(3)

Жазылған қатынастардың бәрі тек қана классикалық механика () тұрғысынан қарағанда орындалады, ал жарық жылдамдығына жақын жылдамдықтар үшін Галилей түрлендіруі жалпы Лоренц түрлендірулерімен алмастырылады.

(1)-теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдайтын болсақ, классикалық мехакниканың жылдамдықтарынан қосу заңын аламыз:

(4)

К санақ жүйесінде үдеу

Сонымен, бір-бірімен салыстырғанда түзу сызықтың бойымен бірқалыпты қозғалатын К және жүйелерінде, нүктесінің үдеуі бірдей болады: (5)

Демек, егер нүктесіне басқа денелер әсер етпейтін болса (, онда берілген теңдеуге сәйкес , яғни жүйесі инерциалды (нүкте онымен салыстырғанда түзу сызықтың бойымен бірқалыпты қозғалады немесе тыныштық қалпын сақтайды).

(5)-теңдеуден салыстырмалықтың механикалық принципінің дәләлдемесі шығады; динамика заңдары бір инерциалдық санақ жүйесінен екіншісіне көшкенде өзгермейді, яғни координаталар түрлендірулеріне қатысты инвариантты болып табылады. Бұл Галилейдің қорытындысы.

2. Эйнштейн постулаттары

Арнайы салыстырмалы теорияның негізін тұжырымдаған Эйнштейн мынадай екі постулат ұсынды:

І постулат: берілген жүйенің тыныш тұрғандығын немесе тұрақты жылдамдықпен қозғалып бара жатқандығын сол жүйенің ішінде жасалған тәжірибе арқылы біліп болмайды. Басқаша айтқанда, қандай тәсілдер қолданғанымен абсолют қозғалысты анықтау мүмкін емес.

ІІ постулат: жарықтың вакуумдағы жылдамдығы барлық инерциялдық санақ жүйесінде бірдей және тұрақты шама болады. Басқаша айтқанда, жарық жылдамдығы жарық көзі мен бақылаушы қоғалысына тәуелді емес.

Эйнштейннің бірінші постулаты әдетте салыстырмалық принципі, ал екінші постулаты – жарық жылдамдығының тұрақтылық принципі деп аталады. Эйнштейннің осы теоремасы ХХ ғасырда өрбіген ең маңызды физикалық теориялардың бірі болып табылады.

3. Лоренц түрлендірулері
Эйнштейн постулаттарын негізге ала отырып, инерциалдық санақ жүйелеріндегі құбылыстарға талдау жасау арқылы классикалық Галилей түрлендірулерінің оларға қайшы екендігін және басқа түрлендірулермен ауыстырылуы тиістігін көрсетті.

Енді қысқаша соған тоқталайық. Екі инерциялық санақ жүйелерін қарастырайық: К (координаталары х,у,z) және жүйесіне қатысты х осі бойымен жылдамдықпен қозғалатын К (координаттары x,y,z) 1-сурет. Бастапқы t=t=0 уақыт мезетінде координаталардың бастары О және О бір-біріне дәл келсін, сонда жарық импульсі шығарылады.

1-сурет.
Эйнштейннің ІІ постулаты бойынша, екі жүйедегі жарық жылдамдығы бірдей және с-ға тең. Сондықтан егер уақытта К жүйесінде сигнал А нүктесіне дейін жеткенше,

(6) арақашықтық жүрсе, онда жүйесінде жарық импульсі А нүктесіне жеткен мезетінде (7)

мұндағы -жарық импульсінің жүйесінде координаталар басынан А нүктесіне дейінгі жүрген уақыты. Теңдеулердің айырымынан мынаны аламыз: . К жүйесіне қатысты жүйесі орын ауыстырады. Сондықтан , онда , Яғни К және жүйелеріндегі уақыт санауы әртүрлі - уақыт санағы салыстырмалы.

Эйнштейн салыстырмалылы теориясында Галилейдің классикалық түрлендірулері, постулаттарды қанағаттандыратын Лоренц түрлендірулеріне ауыстырылатынын көрсетеді. Лоренц түрлендірулерін мына формулалар түрінде жазуға болады:


(8)
мұндағы

Келтірілген теңдеулер симметриялы және тек -ның алдындағы таңбамен ғана ажыратылады. Лоренц түрлендірулерін талдай келіп, мынадай қорытындылар жасауға болады:

Егер болса, яғни , онда Лоренцше түрлендірулер Галилейше түрлендіру формуласына айналады. Сөйтіп салыстырмалы жылдамдық жарықтың вакуумдағы жылдамдығынан кем болса ғана Галилейше түрлендіруде мағына бар. Егер >c болса, онда жоғардағы формулалар бойынша және x, t шамалары жалған шамалар болады. Бұл вакуумдағы жарық жылдамдығынан зор жылдамдықпен қозғалу мүмкін емес деген қағидаға сай келеді.

4. Лоренцше түрлендірудің кейбір салдарлары

Лоренцше түрлендіру формулаларынан маңызды бірнеше қорытындылар шығады. Енді солардың кейбіреулеріне тоқталайық.

Оқиғалардың бір мезгілдігі.

Мысалы, К жүйесінде координаталары х₁ және х₂ нүктелерінде t₁ және t₂ мезеттерде бір-бірден екі оқиға болған болсын. К^/ жүйесінде сонда оларға және келеді. Егер олар К жүйесінде бір нүктеде (х₁= х₂ ) және бір мезетте болса, сонда формулалар бойынша және . Яғни, бұл құбылыстар кез-келген инерциалдық санақ жүйесінде де бір мезгілде бір орында (бір нүктеде) болады.

Ал, егер оқиға кеңістікте әр нүктеде х₁ ≠ х₂ , бірақ бір мезгілде t₁= t₂ болса, онда (8) формулаларға сәйкес К^/ жүйеде Лоренц түрлендіруінше

Демек, ,

Сонымен бұл құбылыстар санақ жүйесінде бір мезгілде болмайды, кеңістіктегі орындары бөлек болады.

Түрліше жүйелердегі дене ұзындықтарын салыстыру

Бұрынғыша инерциялық К және санақ жүйелерін алайық. жүйесі К жүйесіне қатысты жылдамдықпен қозғалып бара жатсын. Сонда х осінің бойымен орналасқан бір қатты шыбықтың К жүйесіндегі ұзындығы . жүйесіндегі ұзындығы болады, мұндағы пен бұл шыбықтың екі ұшының уақытқа байланысты өзгермейтін координаталары. Уақыт өзгермеген жағдайда Лоренцше түрлендірудің (8) формулалары бойынша:

сонда немесе (9)

мұндағы <1, сондықтан . Сөйтіп бір жүйеге қатысты қозғалып бара жатқан қатты шыбықтың сол жүйеде өлшенген ұзындығы оның өзімен салыстырғанда тыныш тұрған жүйеде өлшенген ұзындығынан кем болады.


Түрліше жүйелердегі оқиғалар ұзақтылықтарын салыстыру

Жоғарыда айтылғандай екі санақ жүйесінен алайық. Мысалы санақ жүйесіне қатысты бір тыныш тұрған нүктеде оқиға болған болсын. Сонда бұл оқиға осы жүйесінде бір нүктеде басталып, сол нүктеде бітетін болсын, сонда оның ұзақтығы болады. Мұндағы мен – оқиғаның – жүйе сағаты бойынша нүктеде басталып және сол нүктеде аяқталған мезеттері. Ал, оқиға болып жатқан нүкте К санақ жүйесіне қатысты жылдамдықпен орын ауыстырсын. Сонда бұл жүйесінде оқиғаның басына және аяғына сәйкес келетін уақыт мезеттері мен Лоренцше түрлендірудің (8) формуласы бойынша былай өрнектеледі:

Сонда оқиғаның осы, К жүйесіндегі ұзақтылығы

немесе (10)

мұндағы <1, сондықтан , яғни уақыт аралығы К жүйесі сағаты (тыныш тұрған сағат), ал уақыт аралығы жүйе сағаты (қозғалыстағы сағат) бойынша өлшенген. Сөйтіп қозғалған сағат тыныш тұрған сағаттан гөрі баяу жүреді.
5. Жылдамдықтарды қосу теоремасы

Бұрын айтылғандай санақ жүйесі К санақ жүйесіне қатысты х осі бойымен жылдамдықпен қозғалып бара жатсын. Бір дене санақ жүйесінде сол х осінің бойымен u_x жылдамдықпен қозғалып бара жатқан болсын. Сонда бұл дененің К санақ жүйесіне қатысты жылдамдығы u_x қандай болады, соны есептелік.

Бұл дененің жүйесінде уақыт мезетіндегі координатасы болса, оның жылдамдығы , К жүйеге қатысты жылдамдығы , мұндағы х пен t –К жүйедегі координатасы мен мезет. Егер Лоренцше түрлендіру формулалары дұрыс келеді десек, онда (8) формулалар бойынша

, бұдан

Яғни немесе (11)

Осы (11) өрнек жылдамдықты қосу теоремасы деп аталады. Егер пен әрқайсысы жарық жылдамдығынан әлде қайда аз болса, онда өрнек жылдамдықтары классикалық механикаша қосу, өрнегіне айналады:

,
6. Материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңы



Қозғалыстағы релятивистік бөлшектердің массасы олардың жылдамдықтарына тәуелді:

(12)

Сонымен, әр түрлі инерциалдық санақ жүйесінде бір бөлшектің массасы әр түрлі. Бір инерциалдық санақ жүйесінен екіншіге ауысқанда табиғаттың барлық заңдары инвариантты екенін бекітетін Эйнштейннің салыстырмалы принципінен Лоренц түрлендірулеріне қарасты физикалық заңдардың теңдеулерін инвариантты шарты шығады: .

Динамиканың негізгі теңдеуі Ньютон заңы Лоренцтің түрленуіне қатысты инвариантты болады, егер оның оң жағында релятивистік импульстің уақыт бойынша туындысы тұрса. Материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңының түрі мынадай болады немесе (13)

Мұндағы (14)

материалдық нүктенің релятивистік импульсі. Кеңістіктің біртектілігіне байланысты релятивистік механикада релятивистік импульстің сақталу заңы орындалады: тұйық жүйенің релятивистік импульсі сақталады, яғни уақыт өтуіне байланысты өзгермейді.

7. Масса және энергияның өзара байланыс заңы
Релятивистік бөлшектің кинетикалық энергиясын табамыз. Өткен классикалық механикада белгілі элементар орын ауыстырғандағы материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының өсімшесі, осы орын ауыстырғандағы күш жұмысына тең

немесе (15)

мұндағы ескере отырып және (13) –шы теңдеуді (15) –ке қойып, мына теңдеуді аламыз:

.

екенін ескере отырып, осы теңдеуді және (12) формуланы түрлендіріп, мынадай қорытындыға келеміз:

(16)

яғни бөлшектің кинетикалық энергиясының өсімшесі оның массасының өсімшесіне пропорционал. Тыныштықта бөлшектің кинетикалық энергиясы нольге тең, ал оның массасы тыныштықтағы массасына тең, ендеше (16) теңдеуді интегралдап, аламыз

немесе (17)

осы теңдеу, егер классикалыққа айналады . Эйнштейннің (16) теңдеуін қорыта келіп, бұл тек кинетикалық энергия үшін әділетті емес, сонымен қатар толық энергияға да қатысты. Кез келген массаның өзгеруі материалдық нүктенің толық энергиясының өзгеруімен сипатталады:

Осыдан А.Эйнштейн дененің толық энергиясы мен оның массасының арасындағы байланыстың универсиалды екенін көрсетеді:

(18)

(17) және (18) теңдеулер табиғаттың фундаментальды заңын көрсетеді - масса мен энергияның арасындағы өзара байланыс заңы: жүйенің толық энергиясы оның массасы мен вакуумдағы жарық жылдамдығының квадрат көбейтіндісіне тең. Толық энергияға сыртқы күш өрісіндегі дененің потенциалдық энергиясы кірмейді. (18) заңды, (17) ескере отырып, былай да жазуға болады:

осыдан, тыныштықтағы дененің энергиясы () болатын, тыныштық энергиясы деп аталатын энергияға тең болады.

Бұдан яғни энергия мен массаның арасындағы байланыс формуласы шығады.