Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные периоды развития математики

Математизация науки. “Чистая” и “прикладная” математика. Основные периоды развития математики.

Прикладная математика отличается от чистой тем, что она применяется непосредственно на практике. Более строго, прикладная математика — область математики, рассматривающая применение математического знания в других сферах деятельности.

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Выдающиеся отечественные учёные 20-го века в области математики и информатики.

Андрей Николаевич Колмогоров — один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

Лев Семёнович Понтрягин. В топологии открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления — создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит т. н. принцип максимума Понтрягина (см. Оптимальное управление); имеет фундаментальные результаты по дифференциальным играм. Работы школы Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всём мире.
А. Н. Тихонов. Первые работы Андрея Николаевича, сделанные в студенческие годы, посвящены топологии и функциональному анализу. В частности Тихоновым в 1926 году было введено понятие произведения топологических пространств — так называемое «тихоновское произведение», доказаны теоремы о бикомпактности произведения бикомпактных пространств и о существовании неподвижной точки при непрерывных отображениях в топологических пространствах.
Фундаментальные результаты были получены им в области математической физики, теоретической геофизики, моделирования физико-химических процессов. А. Н. Тихоновым доказаны теоремы единственности для уравнения теплопроводности, изучены функциональные уравнения типа Вольтерра (1938).
В 1948 г. по распоряжению правительства А. Н. Тихонов организовал Вычислительную Лабораторию для расчёта процесса взрыва атомной бомбы. Он также выполнил фундаментальные исследования по разработке теории и методике применения электромагнитных полей для изучения внутреннего строения земной коры (1950).
А. Н. Тихонов — основоположник крупного направления в асимптотическом анализе — теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.
Под руководством Тихонова созданы алгоритмы решения многих прикладных задач. В 1956—1963 годах совместно с Александром Андреевичем Самарским развита теория однородных разностных схем .
Работа над проблемами поиска полезных ископаемых привела А. Н. Тихонова к концепции обратных и некорректных задач, к разработке методов регуляризации, тем самым к созданию крупного научного направления, получившего мировое признание. Введённое Тихоновым понятие регуляризации позволило разработать методы решения некорректных задач. Это научное направление он развивал на протяжении всей жизни.

Главные достижения и основные черты математики Древнего Египта.

Использовалась десятичная иероглифическая система счисления. Каждая десятичная единица более высокого разряда обозначалась своим иероглифом, очень похожа на римскую систему счисления.

На этой системе египтянами построена довольно сложная арифметика. Умножение здесь сводится к повторным сложениям. Замечательной чертой является действие с дробями. Все дроби сводятся к суммам основных дробей 1/n и некоторых индивидуальных, например, 2/3, 3/4. Это делается на основе таблиц разложения дробей вида 2/n (n = 3-101). Египтяне знали площадь треугольника - половина произведения основания на высоту, объем параллелепипеда, кругового цилиндра. Замечательный результат - объем усеченной пирамиды с квадратным основанием где а, b - длины сторон квадратов, h - высота. Площади круга диаметра d вычислялась как что дает для p значение 3.1605.

Главные достижения и основные черты математики Древнего Вавилона.

Математика в древнем Вавилоне была на более высоком уровне чем в Египте. Вавилоняне имели более прогрессивную позиционную 60-ричную систему счисления. Такая система имеет огромное преимущество при вычислениях по сравнению с римскими цифрами. Однако эта система не имела нуля, что приводило к некоторой неопределенности, и точное истолкование записи надо было извлекать из контекста.

Шестидесятиричная система и позиционность оказались достоянием человечества. Современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к Вавилону. Это же относится к делению окружности на 360⁰ , градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд. Что касается авторства позиционности системы, то здесь не все ясно. Возможно это изобретение Индии, где десятичная позиционная система с нулем появилась около 500 года до н.э.

В Вавилоне владели техникой решения квадратных уравнений, тогда как египтянам были известны лишь линейные. Решали также задачи, сводящиеся к кубическим и биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только для определенных числовых значений коэффициентов. Ван дер Варден в книге “Пробуждающаяся наука” указывает, что вавилоняне умели решать следующие 10 видов уравнений и систем:

Уравнения

,

Системы

Кроме того они умели находить сумму арифметической прогрессии и суммы других видов, например,

Геометрические знания были выше египетских, уже встречаются некоторые тригонометрические соотношения. Площадь круга вычислялась по формуле S = , где c - длина окружности; отсюда p = 3. Есть основания полагать, что в Вавилоне была известна теорема Пифагора.

Главные достижения и основные черты математики Древней Греции. Переход в математике от вопроса “как?” к вопросу “почему?”.

Характерной чертой греческой математики в отличие от Египта и стран Востока является стремление доказывать математические факты. Родоначальником греческой математики считается Фалес (625 - 547 г. до н.э.). Ему приписывают доказательства ряда математических результатов : диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны и многое другое. Греки сумели в течение одного - двух столетий овладеть математическим наследием предшественников, которое накапливалось тысячелетиями, и по-новому его осмыслить.

В математике этого периода практические задачи, связанные с вычислениями, геометрическими измерениями и построениями, продолжали играть большую роль. Эти задачи постепенно выделились в отдельную область математики, названную логистикой. Она включала операции с целыми числами и дробями, решение задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические задачи архитектуры, земледелия и т.п.

В то же время уже в школе Пифагора (580 - 500 г. до н.э.) начинается процесс накопления и систематизации абстрактных математических фактов. Пифагорийцы не признавали прикладного характера математики. Будучи аристократами они считали, что решение практических задач - удел лишь низших сословий.

Пифагорийцами была построена значительная часть планиметрии прямолинейных фигур, доказана теорема Пифагора ( она получила имя основателя греческой школы, хотя была известна значительно раньше в Вавилоне). Был найден способ отыскания целых пифагоровых чисел, удовлетворяющих соотношению : для нечетных n они имеют вид

.

Для четных n пифагоровы числа были получены позже в Академии знаменитого греческого философа Платона (427 - 347 г до н.э.) и равны

Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел - все, что относится к общим свойствам операций с натуральными числами. Целые числа представлялись основополагающими универсальными объектами, к операциям с которыми должны сводится и все математические построения, и вообще все многообразие явлений действительности. “Все есть число и все из чисел” - руководящий принцип пифагорийцев. Из этого принципа следовало, что отношения между любыми количествами должны быть отношениями целых чисел (т.е. рациональными числами в современной терминологии).

Этому обожествлению целых чисел был нанесен сокрушительный удар самими же пифагорийцами. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне ( равное ) не является рациональным числом, т.е. отношением целых чисел. Этот факт был доказан путем сведения к противоречию. Действительно, пусть где p и q - взаимно простые. Тогда и p - четное, а, значит, q - нечетное. Но из того, что следует , т.е. , а следовательно и q четные.

Это был, по сути, первый кризис в математике. В то время еще не было предпосылок разрешить его, расширив понятие числа вводом иррациональностей. Осознав, что совокупность геометрических величин более полна, чем множество рациональных чисел, греки создали исчисление в геометрической форме. Новое исчисление получило в литературе название геометрической алгебры.

В греческой математике возникла еще одна трудность, связанная с понятием бесконечности. Математики понимали, что за целым числом N следует целое число N+1, затем N+2 и так далее до бесконечности. К бесконечным процессам приводил и метод исчерпывания (предела), о котором речь будет идти ниже. Эта концепция была важным достижением, однако противоречила всем имеющимся тогда данным физики и философским воззрениям о конечности Вселенной. Она открывала новые широкие возможности в математике, но приводила к парадоксам. Смысл понятия бесконечности и до сих пор не раскрыт до конца, однако в течение веков на многие вопросы, возникающие в связи с этим понятием получен ответ.

Еще одна трудность связана с тем, что греки не знали отрицательных чисел. Они имели дело с отрицательными числами только в терминах алгебраических выражений для площадей квадратов и прямоугольников, например, . Отрицательные числа впервые использовались, по видимому, китайцами, однако окончательно вошли в математику после работ Кардано в 1545 году.

к геометрической алгебре греков. Первичными элементами ее являются отрезки прямой. С ними определены все операции исчисления. Возникающие при этом геометрические построения осуществляются циркулем и линейкой без делений. В геометрической алгебре сложение это приставление отрезков, вычитание - отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Результатом умножения принимается прямоугольник со сторонами a и b, равными перемножаемым отрезкам. Произведение трех отрезков дает параллелепипед. Произведение большего числа отрезков, естественно, не рассматривается. Деление наиболее сложная операция и возможно только, если размерность делимого больше размерности делителя, x=ab/c. Оно интерпретировалось задачей приложения площадей: приложить к отрезку c прямоугольник, равновеликий данному ab. Задача решается так (рис. 2.1). Построим прямоугольник bc.
Проведем диагональ в bc и продолжим ее до пересечения с продолжением отрезка b. Прямоугольники ab и cx равновелики: ab=cx и х=ab/c.

Геометрическими построениями можно интерпретировать алгебраические формулы. Например, рис. 2.2 выражает тождество .

Метод приложения площадей использовался для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Примерами таких задач являются: определение сторон правильных вписанных многоугольников; “золотое сечение” отрезка, т.е. деление отрезка a на части x и a-x, удовлетворяющих соотношению a/x=x/(a-x); построение среднего арифметического а/x=x/b и др.

Решение этого класса задач проводилось с помощью единого канонического метода, имеющего несколько разновидностей в зависимости от вида квадратного уравнения.

Созданному греками геометрическому исчислению свойственны, помимо неудобства, и более существенные недостатки. Довольно скоро выяснилось, что существует класс задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. К ним относятся три знаменитые задачи древности:

- задача о трисекции угла, т.е. разделение произвольного угла на три равных части;

- задача об удвоении куба, т.е. определение ребра куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба;

- задача о квадратуре круга, т.е. нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади заданного круга.

Попытки решить эти задачи методами геометрической алгебры приводили к тому, что полученные решения оказывались или неверными или приближенными. Последние безусловно имеют ценность, но не являются точными решениями. Эти задачи стимулировали развитие математики. С ними связано развитие конических сечений, открыты некоторые кривые 3-го и 4-го порядков, кривая, получившая название квадратрисы.

“Начала” Евклида

“Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида

. В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона.

Таким образом, в “Началах” систематизированы и строго изложены результаты, полученные математикой к III веку до н.э., включающие три важнейших открытия математики древности: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел.

Остановимся специально на аксиоматике “Начал”. Греки уже владели несколькими явными и несомненными истинами окружающего мира, такими как :две точки определяют прямую, прямую можно продолжить неограниченно в обе стороны, прямые углы равны, если к равным прибавить равные, получим снова равные. Эти аксиомы вошли в число аксиом и постулатов “Начал”, из которых Евклид вывел около 500 теорем. Особое место занимает аксиома о параллельных, согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную ей. Эта аксиома не поддается проверке опытом. Многие ученые делали попытку доказать ее как теорему, исходя из остальных девяти аксиом Евклида, но безуспешно. Лишь в XIX веке это утверждение было окончательно признано аксиомой.

Математика Ближнего Востока (IX-XV в.).

Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.

В IX веке жил Аль-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение аль-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра».
В отличие от индийцев, исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений). Ат-Туси (XIII век) и Аль-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся достижения в этих областях.
В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень, сравнимый с греческим, и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного.
Аль-Хорезми: возникновение рецептов в виде алгоритмов. Алгебраический трактат. Решение различных квадратных уравнений с положительными коэффициентами (достигается перебрасыванием в соответствующую часть для смены знака). Написал трактат об индийских числах, работал в десятичной и шестидесятеричной системах счисления.
Омар Хайям (1043--1123): поэт-математик. "Алгебра - наука об уравнениях". Пытался искать решения уравнений третьей степени в виде общих точек конических сечений. Делал попытки доказать пятый постулат Евклида.
Насиред-дин: построил первую систему плоской и сферической тригонометрии. Тоже пытался доказать пятый постулат.
Улугбек (1394--1449), правитель Самарканда. Много внимания уделял науке. Построил в Самарканде обсерваторию и медресе (университет). Составил таблицу синусов (точнее, хорд) с точностью до девятого знака и с шагом в одну минуту.
Аль-Каши (XIII в.). Итерационные решения уравнений 2 степени. Вычислил 17 знаков \pi, построив правильный 3*2^28-угольник.

Первые инструменты для счёта – абаки.

Аба́к — счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н. э. в Древней Греции, Древнем Риме.

Реконструкция римского абака
Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах камней или других подобных предметов.
Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне ок. 3 тыс. до н. э. Первоначально представлял собой доску, разграфлённую на полосы или со сделанными углублениями. Счётные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н. э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.
В Европе абак применялся до XVIII века. В Средние века сторонники производства арифметических вычислений исключительно при помощи абака — абацисты — в течение нескольких столетий вели ожесточённую борьбу с алгоритмиками — приверженцами возникших тогда методов алгоритмизации арифметических действий.
В России счёты (аналог абака) появились в XVI веке и применяются до сих пор, хотя в последнее время их использование ограничено широким распространением калькуляторов.
Ацтекские счёты возникли приблизительно в X веке и изготавливались из зёрен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.
В странах Востока распространены китайский аналог абака — суаньпань и японский — соробан.

Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон.

Важным усовершенствованием техники вычислений было изобретение логарифмов, которые позволили свести к сложению не только умножение и деление, но и такие громоздкие операции как возведение в степень и извлечение корня. Логарифмам предшествовала идея сравнения геометрической и арифметической прогрессий, также с целью сведения операций к более простым. Действительно, возьмем две последовательности

а) ..., q^-1, q⁰, q¹, q², ...

б) ..., -1, 0, 1, 2, ...

Умножению членов последовательности а) соответствует сложение соответствующих членов последовательности б). На современном математическом языке эти последовательности задают функцию или . Но в те времена еще не знали показательной и логарифмической функции; они были введены лишь в XVIII веке Эйлером. Очевидно, если , то
Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарцем Бюрги. Он работал в пражской астрономической обсерватории вместе с Кеплером, помогая ему в наблюдениях и вычислениях. Толчком для исследований Бюрги послужили опубликованные Стевином в конце XVI века таблицы сложных процентов. Отсюда появилось у Бюрги основание логарифмов . Странно, что он не воспользовался при составлении таблиц десятичными дробями, которые применял Стевин, что усложнило его работу. Над таблицами логарифмов Бюрги трудился 8 лет, с 1603 по 1611 годы. Он их долго не публиковал и сделал это только в 1620 году благодаря настойчивым просьбам Кеплера. Это стоило Бюрги приоритета в изобретении логарифмов.

Изобретателем логарифмов считается шотландский математик барон Непер, опубликовавший в 1614 году в Англии книгу “Описание удивительных таблиц логарифмов”. Неперу принадлежит и сам термин “логарифм”. Книга Непера содержала 8-значные таблицы логарифмов тригонометрических функций для значений аргумента от до через . Непер исходил из двух последовательностей, из которых одна возрастает в арифметической прогрессии, а другая убывает в геометрической, что соответствует формуле

или

т.е. неперовские логарифмы имеют основание 1/е. Коэффициент введен с целью оперировать при составлении тригонометрических таблиц с целыми числами, так как десятичные дроби только еще входили в практику. Следовательно, и . Очевидно, когда , то получаем а не . Это усложняло пользование логарифмами и не удовлетворяло Непера. Непер и английский математик Бригг пришли к идее десятичной системы логарифмов, основанной на последовательностях а), б) при q=10. После смерти Непера Бригг в 1624 году опубликовал книгу “Логарифмическая арифметика”, содержавшую десятичные “бригговы” логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 100.000. Пробел был заполнен в 1627 году, когда голландец Влакк издал 10-значные таблицы логарифмов целых чисел от 1 до 10. В 1620 году англичанин Спейдель разработал таблицы натуральных логарифмов.

Таблицы логарифмов быстро распространялись по всему миру и сделались незаменимым средством вычислений.

На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).

Наглядный пример употребления и полезности логарифмического масштаба — логарифмическая линейка которая позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака.
Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. Кроме того, для многих органов чувств величина ощущения пропорциональна логарифму воздействия. Например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза, воспринимаются как одна и та же нота, а интервал между нотами в полтона соответствует отношению их частот 21/12. Поэтому нотная шкала — логарифмическая. Кроме того, согласно закону Вебера — Фехнера, воспринимаемая громкость звука также пропорциональна логарифму его интенсивности (в частности, логарифму мощности колонок). Поэтому на амплитудно-частотных характеристиках звуковоспроизводящих устройств применяют логарифмический масштаб по обеим осям.

следующая страница>